Математика Clash Royale: Обзор популярной игры с алгоритмической точки зрения27.04.2016 20:22

Это, пожалуй, самая длинная ненаучная статья, что я когда-либо писал, потому как специализируюсь я именно в научных статьях. Начну, пожалуй, с кратких выводов, к которым я пришёл.

• Clash Royale — это pay-to-win-игра? Технически, именно так и есть. Но в статье я вывожу формулы, согласно которым личные способности игрока хотя бы немного могут перекрыть силу кошелька.
• Выясняется, что ресурс, ограничивающий развитие игрока и улучшение карт — это золото, а совсем не количество копий какой-то карты. Сундуки содержат только 60% того золота, что требуется для содержащихся в них карт. Поэтому выбирайте карты, которые хотите улучшить, с большой осторожностью.
• Не покупайте карты в магазине, если не полностью уверены в том, что они вам нужны.
• Не забывайте делиться картами с членами своего клана. Это в ваших собственных интересах.
• Почти половина золота, получаемого игроками, выпадает из «бесплатных» сундуков и сундуков с короной, которые можно получить, даже не выигрывая игры.
• Сундуки выпадают игроку не совершенно случайно. Supercell создала систему, которая может показаться честной, потому что хорошие сундуки выпадают через строго определённые интервалы времени, подчиняясь псевдослучайному закону.
• Мы также посчитаем, сколько времени понадобится игроку, которые не тратит на игру деньги, чтобы получить определённый уровень. Добраться до пятого уровня можно за несколько дней. Но чтобы достичь двенадцатого, понадобятся годы. Буквально.

Что такое Clash Royale

Вы могли слышать о Clash of Clans, даже если вы не геймер. В конце концов, не каждая мобильная игра может позволить себе рекламу посреди трансляции Суперкубка с Лиамом Нисоном:

Но не позволяйте мультяшному дизайну игры ввести вас в заблуждение. В 2015 году Clash of Clans приносила Supercell, своему создателю, примерно 1,5 миллиона долларов в день. И теперь компания выпустила свой новый хит — Clash Royale.

Игра вышла по всему миру всего полтора месяца назад, и её загрузило уже более десяти миллионов пользователей. Активное сообщество игры постоянно создаёт видео на YouTube, транслирует игры, пишет руководства, заполняет wiki. Это ли не мечта любого разработчика? Отчасти оглушительный успех игры объясняется популярностью бренда Clash of Clans (действие Clash Royale происходит в том же мире, с теми же персонажами и тем же визуальным дизайном). Отчасти всё дело в огромном маркетинговом бюджете, вкладываемом в игру. Но мне кажется, что основная причина в том, что игра действительно хороша.

В сражениях в Clash Royale есть определённая глубина, но в этой статье я коснусь лишь нескольких стратегических вопросов. И отвечу я на них с помощью своей особой силы — математики.

Сказ о двух системах развития

Обычно я играю в более хардкорные стратегические игры. Но как-то вышло так вышло, что динамические PvP-сражения, основанные на атаке и контратаке, как-то сумели меня захватить. Нажмите сюда — и всего за три минуты сможете ознакомиться с главной «начинкой» игры. Победитель получает (а проигравший теряет) примерно 30 трофеев за каждое сражение. Трофеи представляют рейтинговую систему игры (похоже на систему звёзд из Hearthstone).

Такова первая система развития в Clash: чем ты «лучше», тем больше у тебя трофеев (обратите внимание, что «лучше» не всегда означает, что человек играет лучше). Игрокам попадаются противники, у которых есть примерно столько же трофеев. В общем-то, количество трофеев — это MMR (рейтинг) игрока. Он получает и теряет трофеи, пока не достигнет состояния равновесия, когда его среднее количество побед и поражений сравняется.

Система трофеев предоставляет игрокам определённую цель, возможность похвастаться своими заслугами. Но не забывайте, что прогресс обратим: если вы вдруг начнёте играть откровенно плохо или будете злоупотреблять некачественными колодами, то постоянные поражения снизят ваш рейтинг. Но такого не может случиться со второй системой развития. Вторая система — это медленное, наполненное гриндом (повторяющимися действиями) путешествие с целью увеличения уровней своих карт и получения опыта и уровней игрока.

