Чудесное совпадение или ожидаемая связь: почему π²≈g
Давайте ненадолго перенесёмся в школьные годы и вспомним уроки математики и физики. Помните, чему равно число π? Естественно помните, мы же на Хабре! А чему равно π в квадрате? Это тоже странный вопрос. Конечно, 9,87. А чему равно ускорение свободного падения g помните? Ещё бы, это число так тщательно вдолбили в нашу память, что захочешь — не забудешь: 9,81 м/c². Конечно, оно может варьироваться, но для решения базовых школьных задачек мы обычно использовали именно это значение.
Таинственное равенство
А теперь, внимание, следующий вопрос:, а с какого это перепугу вдруг π² примерно равно g? Ну, скажете вы, в приличном обществе такие вопросы не задают. Во-первых, не очень-то и равно. Разница есть уже во втором разряде после запятой. Во-вторых, π — это безразмерное число, а g — физическая величина со своей размерностью.
И всё-таки, как ни крути, не может это быть простым совпадением. Как писали братья Стругацкие:»я уважаю числа, и совпадение номеров — в особенности шестизначных — для меня автоматически ассоциируется с совпадением пронумерованных предметов». Тут, конечно, не шестизначные номера, но всё же…
Это «ж-ж-ж» неспроста
Для начала внимательно посмотрим на правую часть. Значение 9,81 — это м/c². Но ведь это далеко не единственные единицы измерения. Если представить эту величину в любых других единицах, то магия сразу пропадает. Значит, это «ж-ж-ж» (в смысле, «g-g-g») неспроста — будем копать в направлении метров и секунд.
Что вообще такое «метр» и как он может быть связан с π? На первый взгляд, никак. В Википедии написано, что «Метр — это длина пути, проходимого светом в вакууме за интервал времени 1/299 792 458 секунды». Вот, секунды уже появились — хорошо! Но про π всё равно ничего нет.
Подождите, а почему именно 1/299 792 458? Почему, например, не 1/300? Откуда вообще взялось это число? Видимо, нужно как следует разобраться с историей самой единицы измерения длины.
Даёшь по эталону каждому честному торговцу
Раньше со всякими эталонами не заморачивались: думали только о том, как удобнее будет мерить. Например, почему бы не измерять длину в человеческих локтях? Хоть и примерно, но зато дёшево, надёжно и практично. А то, что у всех локти разной длины, так это иногда даже и полезно. Надо побольше полотна купить — кличем самого высокого жителя деревни: пусть отмеряет ткань своими локтями.
Потом, конечно, задумались о стандартизации. Стали создавать всякие эталоны. Но всё это выходило неудобно и хлопотно: к единому эталону обычно не побегаешь. Стали появляться копии эталонов. А потом копии копий эталонов…
Серьёзные люди решили, что такой бардак мешает солидному бизнесу и поставили ТЗ: придумать такое определение единицы измерения длины, которое не зависело бы от всяких дурацких эталонов. Пусть оно зависит только от природных величин, чтобы любой желающий при наличии несложных приспособлений мог его воспроизвести и измерить. Короче говоря, даёшь по эталону каждому честному торговцу!
Светлые мечты о стандартизации и коварная гравитация
Для метра такое «безэталонное» определение придумали ещё в XVII веке. Голландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель Христиан Гюйгенс предложил использовать для этой цели обычный маятник. Берём небольшое тело и подвешиваем его на нити. Длину нити выбираем так, чтобы маятник совершал полное колебание (возвращался в исходное положение) ровно за две секунды. Такую длину нити называли «универсальной мерой» или «католическим метром». От современного метра эта длина отличалась примерно на полсантиметра.
Предложение понравилось и его взяли на вооружение. Однако скоро начались проблемы. Во-первых, Гюйгенс рассматривал систему, которая называлась «математический маятник». Это «материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити». Материальную точку и нерастяжимую нить вряд ли получится отнести к несложным приспособлениям, которые есть у каждого купца.
Во-вторых, довольно быстро обнаружилось, что длина нити предложенного маятника различается в разных местах Земли. Сила тяжести коварно уменьшалась при приближении к экватору и не желала содействовать человечеству в светлой мечте о стандартизации.
Удивительное равенство
Но вернёмся к нашему таинственному равенству. Для того, чтобы получить период малых колебаний математического маятника в зависимости от длины подвеса, используют такую формулу:
Вот же оно — наше π! Давайте подставим сюда параметры маятника Гюйгенса. Длина нити l в маятнике Гюйгенса равна 1. T — это период колебаний, он равен 2. Подставим эти значения в формулу, и получим π²=g.
Получается, что мы нашли ответ на наш вопрос? Хотя нет, погодите. Мы же видели, что равенство только примерное. Рука не поднимается поставить знак точного равенства между 9,87 и 9,81. Выходит, что метр с тех пор ещё раз поменялся?
С французским революционным приветом
Да, действительно, поменялся! Произошло это в ходе реформы единиц измерения, которую затеяла Французская академия наук в 1791 году. Умные люди предложили оставить в силе определение метра через маятник, только добавить уточнение, что это должен быть именно французский маятник — на широте 45° N (примерно между Бордо и Греноблем).
Однако это крайне не понравилось комиссии, которая занималась реформой. Дело в том, что руководитель комиссии Жан-Шарль де Борда был ярым приверженцем перехода на новую (революционную) систему измерения углов — в градах (град — это одна сотая часть прямого угла). Каждый град делился на 100 минут. Каждая минута — на 100 секунд. Метод секундного маятника совершенно не вписывался в эту стройную концепцию.
Метр подлинный и окончательный
В итоге от секунд благополучно избавились и определили метр как одну сорокамиллионную часть Парижского меридиана. Или иначе как одну десятимиллионную часть расстояния от северного полюса до экватора по поверхности земного эллипсоида на долготе Парижа. Эта величина слегка отличалась от «маятникового» метра. Комиссия без ложной скромности обозвала полученную величину как «метр подлинный и окончательный».
Идея универсального эталона, доступного каждому, помахала ручкой и ушла в закат. Нужен точный эталон метра — нет проблем! Нужно всего лишь измерить длину меридиана и поделить её на несколько миллионов. Кстати, французы так и поступили — реально измеряли кусочек Парижского меридиана — дугу от Дюнкерка до Барселоны. Прокладывали цепь из 115 треугольников через всю Францию и часть Испании. По результатам измерений они изготовили латунный эталон. Кстати, они тогда ошиблись — не учли полюсное сжатие Земли.
Хотели как лучше, а получилось как всегда
Давайте снова вернёмся к нашему равенству. Теперь мы знаем, откуда взялась неточность: π² и g различаются примерно на 0,06. Если бы не очередная попытка всё реформировать и улучшить, мы бы сейчас имели немного другое значение метра и красивое равенство π²=g. Впоследствии учёные вернулись к определению метра через неизменные и воспроизводимые природные величины, но эталон метра уже был совсем не тот. Вот такая замечательная иллюстрация принципа «Хотели как лучше, а получилось как всегда».
Ещё почитать:
Habrahabr.ru прочитано 3208 раз
