Пересмотр гипотезы континуума11.04.2025 19:46

Кризис классического континуума

Классическое представление о вещественной прямой основано на идее, что множество всех вещественных чисел уже существует как некий «завершённый» и однородный объект. Оно формализуется через множество всех подмножеств натуральных чисел и обладает фиксированной мощностью, называемой мощностью континуума. Такое понимание, разработанное Кантором и закреплённое в аксиоматиках типа ZFC, рассматривает вещественные числа как уже полностью заданное множество — без учёта того, как конкретные числа могут быть описаны или построены.

Однако с конца XIX века появляются сомнения в том, можно ли считать такие бесконечные объекты «реально существующими». Например, математики-интуиционисты, как Брауэр, считали, что континуум — это не готовая вещь, а нечто развивающееся, возникающее в процессе мышления. Позднее, в рамках конструктивной математики и так называемой обратной математики, стало ясно, что многие числа, используемые в классических доказательствах, вообще невозможно явно описать или сконструировать.

Сегодня это приводит к противостоянию двух взглядов:

Кардинальный (cardinality-based) подход считает, что множество вещественных чисел существует как целое, даже если его элементы невозможно выписать явно.
Основанный на определимости (definability-based) подход считает, что вещественные числа имеют смысл только тогда, когда их можно описать, приблизить или построить с помощью формальных методов.

В работе «On the Nature of Fractal Numbers and the Classical Continuum Hypothesis (CH)» (https://arxiv.org/abs/2504.04637) раскрывается подход, в котором числа появляются не сразу, а по мере расширения формальных систем: на каждом уровне можно выразить больше, чем на предыдущем. Получается не фиксированное множество, а процесс постепенного построения вещественной прямой.

Такой взгляд меняет само понимание континуума. Например, знаменитая гипотеза континуума утверждает, что между множеством всех натуральных чисел и вещественной прямой нет промежуточных размеров. Но если построить все возможные вещественные числа через конструктивный процесс, то мощность становится иной: вместо простого скачка от счётного к несчётному появляется сложная иерархия счетного количества континуальных уровней, на каждом из которых доступны новые числа.

В статье идет работа с такими вещественными числами, которые определимы на определённом уровне этой иерархии. Исследуется, как из них формируется новый взгляд на континуум — не как на абстрактный объект, а как на проекцию результата бесконечного процесса описания и построения. В конечном итоге происходит переход к классической математике, где сам процесс построения исключается, а числа, ранее возникавшие в рамках поэтапного формального конструирования, переносятся в другую категорию — воспринимаются как уже существующие объекты, принадлежащие завершённому множеству.

Формальные системы и выразимость

Чтобы говорить о том, какие вещественные числа можно «определить», нам нужен формальный критерий. Под конструктивной формальной системой будем понимать систему правил, в которой можно задавать объекты с помощью чётко описанных символов и логических выводов. В такой системе:

используется конечный или перечислимый алфавит;
все правила вывода можно описать алгоритмически;
любое определимое число задаётся через конечное доказательство или через алгоритм, корректность которого можно доказать внутри системы.

Вещественное число считается определимым в системе $\mathcal{F}$ , если можно задать последовательность рациональных приближений, которая сходится к этому числу, и сама сходимость (мера точности) доказуема внутри $\mathcal{F}$ .

Поскольку таких формальных систем счётное количество, каждая из них может определить только счётное множество вещественных чисел.

Обозначим числа выразимые в формальной системе $\mathcal{F}$ как $\mathbb{R}_{\mathcal{F}}$ .

Фрактальные числа как результат процесса

В подходе фрактальной определимости вещественные числа не постулируются заранее, а появляются по мере развития формальных систем. Такое число называется фрактальным, если оно впервые становится выразимым на определённом уровне в иерархии систем $\mathcal{F}_0, \mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2, \dots$

Степень фрактальности числа — это номер уровня, на котором оно впервые становится определимым.

Чем выше уровень, тем более сложным является число с точки зрения формального описания. Это создаёт слоистую структуру вещественной прямой, где числа возникают не сразу, а по мере роста выразительных возможностей системы.

Как устроена иерархия

Пусть у нас есть перечисление всех возможных конструктивных формальных систем. Тогда мы можем выбрать такую цепочку $\mathcal{F}_0, \mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2, \dots$ , где каждая следующая система может выразить больше чисел, чем предыдущая. Такая цепочка называется допустимой (admissible), если она построена по строго возрастающей функции.