Играя в Clash Royale, вы получаете сундуки различного качества. Они содержат в себе карты и золото. Вы можете пожертвовать несколько копий одной карты, чтобы создать более сильную карту. Новая карта будет лучше на 10%, кроме того, игрок получит немного опыта за каждую улучшенную карту. Рейтинг игрока определяется его количеством трофеев, а прогресс его истинной силы определяется уровнем. Каждый уровень игрока усиливает башни на вашей половине поля на 7–8% в дополнение к более сильным картам. Поэтому получение большего количества сундуков делает вас объективно сильнее.

Заметьте: карты становятся лучше немного быстрее, чем башни, поэтому на более высоких уровнях уничтожать башни несколько проще. В итоге защищающийся игрок получает меньше преимущества, и ему приходится сражаться с вражескими солдатами больше с помощью своих солдат, чем башен. Довольно любопытное дизайн-решение.

Именно этот процесс получения и улучшения карт является основным механизмом постепенного прогресса по игре.

Простая колода. Обратите внимание на показатели уровней карт, количество карт, необходимых для следующего их улучшения, редкость карт (от низкой к высокой: синяя — оранжева — фиолетовая), уровень игрока в левом верхнем углу, а также на милые рисунки на картах

Нет ничего удивительного в том, что сундуки и золото можно покупать за настоящие деньги. Что, естественно, вызывает отрицательную реакцию у некоторых игроков. Не очень-то честно, что у твоего противника есть объективно более сильные карты и башни просто из-за того, что он вкладывает в игру деньги. Не так ли? Итак, первый важный вопрос:

Clash Royale — это pay-to-win-игра?

Вкратце: да. Ваши карты и башни становятся сильнее в зависимости от того, сколько денег вы вложили в игру. Но если разобраться, то ответ на вопрос зависит от того, что вы считаете победой.

Скажем, я хочу узнать, насколько я хорош в игре, каковы мои навыки и понимание её механик. На момент написания статьи я пока не потратил на Clash Royale ни цента. Я играю примерно 2–3 недели почти каждый день. Сейчас я нахожусь на 6 уровне (что никак не означает, что я хорошо играю), у меня примерно 1500 трофеев (что как раз это и означает). 1500 — это много? Ну, лучшие игроки мира держатся на уровне 4000. Рейтинг выше 3000 считается «легендарным». Между 1500 и 3000 довольно большая пропасть, но такая же пропасть стоит между 1500 и 0. Может быть, я должен просто сказать, что мой личный навык можно считать исключительно по количеству моих трофеев?

Нет. Моя истинная сила в сражении измеряется как сумма трёх основных факторов: сила = уровень игрока + качество игры + выбор колоды.

Мой уровень определяет силу моих башен, а также примерно показывает уровень моих карт. Очевидно, чем сильнее мои карты и башни, тем выше мои шансы на победу. Но это не значит, хорошо лично я играю или плохо.

Выбор колоды — это показатель того, как хорошо карты в вашей колоде работают друг с другом, и насколько хорошо ваша колода работает против популярных у людей колод. Определённое умение играет роль и здесь, но иногда у вас может просто не получиться собрать нужную колоду за отсутствием определённых карт. Качество игры — самый очевидный и надёжный показатель навыка игры: насколько хорошо я управляю своей колодой и как отвечаю на ходы противника. Этого за деньги не купишь.

На данный момент я нахожусь в состоянии равновесия, то есть проигрываю и побеждаю примерно одинаковый процент сражений, что означает, что мой уровень силы и уровень силы моих противников равны. Средний игровой уровень моих оппонентов — 6,3–6,4 (из них 30–40% седьмого уровня, остальные шестого, изредка встречаются игроки пятого уровня). Так как я в 50% случаев побеждаю противников немного выше меня по уровню, согласно уравнению, можно заключить, что мои навыки игры (качество игры + выбор колоды) выше, чем у них. Если бы средний уровень моих противников был равени семи или даже выше, и я всё равно мог выигрывать у них с такой же вероятностью, можно было бы сказать, что я играю намного лучше них. Ведь мне удавалось бы побеждать с более слабыми картами и башнями.

