[Из песочницы] Нечёткая математика. Основы нечётких множеств27.02.2020 17:53

Излишнее стремление к точности стало оказывать действие, сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно приводит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. Многие классы важных проблем, в которых данные, цели и ограничения являются слишком сложными или плохо определенными для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались и остаются в стороне лишь по той причине, что они не поддаются математической трактовке. Л. Заде

Определение и характеристики

В мире очень многое не делится только на белое и чёрное, на правду и истину, … Человек использует множество нечётких понятий для оценки и сравнения физических величин, состояний объектов и систем на приближенном, качественном уровне. Так, любой из нас способен оценить величину температуры за окном, не прибегая к помощи термометра, а руководствуясь лишь собственными ощущениями и шкалой приближенных оценок («достаточно пасмурно, чтобы взять зонт»).

Но качественная оценка не обладает свойством аддитивности, присущим привычным нам числам; т. е. мы не можем определить результат операций для приближенных оценок («небольшая сумма денег» + «небольшая сумма денег»), в отличие от, к примеру, натуральных чисел (2 + 2). Не можем определить потому, что качественная оценка сильно зависит от лица, принимающего решение, контекста и смысла, вкладываемого в конкретном случае.

Однако, в мире имеется достаточно величин, которые мы не в состоянии по тем или иным причинам точно оценить: степень порядка в комнате, «престижность» автомобиля, красота человека, «схожесть» вещей, … Но работать с ними как с привычными числами хочется хотя бы для задач автоматизации.

Формализация таких оценок может основываться на теории нечётких множеств. Понятие нечёткого множества появилось в 1964 году благодаря американскому учёному азербайджанского происхождения Лютфи Заде.

Начнём рассмотрение его теории с базовых понятий.

Нечётким множеством (размытым множеством) $\tilde{A}$ в универсальном множестве (универсуме) U называется совокупность пар вида $(u,\mu_A(u))$ , где $u \subseteq U$ , а
$\mu_A (u)$ — функция принадлежности нечёткого множества $\tilde{A}$ , $\mu_A (u):U →[0;1]$ . Нечёткое множество можно записать также в виде $\tilde{A} = \bigcup_{(u \subseteq U)}(\mu_A (u) / u) = \left\{ (\mu_A(u) / u) \right\}$ .

Для любого элемента U функция принадлежности $\mu_A(u)$ определяет степень принадлежности (степень принятия) данного элемента u к множеству (-ом) $\tilde{A}$ . Так как функция принадлежности практически исчерпывает понятие нечёткого множества, очень часто эти два понятия отождествляют. Поэтому можно встретить как кто-либо определяет нечёткое множество лишь задав функцию принадлежности.

Одной из трактовок $\mu_A (u)$ является вероятностная трактовка (не принимаемая Л. Заде), по которой значение функции для данного элемента — вероятность его нахождения в этом множестве. Другой — степень чёткости элемента из множества U на множестве $\tilde{A}$ . Вообще говоря, трактовка исходит из задачи, которая решается методами нечёткой математики.

Привычные нам чёткие множества, в которых функция принадлежности имеет вид $\mu_A(u) = \begin{cases}1 & u \subseteq A \\0 & u \nsubseteq A \end{cases}$ , являются таким образом частным случаем нечётких множеств.

Как принято, $\mu_A(u)$ можно задать несколькими способами:

графика или диаграммы (в непрерывном и дискретном случаях соответственно);
формулы;
таблицы;
суммы или интеграла;
…

Например

Непрерывная характеристическая функция принадлежности элементов множества действительных чисел к чёткому множеству -a≤x≤a.

Непрерывная функция принадлежности элементов множества действительных чисел к нечёткому множеству чисел «примерно ноль».

$\mu_A(x)= \frac{(a-|x|)}{a}, -a \leq x \leq a$
$\tilde{A} = \left\{ 0 / -a;…;1 / 0;…;0.5 / \frac{a}{2};…;0 / a \right\}$ .

Рассмотрим основные понятия и характеристики нечётких множеств.

Чёткое значение множества — значение, степень принятия которого равна 1. На показанном примере чётким значением является только число 0.

