[Из песочницы] VaR как способ оценки риска. Историчекский метод13.11.2016 18:03

В этой статье я хочу познакомить вас с популярный инструмент для оценки финансового риска VaR (ValueAtRisk). При этом я постараюсь использовать минимум экономических, математических и статистических терминов.

Главные идеи VaR были разработаны и применены в банке JP Morgan в 80-х. Широкое применение VaR получил в 1993 когда был одобрен Группой тридцати (G-30) как часть «лучших практик» для работы с деривативами (производными финансовыми инструментами). А позже стала одним из показателей риска банка по системе Базель II (набор международных рекомендации по банковскому регулированию). Идею используемую в VaR можно отследить до ранних работ лауреата нобелевской премии по экономике Гарии Марковица в 1952.

Зачем нужен VaR?

• банки определяют текущий риск по отделам и банку вообщем;
• трейдеры используют VaR в торговых стратегиях (например для определения момента выхода из сделки);
• частные инвесторы для выбора менее рискованных вложений;

Управление рисками

«Управление рисками это процесс обнаружения, анализа и принятия или смягчения неопределенности в инвестиционных решениях. В сущности, управление рисками происходит всегда когда инвестор или управляющий фондом анализирует и пытается оценить потенциальные убытки и затем принять (или не принять) необходимые меры, учитывая его инвестиционные цели и толерантность к риску».

Почему управление рисками актуально? Даниел Канеман в своей книге «Думай медленно… решай быстро» утверждает, что люди не любят проигрывать больше чем любят выигрывать. То есть, если человеку предлагают с 50% выиграть 110$ и с 50% проиграть 100$, то он скорее всего откажется, хотя потенциальный выигрыш и больше. Автор называет это ассиметрией потерь (loss averse).

Прогнозированием возможных потерь, к которым люди так чувствительны, мы с вами и займемся. Но перед тем как переходить к VaR нам нужно поговорить о понятии волатильности, без которой невозможно представить управление рисками.

Немного о Волатильности

Пример 1 — пусть весь прошлый года акция А каждый день либо росла на 3%, либо теряла -1%. При этом эти два события были независимы и равновероятны. Если наши вложения составляют 100$, то мы можем с высокой вероятностью сказать, что завтра тенденция сохранится и мы либо получим 3$, либо потеряем -1$ с одинаковой вероятностью. Другими словами вероятность получить +3$ равна 50% и вероятность потерять -1$ тоже равна 50%. Мы даже можем сказать, что ожидаемая прибыль каждый день равна 1$ (3$*50%-1$*50%). Но как мы увидим позже, ожидаемая прибыль это не то что нас интересует при управлении рисками. Для нас важны именно убытки, и с возможными убытками здесь все ясно — с вероятностью 50% мы можем потерять затра $1.

Случайный доход +3% или -1%

Теперь давайте рассмотрим пример 2. Есть информация о ежедневном доходе акции В за прошлый год. Свойства дохода:

• принимал одно из четырех значение -4%, -3%, +5%, +6%;
• вероятность каждого из четырех событий одинаковая — 25%;

Я специально подобрал значения так, чтобы среднее значение было +1%(-4%*25% -3%*25% +5%*25% +6%*25%) как и в первом примере. То есть, если у нас есть акции на 100$, то ожидаемое значение завтра тоже будет 1$.

Сравнение примера 1(-1%, +3%) и примера 2(-3%, -4%, 5%,  6%)

Хотя ожидаемые значения в двух случаях одинаковы (+1%), уровень риска разный, так как размер убытков может быть выше во втором случае. Это и есть волатильность. 

Волатильность, изменчивость (англ. volatility) — статистический финансовый показатель, характеризующий изменчивость цены. Является важнейшим финансовым показателем и понятием в управлении финансовыми рисками, где представляет собой меру риска использования финансового инструмента за заданный промежуток времени.

Но у волатильности есть один существенный недостаток для управления рисками. Она учитывает как разброс прибылей так и разброс убытков. Например, если цена на акцию резко вырастет, то и волатильность увеличится. Хотя риск, с точки зрения возможных потерь, останется на том же уровне. Эту проблему решит VaR, но перед тем как переходить к VaR давайте разберемся с проблемой оценки убытков.

Проблема 1. Как описать потенциальные убытки?  

Если в первом примере прогноз убытков на завтра был -1% с вероятностью 50%, то во втором ситуация сложнее. Мы можем сказать что:

• с вероятностью 25% мы потеряем -3%;
• с вероятностью 25% мы потеряем -4%;
• c вероятностью 50% мы потеряем более -3%;

Проблема 2. Экстремальные значения.

Давайте представим, что прошлый год акция принимала значения от -5% до 5%, но в один день убыток был -10%. Если взять количество дней в году за 364 (для простоты забудем о выходных и праздниках), то вероятность повторения убытка в -10% равна 1/364=0.274%. Вероятность 0.274% довольно мала, ее трудно представить, а кто-то может посчитать ее вообще не существенной для рассмотрения. Как быть в этом случае?

В обоих этих случаях к нам на помощь и приходит VaR.