Так что более объективный показатель силы игры человека — это его способность минимизировать различия в силе между собой и своими противниками. И этот показатель совсем не принимает во внимание количество ваших трофеев: игровые навыки ~ (уровень карт и башен среднего противника) / (ваш уровень карт и башен).

Получившаяся модель слишком упрощена, но несмотря на определённые неточности, она даёт наиболее честное представление о том, как определить силу игрока.

Стоит ли покупать карты

В Clash Royale золото, получаемое из сундуков, в основном используется для улучшения карт, но также за золото в магазине можно купить конкретную нужную вам карту.

Карты, доступные для покупки. Чем больше вы покупаете, тем дороже они становятся

На первый взгляд вопрос может показаться довольно глупым: если вам нужна определённая карта и у вас есть на неё деньги, то в чём проблема? Но правильнее будет думать наперёд: наша цель — улучшение наших карт. Для чего нам нужно золото и большое количество копий одних и тех же карт. Что же является ограничивающим фактором? В долгосрочной перспективе, что кончится раньше: золото или карты? Воспользуемся силой математики.

Взглянем на количество карт и золота, необходимых для улучшения редких и обычных карт:

Следующий график показывает, сколько золота на одну карту необходимо для получения одной карты высокого уровня:

Обратите внимание, что количество золота на одну карту становится постоянным (10) после шестого уровня улучшения для обычных карт и почти постоянным (40–50) после третьего уровня для редких карт. Ага. Я чую скрытый порядок во всём этом.

Итак, если мы хотим улучшить каждую нужную карту, то каждый сундук в среднем должен содержать примерно 10 золота на каждую обычную и 40 — на каждую редкую карту. Если в сундуках лежит больше золота, то мы можем спокойно покупать карты, чтобы тратить избыток золота, а если нет, то нам придётся «бросать» наши самые нелюбимые карты.

Статистика выпадения предметов из сундуков немного неинтуитивная, но на игровой wiki всё подробно расписано. Мы воспользуемся их данными, а там, где их нет, заменим пустые места предположениями. Большинство сундуков — это «серебряные» и «бесплатные» сундуки. Из них выпадает примерно равное количество наград. Награды из сундуков также зависят от вашего количества трофеев при их получении. Для меня на данный момент каждый сундук содержит семь обычных карт, каждая карта с вероятностью в 10% может быть редкой или эпической.

Обратите внимание: это означает, что на каждые семь карт есть 50% вероятность того, что хотя бы из них будет лучше, чем обычная.

Также сундук содержит 46–58 золота (упростим и предположим, что в среднем из сундука выпадает 52 золота, хотя реальное среднее значение, если посчитать, будет меньше).

Давайте сравним два ресурса. Используем наиболее вероятное распределение карт и золота и отбросим редкую возможность выпадения эпической карты, и посчитаем общее количество золота, необходимого для улучшения каждой выпадающей из сундука карты.

Необходимое золото на сундук = количество карт * [(вероятность выпадения обычной карты * золота на обычную карту) + (вероятность выпадения редкой карты * золота на редкую карту)] = 7 * (0,9×10 + 0,1×40) = 91.

Важно сказать, что все данные и вычисления носят примерный характер и могут содержать 10–20-процентную ошибку. Но 91 золота, необходимого для улучшения всех карт, против 52 золота, получаемого из сундука — довольно большая разница. Если включить в вычисления эпические карты, то результат окажется ещё хуже, потому что на каждую эпическую карту для улучшения нужно примерно 200 золота.

«Золотые» сундуки и сундуки с коронами — следующий уровень сундуков. На том же уровне трофеев золотой сундук содержит 161–184 золота (в среднем примерно 172) и 23 карты, две из которых гарантированно будут редкими или эпическими. Если вновь провести подсчёты, то окажется, что для улучшения этих карт нужно примерно 320 золота, что, опять же, намного больше, чем выпадает из сундука.

На более высоких уровнях ситуация ещё хуже: из серебряного сундука выпадает в среднем 85 золота и 11 карт. Для улучшения карт нужно 143 золота. 85 золота составляет лишь 60% от требуемого количества.

