Рассуждение о природе «замороженной случайности» в распределении простых чисел
Гипотеза о природе сложности
Недавно в ленте FB попалось интереснейшее видео Теория Всего и феноменологическая Теория Сложности. Что это и почему это важно? где, помимо всего прочего интересного, прозвучала следующая цитата:
Идея самоиндуцированных спиновых стекол состоит в том, что беспорядок, в общем-то, не нужен, а что нужно нужно то, что называется фрустрации, или то, что называется конкурирующее взаимодействие. То есть когда у вас на систему действует несколько разнонаправленных тенденций и каждая хочет систему упорядочить, но каждая хочет систему упорядочить по-своему. Когда они все присутствуют одновременно и действуют одновременно система не может выбрать куда ей упорядочиваться. И вот она приходит в это в это состояние спинового стекла, несмотря на то что никакого беспорядка нет.
Михаил Кацнельсон, ©
(Примечание: Спиновые стёкла рассматриваются как состояние магнитной системы со случайным распределением спин-спиновых взаимодействий. В системе отсутствует дальний порядок, причем беспорядок в системе замороженный, то есть не меняется со временем).
Я достаточно далёк от физики в целом и данной тематики в частности, но вот сам тезис о связи конкурирующих взаимодействий и свойствах сложных систем демонстрировать, с одной стороны квази-случайное поведение, а с другой определённые закономерности показался очень любопытным, поскольку вызвал ассоциации с совершенно неожиданным объектом для сравнения — простыми числами. Точнее с их распределением.
В этой связи приведу другой тезис, кторый буду использовать как вторую отправную точку:
Ни нули дзета-функции Римана, ни собственные значения гауссовой случайной эрмитовой матрицы не похожи на случайно разбросанные точки (отличаются от идеально случайного разброса);
С одной стороны, рапределение простых чисел выглядит вполне случайным (хотя, право, мало ли что как выглядит…?!!), с другой стороны — случайность тут тоже «замороженная», ну, а с третьей — присутствуют и закономерности.
В частности, имеется:
С неё и начнем.
Функция a (x)
Рассмотрим некоторую функцию где ,
Из (1) выразим :
Получим :
Мы определели такую функцию , значения которой есть основания логарифма числа при котором соотношение (1) в точности соответсвует распределению простых чисел (т.е. функции ).
Можно заметить, что характерный ступенчатый вид функции естественным образом обусловлен свойствами базовых функций и .
Посмотрим на функции внимательней.
Элементарные свойства функций a_k (x) и π (x)
Семейство функций вида для и имеет единственный максимум при равный и монотонно и достаточно быстро убывает для всех .
1.2.
1.3. a_{k}(x)» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/5fc/f3b/c70/5fcf3bc70b2ed15a33867b7640fd6f26.svg» />
1.4. растёт крайне быстро и до очень больших значений на фиксированном интевале .
Функция обладает следующими элементарными свойствами:
2.1.
2.2 неубывающая ступенчатая функция.
Интерпретация графика a (x)
Несложно заметить, что функция (Рис. 1) является композицией функций (Рис. 4), на интервалах по всем простым , где для .
Поскольку на каждом интервале значение , то каждому интервалу соответсвует свой ниспадающий участок соответсвующей функции (»гирлянда»).
В силу 1.3 e» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/e94/052/162/e94052162ccc0d5694353d1219a6a3bf.svg» /> в силу 1.1 снова опускает его.
В силу того, что множество простых чисел бесконечно, а в силу 1.1 функция убывает и в то же время в силу 1.2 не опускается ниже 1 мы имеем постоянно действующий процесс взаимно конкурирующих взаимодействий.
Вывод
Согласно базовой гипотезе, наличие этих «фрустраций» (в смысле данном выше), вероятно, и может определять «случайный» характер распределения простых чисел.
P.S. Предел a (x)
Глядя на Рис. 2 можно предположить, что:
Во всяком случае, это было бы красиво :)
Habrahabr.ru прочитано 3118 раз