Важно, что каждая такая цепочка определяется конструктивно — без обращения к аксиоме выбора или неперечислимым множествам. Сами системы описываются конечным способом, а включения между уровнями можно проверить.

Числа выразимые на каждом уровне $\mathcal{F_n}$ обозначим $\mathbb{R}_{\mathcal{F_n}}$ .

Уровень происхождения числа , обозначаемый $\deg(r)$ , — это наименьший индекс , при котором $r \in \mathbb{R}_{\mathcal{F}_n}$ . Множество всех таких чисел на уровне обозначим так:

$\Delta_n := \mathbb{R}_{\mathcal{F}_n} \setminus \bigcup_{k < n} \mathbb{R}_{\mathcal{F}_k}.$

Числа выразимые всей допустимой цепочкой формальных систем обозначим

$\mathbb{R}_{\{\mathcal{F}_n\}} := \bigcup_n \mathbb{R}_{\mathcal{F}_n}.$

Континуальность фрактальных цепочек

Множество всех таких допустимых цепочек $\mathbb{F}_\omega$ имеет ту же мощность, что и пространство Кантора, то есть классическую мощность континуума $\mathfrak{c}$ . Это значит, что мы можем построить настолько богатую структуру, что она охватывает всю континуальность, не прибегая к классическим абстракциям.

Этот результат носит конструктивный характер и не зависит от конкретных аксиом теории множеств. Он работает в любой метатеории, в которой можно формально описывать бесконечные двоичные последовательности.

Все возможные определимые числа можно обозначить так:

$\mathbb{R}^{\mathbb{F}_\omega} := \bigcup_{\{\mathcal{F}_n\} \in \mathbb{F}_\omega} \mathbb{R}_{\{\mathcal{F}_n\}} = \bigcup_{\{\mathcal{F}_n\} \in \mathbb{F}_\omega} \bigcup_{n} \mathbb{R}_{\mathcal{F}_n}.$

Каждое вещественное число $r \in \mathbb{R}^{\mathbb{F}_\omega}$ явно определимо в некоторой системе $\mathcal{F}_n$ внутри некоторой допустимой цепочки $\{ \mathcal{F}_n \}$ .

Фрактальная мощность и появление промежуточных континуумов (альтернатива Гипотезе Континуума)

Классическое представление о вещественной прямой считает её цельным и неделимым множеством, обладающим определённой мощностью — $\mathfrak{c}$ , так называемой мощностью континуума. В этом подходе нет места для промежуточных «размеров» — между счётным множеством $\aleph_0$ и $\mathfrak{c}$ ничего не должно быть. Именно это утверждает гипотеза континуума (CH).

Однако в стратифицированной модели, основанной на уровнях выразимости, возникает иная картина. Каждая конструктивная цепочка $\{ \mathcal{F}_n \}$ задаёт только счётное множество вещественных чисел. Но всё множество допустимых цепочек $\mathbb{F}\omega$ обладает мощностью континуума $\mathfrak{c}$ . Это открывает путь к естественной иерархии промежуточных континуумов: можно исследовать, какие числа появляются на уровне не в одной фиксированной цепочке, а в совокупности всех возможных.

Локальная и глобальная определимость

Локальные уровни определимости

Теперь мы можем формально различить два уровня определимости:

Локальная определимость — это числа, которые можно выразить к определённому уровню в рамках одной фиксированной цепочки формальных систем.
Глобальная определимость — это числа, которые выражаются на том же уровне, но если учитывать все возможные допустимые цепочки.

Пусть $C \in \mathbb{F}_\omega$ — фиксированная цепочка формальных систем:

$C = \{ \mathcal{F}_0^{(C)}, \mathcal{F}_1^{(C)}, \mathcal{F}_2^{(C)}, \ldots \}.$

Тогда:

$\mathbb{R}_C^{(n)}$ — множество всех чисел, определимых на уровне этой цепочки;
$\mathbb{R}_C^{[\leq n]}$ — множество чисел, определимых на любом уровне от 0 до включительно этой цепочки.