Первое заключение, которое мы можем вывести: в долгосрочной перспективе я могу улучшить только 60% всех моих карт (если использовать для прогресса только сундуки). А значит, я должен грамотно расставлять приоритеты и планировать заранее, что я хочу улучшить. Во-вторых, я не должен покупать карты в магазине, за исключением тех ситуаций, когда мне очень-очень нужны определённые карты. Ограничивающий фактор игры — золото, а не количество карт.

Ещё один механизм, меняющий игру — это возможность дарить карты членам своего клана. Каждые восемь часов любой участник может попросить своих союзников определённую карту. Если вы соглашаетесь и дарите карту, то взамен получаете немного золота и опыта игрока за свои труды. Механизм исключительно полезен для игрока, который дарит карты. Вы можете вместе со своим другом попросить одну и ту же карту, и, не теряя карт, просто обменявшись ими, вы получите золото и опыт.

Можно сказать много положительного про старания разработчиков сделать взаимодействия между игроками исключительно приятным и позитивным, но я обращу внимание только на математическую сторону вопроса: вы просто обязаны дарить свои карты каждый раз, когда у вас есть возможность, по исключительно эгоистичным причинам. Как я уже сказал, ограничивающий фактор в игре — количество золота. Поэтому «продавать» ненужные карты — правильное решение, даже если вам совсем не хочется кому-то помогать.

Некоторые читатели сочли моё интуитивное заключение о том, что не стоит покупать карты в магазине даже со скидкой, неверным. Они сказали, что если отдать купленные задёшево карты членам клана, то результатом будет небольшая прибыль. Итак, предположим, что мы купили первую обычную карту за день (всего за 3 единицы золота). Вычисления просты: цена продажи — цена покупки = 5 единиц золота и 1 XP — 3 золота = прибыль в 2 единицы золота и 1 XP.

С этим не поспорить, верно? А вот и не совсем. Во-первых, я говорил, что дарить надо те карты, которые выпали вам из сундуков, и всё равно уже у вас есть. Результатом будет ещё большая прибыль: 5 единиц золота и 1 XP — 0 золота = прибыль в 5 единиц золота и 1 XP

Довольно просто, не так ли? Единственная ситуация, когда первое уравнение работает — когда в вашем клане кому-то нужна та карта, которой нет у вас, но которая совершенно случайно есть в магазине прямо сейчас. Вам не нужно покупать карту, чтобы продать её.

Во-вторых, не каждую карту кто-то запрашивает. В моём клане примерно 4–5 карт запрашивают 80% времени (половина людей хочет карту «варвара»). Поэтому если вы вдруг купите непопулярную карту, то даже не сможете получить прибыль в две золотые монеты.

Насколько быстро развивается игрок, не платящий деньги

Практически в самом начале при первом запуске Clash Royale игрок видит надпись, гласящую что-то вроде «Clash Royale — бесплатная игра, но вы можете ускорить свой прогресс с помощью покупок в магазине». Какова скорость прогресса игрока?

Довольно сложно предсказать, как быстро будет расти ваш личный навык игры. Основной параметр, измеряющий прогресс — это количество полученного опыта. Посмотрим, как быстро он набирается.

Основной метод получения опыта — улучшение карт. Эпические карты довольно редки, так что не будем их учитывать. Взглянем на таблицу получения опыта за уровень карты.

Как мы уже выяснили, ограничивающим фактором является золото, поэтому предположим, что у нас достаточно карт для улучшения, и сфокусируемся на том, сколько опыта можно получить за одну монету. Разделим «Опыт за улучшение» на «Стоимость улучшения» и получим следующее:

Обратим внимание, что после нескольких первых уровней соотношение «опыт за золото» выравнивается до определённого значения: 0,05 опыта или меньше за одну монету. Стоит заметить, что быстрый прогресс на первых уровнях очень важен, чтобы привлечь игроков в первые часы. Так как большая часть золота тратится на высокоуровневые карты, мы можем использовать соотношение в 0,05 как достаточно точное приближение (чтобы не учитывать слишком большое количество вариантов).

