[Из песочницы] Байес и задача про Морфеуса
Больше года назад, 17 апреля 2014, на Хабре появилась эта статья (ко дню смерти Томаса Байеса). Там было много всего интересного, но, как обычно, большая часть обсуждений в комментариях свелась к задачке, которая была лишь эпиграфом. Тогда я проглядел статью по диагонали, а задачу и вовсе проигнорировал.
А зря…
Давеча, решив разобраться в теореме Байеса я начал читать интуитивное объяснение интуитивного объяснения. Предсказуемо ничего никто никуда не дочитал, зато с большим удовольствием взялся решать задачки. Задача про больные сиси из вышеупомянутого туториала оказалась относительно простой безо всяких теорем, и так как мой ответ совпал с авторским, решив потешить эго я отправился за дополнительными задачами. Первой попавшейся на глаза оказалась задача из SUBJ про Морфеуса. Она была чуть более заковыриста чем предыдущая, но в итоге я получил ответ. ВНЕЗАПНО мой ответ не совпал ни с одним из ответов выданных хабровчанами в комментариях к статье про Байеса. Остальные интернеты, хоть и выдали некоторое количество упоминаний этой задачи, ничего адекватного в решениях не содержали.
Что бы проверить ответ, я накидал простой скрипт на питоне, который подтвердил правильность моего решения (Процентов на 99. Все таки псевдослучайный генератор приводит к небольшому разбросу в результатах).
Итак, в интернетах кто-то не прав, а комментировать на хабре я не могу. Так что-то вот вам «решение», комментарии, выводы и скрипт в песочницу.
Еще раз задача (напоминаю источник.):
В левой руке Морфеуса лежит 7 синих и 3 красных таблетки, а в правой 5 синих и 8 красных. Вы закрываете глаза и берете таблетку — она оказывается красной, однако вы не знаете из какой руки ее взяли. Какова вероятность, что вы взяли ее из правой руки?
Для начала, скрипт.
В ходе обсуждения задачи часто возникает тенденция принять за должное, что вероятность получения таблетки из правой и левой руки 50/50. На самом деле в самой задаче этого нигде не сказано. Мы интуитивно ожидаем такого подхода к методу выбора таблетки из руки. На практике же про то, как была выбрана таблетка ничего не сказано. Значит и придумывать отсебятину не стоит.
8/13 61.5%
11/23 47.8%
3/11 27.27%
8/11 72.73%
13/23 56.52%
10/23 43.48%
30% * 43.48% / 100 = 13.04%
61.5% * 56.52% / 100 = 34.76%
34.76% * 100 / 47.8% = 72.72%
А вот так я описал его на общечеловеческом:
Таблетка уже есть. Красная. Вероятность того, что я взяв таблетку получу красную — 47.8% (11 из 23). Вероятность того, что выбирая таблетку я возьму ее из левой руки — 43.48% (10 из 23). Из правой — 56.52% (100% — 43.48%). Вероятность, что взятая таблетка будет из левой руки и окажется красной — 13.04%. Вероятность, что взятая таблетка будет из правой руки и окажется красной — 34.76%. Всего вероятность взять красную таблетку равна 47.8% (11 из 23 и 13.04% + 34.76%). Вероятность того, что взятая красная таблетка была из правой руки — 72.72% (34.76% из 47.8%. Процент вероятности взять красную таблетку из правой от вероятности достать красную вообще).
А вот так я понял, что все это ересь:
Получив ответ, я заметил, что он один в один совпадает с общей долей красных таблеток в правой руке (8/11). Совпадение? Пересчитывать не хотелось, поэтому я просто стал изменять в скрипте количество синих таблеток в правой и левой руке. Ответ не менялся. *** — подумал я. Очевидно факт того, что у нас в руке уже лежит красная таблетка, просто отбрасывает все случаи, когда мы выбирали синюю. Следовательно, что они есть, что их нету — монопенисуально. Самое забавное, что все вычисления из моего решения выше верны. И продолжают оставаться верными при изменении количества любых таблеток.
Выводы:
1) Никаким Байесом в этой задаче и не пахнет. Применять его теорему тут не нужно.
2) Автор задачи — знатный тролль.
3) Хотите над кем-то подшутить? Подкиньте ему эту задачку и злобно хихикайте, пока жертва тужится в попытках понять, что здесь не так.
4)…
5) PROFIT
Этой публикацией (и хорошо бы комментариями) хочется окончательно закрыть тему этой задачки в интернетах.
Может быть кто-то найдет ошибки в моем решении или рассуждениях?