Для любой фиксированной цепочки и любого уровня n верно:

$\mathbb{R}_C^{(n)} = \mathbb{R}_C^{[\leq n]}.$

Это означает, что внутри одной цепочки всё множество чисел, появляющихся на уровне n, уже содержится в объединении предыдущих уровней — они «схлопываются».

Но при рассмотрении всех цепочек сразу открывается путь к появлению промежуточных континуумов — таких множеств вещественных чисел, которые находятся между счётными и классически несчётными, и возникают в зависимости от уровня определимости и выбора цепочки.

Глобальные уровни определимости

Рассмотрим теперь не одну цепочку формальных систем, а сразу все допустимые. Это позволяет ввести понятие глобальных уровней определимости — то есть всех вещественных чисел, которые можно выразить на уровне n, если перебрать все возможные цепочки.

Обозначим через $\mathbb{R}^{(n)}$ множество всех вещественных чисел, которые становятся определимыми именно на уровне в какой-либо допустимой цепочке.
А через $\mathbb{R}^{[\leq n]}$ — все числа, которые становятся определимыми на каком-либо уровне от 0 до включительно, опять же — в любой цепочке.

Таким образом:

$\mathbb{R}^{(n)} := \bigcup_{C \in \mathbb{F}_\omega} \mathbb{R}_C^{(n)} = \bigcup_{C \in \mathbb{F}_\omega} \mathbb{R}_{\mathcal{F}_n^{(C)}},$ $\mathbb{R}^{[\leq n]} := \bigcup_{C \in \mathbb{F}_\omega} \mathbb{R}_C^{[\leq n]} = \bigcup_{C \in \mathbb{F}_\omega} \bigcup_{k=0}^n \mathbb{R}_{\mathcal{F}_k^{(C)}}.$

Теорема о схлопывании уровней в глобальной структуре

Если рассматривать только допустимые (конструктивно возрастающие) цепочки, то для любого уровня глобальный слой определимости $\mathbb{R}^{(n)}$ совпадает с объединением всех предыдущих и текущего уровня:

$\mathbb{R}^{(n)} = \mathbb{R}^{[\leq n]}.$

Что это означает?
Даже если мы берём в расчёт все возможные допустимые пути построения вещественных чисел, на каждом фиксированном уровне не появляются «новые» числа, выходящие за пределы того, что уже доступно к этому моменту. Все числа, которые можно определить на уровне , уже входят в совокупность определимых чисел до него.

Это важный результат: он показывает, что фрактальная структура не даёт скачкообразного роста мощности на фиксированном уровне, но при этом оставляет возможность для появления новых чисел при дальнейшем продвижении по иерархии.

Конструктивное приближение к континууму

Монотонный рост фрактального континуума

Для каждого уровня множество всех вещественных чисел, определимых к этому уровню, строго включено в множество на следующем уровне.

Стратифицированная кардинальная последовательность

Определим:

$\kappa_n := | \mathbb{R}^{[\leq n]} |.$

Тогда последовательность мощностей строго возрастает:

$\kappa_0 < \kappa_1 < \dots < \kappa_n < \dots < \kappa_\omega := | \mathbb{R}^{\mathbb{F}_\omega} | = \mathfrak{c}.$

Стратифицированная формулировка CH

В рамках стратифицированного подхода гипотеза континуума сводится к вопросу:
«Существует ли конечный уровень n, на котором уже достигается весь континуум?»
Ответ — отрицательный:

$\forall n,\quad \kappa_n < \mathfrak{c}, \quad \text{и} \quad \lim_{n \to \infty} \kappa_n = \mathfrak{c}.$

Полный континуум появляется не на каком-либо конкретном шаге, а как результат бесконечного конструктивного процесса.

Кардинальность и плотность прироста

Обозначение:

$\Delta_n^{\mathbb{F}_\omega} := \mathbb{R}^{[\leq n]} \setminus \mathbb{R}^{[\leq n-1]}, \quad \mathbb{R}^{[\leq -1]} := \emptyset.$

Теорема (континуумная мощность каждого слоя)

Каждый новый слой определимости имеет свою континуальную мощность:

$| \Delta_{n+1}^{\mathbb{F}_\omega} | = \mathfrak{c}.$

Теорема (внутренняя плотность слоёв)

Любой слой $\Delta_n^{\mathbb{F}_\omega}$ плотен сам в себе: в любой сколь угодно малой окрестности числа из этого слоя можно найти другое число того же слоя.