VaR

»Какой максимальный убыток я могу ожидать в течение определенного отрезка времени с заданным уровнем вероятности (доверия)»

• с вероятностью 1% мы можем потерять 100$ и более в течении дня;
• с вероятностью 99% мы не потеряем более 100$ в течении дня;

VaR состоит из трех компонентов:

• уровень/порог прогноза (обычно 95% или 99%);
• временной интервал прогноза (день, месяц или год);
• возможные потери (количество денег (обычно долларов) или процентах);

Существует три метода получения VaR: исторический, ковариационный и метод Монте-Карло.

В этой статье мы рассмотрим исторический метод, так как он требует наименьших знаний в области статистики и, по-моему, самый интуитивный из трех.

Шаги подсчета VaR:

1. Собрать исторические данные о доходе за определенный период (месяц, год);
2. Отсортировать данные по возрастанию;
3. Выбрать порог с которым мы хотим делать прогноз и «отрезать» наихудшее значение зная порог;

Шаги:

Преобразование данных из Yahoo и сортировка

2. Отсортировать прибыли по возрастанию (для наглядности я построил гистограмму);

3. Выбрать порог, с которым мы хотим делать прогноз, и «отрезать» наихудшее значение зная порог. У нас 252 рабочих дня. Если мы хотим сделать оценку покрывающую 95% случаев, то мы отбрасываем худшие 5%, вероятность которых мы считаем низкой. 5% от 252 дней это 13 дней (округляем 12.6 до 13). Если посмотреть на график, то видно, что доход 13-ого «худшего деня» был -2.71%. Теперь мы можем сказать что с вероятностью 95% мы не потеряем более 2.71%. Если наши вложения 100$, то с вероятностью 95% мы не потеряем более 2,71$. Это не значит, что мы не можем потерять более 2,71$, мы говорим о вероятности в 95%. Если этого недостаточно, то можно увеличить порог например до 99%;

* Мы выбираем close цену, а не adj. close, так как adj. close непостоянна и может меняться со временем. Например, если происходят split-ы акций. Наша же цель, чтобы цифры сошлись у тех, кто выполнит этот пример позже.

Завершая пример с данными Apple, привожу еще один интересный график. На графике по горизонтали мы видим диапазоны прибылей, и по вертикале — количество дней, когда прибыль попадала в соответствующий интервал. Этот график очень похож на нормальное распределение. Этот факт нам пригодится в следующие статье где мы рассмотрим два других метода подсчета VaR.

    public Double calculateHistoricalVar(List prices, Double confidenceLevel, Double amount) {
        if (prices.isEmpty()) {
            return 0d;
        }

        List returns = getReturns(prices);
        Collections.sort(returns);

        double threshold = (returns.size() * (1 - confidenceLevel));
        int intPart = (int) threshold;
        Double decimalPart = threshold - intPart;

        Double rawVar = returns.get(intPart);
        Double interpolatedPart = decimalPart * (returns.get(intPart) - (returns.get(intPart + 1)));
        return rawVar + interpolatedPart;
    }

    private List getReturns(List prices) {
        List result = new ArrayList<>(prices.size());
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            result.add(prices.get(i) / (prices.get(i - 1)) - 1);
        }
        return result;
    }

• Мы прогнозируем будущие, используя исторические данные. Это может быть хрупким предположение. Так как мы делаем предположение, что события из прошлого будут повторяться. Можно пытаться бороться с этим используя разные временные интервалы для подсчета VaR (год, месяц, день). Об этом мы поговорим ниже.
• VaR ничего не говорит, о значениях за пределами порога, например 95%. Мы можем иметь две разных акции А и B с VaR 50$ при пороге 95% и 100 наблюдениях. Пусть 95 лучших наблюдений у А и В одинаковы и равны от -50$ до 45$ с шагом 1$. Но пять худших прибылей А = {-1000$, -800$, -700$, -600$, -500$}, а В = {-100$, -99$, -98$, -97$, -96$}. Очевидно что риск для B выше. Можно пробовать бороться с этим увеличивая порог (до 99%, 99.9%, 99.99% и тд.). Также существуют методы, специально направленные на устранения этих недостатков, например, Conditional VAR, который оценивает убытки, если потери превысили VaR. Но мы не будем рассматривать их в этой статье.

• Как выбрать период?
• На это нет определенного ответа, все зависит от вашего инвестиционного горизонта. Банки обычно считают VaR для дней, пенсионные фонды, с другой стороны, часто считают VaR для месяцев.
• Что делать если 95% это не целый номер элемента?
• В нашем примере мы использовали 252 дня и порог 95%. Элемент, который мы отсекаем равняется 252×0.05=12.6. В нашем примере мы просто округли и взяли 13-ый элемент, но если быть точными, то наше значение должно быть где-то посередине. К сожалению, в нашем примере 12-ый и 13-ый элементы равны -2.71%. Поэтому, давайте представим, что 12-ый элементы равен -4%, а 13-ый -3%. Тогда VaR будет находится между -4% и -3%, ближе к -3%. А точнее -3.6%. Здесь к нам на помощь и приходит интерполяция. Формула выглядит так:
  

  b+(a-b)*k , где а-нижнее значение, b-верхнее значение и k-дробная часть (в нашем случае 0.6)

  
  Получается -3% + (-4% + 3%) * 0.6 = -3.6%

Заключение

→ Источник

Комментарии (1)

• GeMir

  13 ноября 2016 в 16:50

  0

  ↑

  ↓

  «с вероятностью 25% мы потеряем -3%;»: −(−3%) = +3%. Подозреваю, что имелась в виду потеря (плюс) трёх процентов, а не их приобретение.