Элементы, для которых значение $\mu_A(u)$ равно 0.5, называются точками перехода нечёткого множества. Точками перехода в примере являются -a/2 и a/2.

Высотой нечёткого множества является величина $sup⁡(\mu_A(u)),u \subseteq U$ .

Нечёткое множество нормально, если его высота равна 1, иначе оно субнормально. Каждое нечёткое множество возможно нормализовать — поделить значение функции принадлежности для каждого элемента на высоту множества.

Очевидно, что, если для каждого элемента универсального множества его функция принадлежности к А равна 0, то такое множество называется пустым.

Нечёткое множество унимодально, если функция принадлежности равняется 1 лишь для одного элемента.

На картинке 2 $(-a, a)$ ограничивает область $\omega = \left\{x | \mu_A(x)>0, x \subseteq X \right\}$ — носитель множества $\tilde{A}$ . Обычно в литературе носитель нечёткого множества обозначается как $S_A$ или $Supp A$ .

Функция принадлежности относится к классу с конечным носителем, если существует такой элемент x, для которого $\mu_A(x)=0$ ; с бесконечным — когда существует $lim_{|x| \to \infty ⁡}{\mu_A (x)}=0$ .

Операции над нечёткими множествами

Все сравнения и операции, проводимые над нечёткими множествами, определяются через действия над их функциями принадлежности. Также необходимо несколько оговорок:

Так как нечёткие множества являются обобщением известных нам классических, то в частных случаях операции должны сводиться к привычным нам;
Сравнение и выполнение операций над множествами возможно только тогда, когда они определены в одном универсуме;
Несмотря на то, что одно и то же множество может быть определено разными функциями, формально мы обязаны говорить о различных нечётких множествах.

Для всех операций и сравнений мы будем иметь в виду: $\tilde{A}, \tilde{B} ,\tilde{C}$ — нечёткие множества на U, все $x \subseteq U$ . Итак, начнём.

Равны два множества $\tilde{A} = \tilde{B}$ тогда и только тогда, когда $\mu_A(x)= \mu_B(x)$ .

Множество включено в другое $A \subseteq B$ тогда и только тогда, когда $\mu_A(x) \leq \mu_B (x)$ для любого x.

Объединение множеств $\tilde{C} = \tilde{A} \cup \tilde{B}$ такое, что $\mu_C (x) = max⁡ (\mu_A (x); \mu_B (x))$ . Объединение соответствует союзу ИЛИ и обозначается короче, как $\mu_C(x) = \mu_A(x) \vee \mu_B (x)$ . (t–конорма или s–норма)

Пересечение множеств $\tilde{C} = \tilde{A} \cap \tilde{B}$ такое, что $\mu_C (x) = min⁡ (\mu_A (x); \mu_B (x))$ . Пересечение соответствует союзу И и обозначается короче, как $\mu_C(x) = \mu_A(x) \wedge \mu_B (x)$ . (t-норма)

Следующие соотношения доказываются графически:

Существует несколько способов определения базовых операций пересечения и объединения. К примеру, для операции пересечения иногда используют алгебраическое произведение функций принадлежности, их среднее геометрическое и несколько иных. Выбор того или иного подхода зависит от конкретной задачи, когда использование операций min и max приводит к неадекватности модели реальной ситуации.

Разность множеств $\tilde{C} = \tilde{A} \backslash \tilde{B}$ такая, что $\mu_C (x) = \mu_A(x) - \mu_{A \cap B}(x) = \mu_A(x) - min⁡ (\mu_A (x); \mu_B (x)) = max(0; \mu_A(x) - \mu_B(x))$ .

Разность $U \backslash \tilde{A}$ называется дополнением нечёткого множества и обозначается $\overline{\tilde{A}}$ . Из определения разности множеств следует, что $\mu_{A}(x) = 1- \mu_{\overline{A}}(x)$ .

Введённые операции совпадают с аналогичными для чётких множеств. Далее читатель может сам попробовать доказать соотношения, сходные с законами де Моргана, и найти те, которые в общем случае не выполняются (например, $A \cap \overline{A}= ∅$ ). Рассмотрим специфичные для нечётких множеств:

α-разбиение нечёткого множества. Множеством α-уровня нечёткого множества называется чёткое множество $A_{\alpha}$ , для элементов которого $\mu_A(x) \geq \alpha$ .