Стратифицированное расщепление континуума

Классическая вещественная прямая $\mathbb{R}$ выглядит как однородное целое. В стратифицированной модели $\mathbb{R}^{\mathbb{F}\omega}$ континуум распадается на счётную совокупность непересекающихся, плотных, континуальных слоёв:

$\mathbb{R}^{\mathbb{F}\omega} = \bigcup_{n=0}^\infty \Delta_n^{\mathbb{F}\omega}, \quad| \Delta_n^{\mathbb{F}\omega} | = \mathfrak{c}, \quad\Delta_n^{\mathbb{F}\omega} \cap \Delta_m^{\mathbb{F}\omega} = \emptyset \text{ for } n \neq m.$

Такое разбиение континуума на попарно непересекающиеся плотные подмножества мощности $\mathfrak{c}$ невозможно в рамках классической теории множеств, поскольку в любом сепарабельном метрическом пространстве (включая $\mathbb{R}$ ) любые два плотных подмножества мощности континуума имеют непустое пересечение.

Таким образом, стратифицированный подход даёт принципиально новую — конструктивную — модель континуума, в которой видна внутренняя структура и происхождение вещественных чисел.

От фрактального континуума к классическому завершению

Теперь переходим к заключительному шагу: процесс построения больше не учитывается и заменяется готовой, завершённой структурой.

Конструктивное отображение на отрезок [0,1]

Стратифицированная структура $\mathbb{R}^{\mathbb{F}_\omega}$ задаёт естественное разбиение единичного отрезка [0,1] на уровни различной логической сложности. При этом сохраняется обычная топология отрезка, но внутреннее устройство становится иерархическим и осмысленным с точки зрения выразимости.

Фрактальная версия отрезка [0,1] определяется как:

$[0,1]^{\mathbb{F}_\omega} := \bigsqcup_{n=0}^\infty \Delta_n^{[0,1]},$

где каждый слой задан как:

$\Delta_n^{[0,1]} := \Delta_n^{\mathbb{F}\omega} \cap [0,1],$

то есть это множество всех чисел из $\Delta_n^{\mathbb{F}\omega}$ , лежащих на отрезке [0,1] .

Конструктивная реконструкция классического отрезка

Классический отрезок [0,1] можно рассматривать как завершение фрактального (конструктивного) ядра путём добавления элементов, определяемых с опорой на неконструктивные принципы, такие как аксиома выбора. Это приводит к объединённой модели, сочетающей поэтапную выразимость с классическим представлением о полной вещественной прямой.

Теорема (синтез фрактального и классического)

Пусть $\mathbb{R}^{\mathbb{F}\omega}$ — фрактальный континуум, а $\mathbb{R}^{\neg\mathrm{con}}$ — множество неконструктивных вещественных чисел (например, тех, чьё существование следует из аксиомы выбора). Тогда:

$[0,1]_{\mathrm{classic}} \cong [0,1]^{\mathbb{F}_\omega} \oplus \mathbb{R}^{\neg\mathrm{con}} \big/ \sim,$

где отождествляются:

конструктивные числа с их классическими аналогами;
неконструктивные числа — с идеальными (но невыразимыми) точками классической модели.

Континуум как стратифицированная конструкция

В этом подходе классическая вещественная прямая перестаёт быть изначальной и непрозрачной данностью. Вместо этого она понимается как семантическая «тень» более глубокой, поэтапно разворачивающейся структуры.

Фрактальный континуум — это не просто множество, а стратифицированная структура, в которой каждое число связано с определённым уровнем формальной выразимости и несёт на себе отпечаток своего логического происхождения.

Такое понимание предлагает новое основание для анализа континуума:

вместо абстрактного существования — конструктивная определимость;
вместо абсолютной мощности — внутренняя структура выражения;
вместо однородности — стратифицированная архитектура.

Континуум становится не статичным множеством, а горизонтом формальной выразимости — иерархией математического смысла, основанной не на размере, а на доказуемости.

Фрактальная модель позволяет выявить границы того, что можно осмысленно выразить, сохраняя при этом совместимость с классической математикой и допуская существование недостижимых чисел — как идеальных объектов за пределами формализуемого знания.

Habrahabr.ru прочитано 6630 раз