В математике нашёлся «универсальный вентиль»: одна операция вместо всех формул
В математике может появиться аналог логического вентиля NAND — единственная операция, через которую выражается всё. Анджей Одживолек (Andrzej Odrzywolek) из Института теоретической физики Ягеллонского университета представил прорывную работу, которая может радикально изменить понимание фундаментальных математических операций.
Автор предложил бинарный оператор eml (x, y) = exp (x) − ln (y), который, вместе с константой 1, способен воспроизводить весь набор элементарных функций — от арифметики до тригонометрии. Это означает, что вычислительная математика может быть сведена к одному «строительному блоку», как цифровые схемы сводятся к NAND-гейтам.
Работа отвечает на фундаментальный вопрос: существует ли для непрерывной математики такой же универсальный примитив, как NAND в булевой логике. Прежде считалось, что элементарные функции требуют набора независимых операций — сложения, умножения, логарифмов, тригонометрии. Автор показывает, что это разнообразие можно свести к одной операции.
Ключевая идея основана на том, что экспонента и логарифм уже образуют почти полный базис для вычислений. Так, умножение можно выразить как exp (ln a + ln b), а возведение в степень — как exp (b ln a). Оператор eml объединяет exp, ln и вычитание в одну функцию. В простейших случаях это даёт прямые конструкции: exp (x) = eml (x, 1), а логарифм выражается через вложенные применения eml.
В результате любое выражение принимает форму бинарного дерева, где каждый узел — это одна и та же операция eml. Формально это задаётся грамматикой вида S → 1 | eml (S, S). Такая структура принципиально отличается от стандартной записи формул, где используются десятки различных операторов.
Иллюстрация: SoraАвтор проверил полноту этого базиса с помощью итеративного «абляционного» тестирования. Из исходного набора из 36 математических примитивов последовательно удалялись элементы, затем проверялось, можно ли восстановить их через оставшиеся. Верификация проводилась численно: вместо символьного доказательства использовались подстановки независимых трансцендентных констант и сравнение значений. Это позволило показать, что eml и константа 1 действительно образуют полный набор.
Практическое следствие — радикальное упрощение символьной регрессии. Обычно это задача с большой сложностью, требующая эвристик, генетических алгоритмов или комбинаторного поиска по огромному пространству возможных формул и операторов. В представлении через eml все формулы становятся однородными деревьями одного типа. Это позволяет позволяет унифицировать аппаратную архитектуру для математических вычислений, подобно тому, как цифровые схемы строятся из идентичных транзисторов или вентилей NAND. Это может привести к более эффективным, компактным и, возможно, более быстрым вычислительным устройствам для научных и инженерных задач.
Работа также описывает возможность создания EML-компилятора, переводящего формулы в эквивалентные выражения через eml. Такие выражения можно вычислять на оборудовании с единственной инструкцией — самим оператором. Такие компиляторы могут генерировать код, который выполняется на специализированном EML-оборудовании или эмулируется на традиционных компьютерах, но с гарантией унифицированной структуры. Это может быть полезно для систем, где нужна высокая степень детерминизма, предсказуемости производительности или минимизации аппаратных ресурсов.
При этом возникают и ограничения. Для генерации некоторых констант, таких как π и i, вычисления должны переходить в комплексную область, поскольку требуется выражение ln (−1). Также обсуждаются проблемы переполнения и точности вычислений с плавающей запятой, которые требуют дополнительных ограничений на диапазоны значений.
В более широком контексте работа показывает, что структура элементарных функций может быть значительно проще, чем считалось. Если подход масштабируется, он может связать машинное обучение и классическую науку: вместо моделей, дающих только предсказания, появляется возможность автоматически извлекать точные математические законы из данных.
В статье прямо не указано, как осуществлялась формальная внешняя верификация. Публикация на arXiv (arXiv:2603.21852v2) подразумевает, что работа прошла некоторую форму рецензирования (и будет проходить его в рамках дальнейшей публикации в научном журнале). Версия v2 указывает на то, что работа, возможно, была обновлена или скорректирована после первоначальной публикации, возможно, с учётом комментариев или предложений. Однако конкретные детали внешнего рецензирования в самой статье не приводятся. Таким образом, основная верификация работы была проведена самим автором с использованием строгих вычислительных и методов верификации.
© iXBT