Как быстро мы получаем золото? Предположим, что мы не вкладываем деньги в игру, и пока что забудем про механизм пожертвования карт участникам клана (напомню, что он приносит немного опыта и золота). В результате деньги золото мы получаем только из сундуков. Которых существует шесть типов:

Золото, выпадающее из сундуков, подсчитано для уровня в ~1500 трофеев

Что означает «Время открытия»? Одно из лучших решений Supercell для Clash Royale — это система открытия сундуков и хранилище сундуков. За каждую победу вы получаете сундук, но их нельзя просто открыть и сразу получить содержимое. Сундуки открываются какое-то время. Это время различно, оно зависит от типа сундука, и только один сундук можно открывать в один и тот же момент времени. Более того, одновременно в вашем хранилище может находиться только четыре сундука (и один из них, скорее всего, будет открываться), поэтому, если вы выиграете игру при полном хранилище, вы получите трофеи, но не сундук.

Механизм не только ограничивает прогресс игрока реальным временем, а не временем игры, он также поддерживает в игроках желание играть лишь несколько сражений подряд. Большинство бесплатных игр ограничивает пользователей механизмом энергии: вкратце, вы не можете играть больше X раз за Y время (если не платите реальные деньги), что обычно только раздражает пользователей. Такие системы сделаны не только для того, чтобы повысить прибыль от игры (немногие игроки вкладывают реальные деньги), но и для того, чтобы игроки не проводили в игре слишком много времени.

Представьте себе большой вкусный пирог, он настолько вкусный, что вы можете съесть его за один день, а потом вам покажется, что вы никогда больше в своей жизни не захотите прикоснуться к пирогу. Clash Royale (как и Fallout Shelter) расправляется с проблемой надоедания игры, не ограничивая игроков искусственно. Ведь решение не играть, если в результате победы не будет получен сундук, любому человеку покажется здравым и разумным.

Система хранилища сундуков может показаться довольно раздражающей. Но на самом деле именно она заставляет заходить в игру несколько раз в день на небольшое количество времени

Бесплатные сундуки и сундуки с короной игрок получает отдельно, их не нужно нигде хранить, и они открываются мгновенно, так что их можно считать дополнительным источником золота.

Второе, что я должен объяснить, это почему я написал слово «случайная» в кавычках (в таблице сундуков). Тип сундука, получаемого после победы, может показаться случайным, но на самом деле он определяется согласно записанному в игру циклу из 240 сундуков. В каждом цикле содержится ровно 180 серебряных сундука, 54 золотых сундука, 3 магических и 3 гигантских сундука. Предположим, что вы открываете сундуки самым оптимальным образом (что нереалистично), и постоянно держите один сундук открывающимся. Тогда вам потребуется ровно 1044 часов, чтобы открыть все сундуки в цикле, то есть 43,5 дня.

Так как из таблицы, на которую я ссылаюсь, мы точно знаем, в каком порядке выпадают сундуки , мы можем узнать, сколько золота будет получать игрок из разных сундуков каждый час в течение 1044-часового цикла.

Золото из сундуков за час. Высокие пики означают гигантский сундук, средние — магический, а маленькие — золотой

Обратите внимание, что скорость получения золота большую часть времени держится на одном уровне (примерно 39 золотых в час). Серебряные и золотые сундуки в час генерируют примерно равное количество золота, потому что серебряные сундуки открываются быстрее. На самом деле, в среднем игрок получает 43,5 золота в час благодаря вкладу особых сундуков. Примерно половина золота приходит из бесплатных сундуков и сундуков с короной, поэтому их не стоит недооценивать.

Стоит обратить внимание, что время выпадения особых сундуков выбрано не случайно. Дизайнеры Supercell распределили их с умом. Каждый особый сундук вызывает в игроках эмоциональный всплеск. Первый магический сундук выпадает практически в самом начале игры, что может понравиться каждому. И с большой вероятностью затянет игрока глубже. Но затем, в течение первых 500 часов игры, игрок получает только один гигантский сундук. Выбранная Supercell тактика показывает их уверенность в том, что основной геймплей вызывает достаточно привыкания, чтобы игроки не бросили игру за те три «пустынные» недели без особенных сундуков. Затем, во второй половине цикла игрока словно бы вознаграждают за терпение и стараются заново зажечь его любовь к игре, которая уже могла угаснуть. Другой причиной выбора псевдослучайного порядка выпадения наград может быть то, что псевдослучайное распределение кажется более «случайным». Частота выпадения серебряных и золотых сундуков выбрана не случайно. На каждые два золотых сундука обычно приходится 1–4 серебряных сундука.