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество разложимо по его множествам уровня в виде $\tilde{A} = \bigcup_{a \subseteq M}{\alpha * A_{\alpha}}$ , M — область значений функции принадлежности.

Возведение в степень $A^{\beta}$ такое, что $\mu_{A^{\beta}} (x)= \mu_A^{\beta}(x)$ . Наиболее употребительны частные случаи:

Концентрирование при β = 2 (CON (A)). Снижает диапазон определения информации, представляемой нечётким множеством. Можно сказать, что концентрирование является аналогом словосочетания «более чем» для множества;
Растяжение при β = 0.5 (DIL (A)). Наоборот, расширяет диапазон. Заменяет выражение «почти что».

Замена концентрирования и растяжения оценочными выражениями имеет больше смысла при использовании лингвистических переменных.

Алгебраическое произведение $\mu_{A * B}(x) = \mu_A(x) * \mu_B (x)$ .

Граничное произведение $\mu_{A \circledcirc B}(x) = (\mu_A(x) + \mu_B(x) - 1) \vee 0$ .

Драстическое произведение $\mu_{A \triangle B}(x) = \begin{cases}\mu_B(x) & \mu_A(x) = 1\\\mu_A(x) & \mu_B(x) = 1\\0 & \end{cases}$ .

Алгебраическая сумма $\mu_{A + B}(x) = \mu_A(x) + \mu_B(x) - \mu_A(x)*\mu_B(x)$ .

Граничная сумма $\mu_{A \circledcirc B}(x) = (\mu_A(x) + \mu_B(x) - 1) \wedge 1$ .

Драстическая сумма $\mu_{A \triangledown B}(x) = \begin{cases}\mu_B(x) & \mu_A(x) = 0\\\mu_A(x) & \mu_B(x) = 0\\1 & \end{cases}$ .

Лямбда-сумма — среднее A и B с весами λ и (1 — λ) (или выпуклое линейное объединение первого порядка A и B). $\mu_{A_+^{\lambda}B}(x) = \lambda * \mu_A(x) + (1 - \lambda) * \mu_B(x)$ .

Между произведением, суммой и λ-суммой справедливо соотношение:

Каким образом можно построить функцию принятия?

Функция принадлежности должна быть задана вне самой теории нечёткой математики и, следовательно, её адекватность не может быть проверена средствами непосредственно самой теории. Это мешает применению нечёткой теории множеств для решения прикладных задач. Исходя из природы субъективных оценок, построение функции может выполняться лишь по экспертным оценкам (эксперта называют также лицом, принимающим решение ЛПР). Выделяют 2 группы методов построения — прямые и косвенные.

Прямые определяются тем, что ЛПР непосредственно задаёт правила определения значения функции принадлежности. Они, как правило, используются для описания понятий, которые характеризуются измеряемыми параметрами и в которых шанс ошибок и искажений незначителен. Группа включает в себя такие методы как: частотный, метод парных соотношений.

В косвенных методах экспертная информация является только исходной для дальнейшей обработки, значения функции выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулированным условиям. Например, на основе стандартного набора графиков.

Вообще говоря, функция принятия может иметь какой угодно вид, учитывая, конечно, некоторые ограничения, такие как:

0 <= μ(x) <= 1;
Функция должна быть нормальной (если не оговорено обратное);
В функции и множестве определяемых функций должна присутствовать естественная разграничиваемость понятий, представленных соседними множествами;
Не должно возникать промежутков на универсальном (или же ограниченном для рассмотрения) множестве, для которых не поставлено в соответствие какое-либо множество;
Для соседних множеств максимум одного должен совпадать с минимумом другого, а точка пересечения их графиков — соответствовать точкам перехода;
и некоторые другие, зависящие от задачи.

хотя существуют и исключительные ситуации, в которых определять функцию приходится исходя из контекста. Построение таких функций — отдельная и достаточно сложная тема.

А на сегодня всё.