Итак, мы вычислили примерную скорость получения золота. Умножим её на количество опыта, получаемого за одну золотую: опыт/час = Опыт/золото * золото/час = 0,05×43,5 = 2,175 опыт/час = 52,2 опыт/день.

Обратите внимание, что вполне возможно в день получать 10–15 или больше очков опыта, если дарить карты членам клана. Тут учитывается тот опыт, который игрок может получить напрямую, и тот, который ему приносит золото, полученное за подаренную карту. Поэтому я не могу не рекомендовать такую тактику, ведь она ускоряет получение новых уровней на 20–30%.

Теперь сравним наши данные с количеством опыта, необходимого для получения каждого уровня. И посчитаем, сколько (минимум) времени понадобится игроку. В своих вычислениях я учёл 25% опыта в день, получаемого, если дарить свои карты членам клана (а также за достижения).

За несколько дней активной игры игрок может достичь пятого уровня, но чем выше уровень, тем больше времени требуется на развитие (если игрок не платит). Достижение 8 уровня на оптимальной скорости игр займёт примерно 2 месяца, девятого — примерно 4 месяца. О 10–12 уровнях не стоит и говорить, они недостижимы.

С другой стороны, логично предположить, что игрок с более высоким уровнем трофеев будет получать больше опыта и уровней. Поэтому для точности учтём, что они будут получать сундуки с большим количеством золота и быстрее зарабатывать опыт. Но, к несчастью, думаю, даже на высоких уровнях трофеев (2000+) прогресс ускоряется только на 20–25%. Чтобы добраться до 12-го уровня, всё равно потребуются годы.

Так что, полагаю, самый точный ответ на вопрос «насколько быстро я могу получать уровни, не вкладывая в игру денег», будет «недостаточно быстро». Возможно, нашей целью будет достижение восьмого уровня, где мы и остановимся.

Или даже лучше: нашей целью будет достижение восьмого уровня и постоянные победы над «воинами кошелька» десятого уровня, чтобы показать им, что игровые навыки за деньги не купишь.

Как использовать кристаллы

Премиум-валюта Clash Royale — это кристаллы. Их можно покупать напрямую по курсу в 80–140 кристаллов за доллар в зависимости от размера покупки. Кристаллы можно использовать тремя различными способами: ускорить открытие сундука (худшее использование кристаллов), покупка сундуков высокого качества (самый популярный вариант) и покупка золота (лучший вариант, так как мы выяснили, что именно золото является ограничивающим фактором).

Как игрок, который не платит денег, вы можете получать кристаллы за единовременные достижение, а также примерно по 2–4 кристалла за «бесплатные» сундуки и сундуки с «короной». Мне не удалось найти надёжной статистики по поводу вероятности выпадения сундуков из «бесплатных» сундуков (сундуки с «короной» всегда выдают кристаллы), поэтому придётся использовать очень грубую оценку примерно в 1 кристалл за «бесплатный» сундук и 3 кристалла — за сундук с «короной». Что означает примерно 9 кристаллов в день в самом оптимальном случае.

Есть три варианта покупки золота: 1000 золота за 60 кристаллов (самый неэффективный), 1000 за 500 (самый логичный), и 100000 за 4500 (самый выгодный вариант, но игроку, который не вкладывает в игру реальные деньги, потребуется 17 месяцев, чтобы заработать столько кристаллов). 500 кристаллов можно накопить примерно за два месяца игры, или за полтора, если учесть 150 кристаллов, получаемых за достижения.

Предположим, что мы решили тратить кристаллы именно так, тогда каждый кристалл стоит примерно 20 золота, что увеличивает скорость зарабатывания золота в среднем до 51, то есть на 7,5 золотых. Разница 15%.

К несчастью, в первый раз нам удастся воспользоваться кристаллами только спустя полтора месяца игры. Примерно под конец 7-го уровня мы вдруг получим 10000 дополнительного золота — примерно 500 очков опыта, — и почти сразу достигнем 8-го уровня, сэкономив 10 дней. Супер.

Если вы хотите написать материал для рубрики «Рынок игр», рассказать о разработке своей игры или кейсе её роста, присылайте материал на games@vc.ru.