Визуализация хаоса: как представляют аттракторы динамических систем
©
Среди ученых ходит байка о нетривиальном способе сделать свой доклад интересным и увлекательным. Во время выступления нужно выбрать в зале самого недоумевающего, самого потерянного слушателя, и рассказывать персонально ему, да так, чтобы зажечь в глазах огонек интереса.
Еще известен афоризм, приписываемый физику Ричарду Фейнману: «Если вы ученый, квантовый физик, и не можете в двух словах объяснить пятилетнему ребенку, чем вы занимаетесь, — вы шарлатан».
Доступно объяснять устройство сложных вещей — великий навык, однако бывают истории, о которые сломает язык даже самый искусный оратор. Теория динамических систем — вот та область, где без визуализации чувствуешь себя слепым садовником в окружении колючих, увенчанных шипами растений.
Сложные непериодические режимы поведения динамических систем можно описать непериодическими траекториями — так называемыми странными аттракторами, имеющими фрактальную структуру. Сегодня покажем, как визуализируют поведение странных и некоторых других аттракторов.
Great attractor
Если остановить на улице первого попавшегося человека, посветить ему в лицо фонариком и спросить, что он знает об аттракторах, то, скорее всего, ничего не услышим услышим о Великом аттракторе, притягивающем к себе в глубинах космоса сотни тысяч галактик, чтобы однажды перезапустить Матрицу.
На самом деле космологические аттракторы — это области гравитационной аномалии, вызванные, по всей видимости, особыми галактическими скоплениями, и не имеющие прямого отношения к теме статьи.
Безусловно, стоит отметить, что теория динамических систем особенно хорошо подходит для определения возможных асимптотических состояний различных космологических моделей. Да и видео интересное — посмотрите.
Lorenz attractor
Один из самых знаменитых аттракторов — аттрактор Лоренца, получивший известность благодаря массовому распространению термина «эффект бабочки». Помимо того, что при визуализации аттрактора его форма напоминает бабочку, он представляет собой набор хаотических решений системы Лоренца.
Демонстрация хаотических систем, подобных аттрактору Лоренца (можно сделать самому на C++).
Суть решений Эдварда Лоренца в нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений можно передать следующим образом: в любой физической системе при отсутствии совершенного знания начальных условий мы не способны в полной мере предсказать ее будущее. Физические системы могут быть полностью непредсказуемыми даже при отсутствии квантовых эффектов.
Hidden attractor
Аттрактор называется скрытым, если его область притяжения не пересекается с определенной открытой окрестностью точек равновесия. В противном случае он называется самовозбуждающимся аттрактором (self-excited attractor).
Классификация аттракторов (скрытые или самовозбуждающиеся) появилась только в 2009 году — после того как был обнаружен скрытый аттрактор в простейшей электрической цепи Чуа с одним нелинейным резистором, демонстрирующей режимы хаотических колебаний.
Multiscroll attractor
Это целое семейство многокомпонентных аттракторов, включающее в том числе модифицированный скрытый хаотический аттрактор Чуа.
Nonchaotic attractor
Помимо «обычных» хаотических аттракторов существуют периодические, квазипериодические, а также странные нехаотические аттракторы.
Один из основных критериев, по которому аттрактор можно причислить к нехаотическим, — расчет показателей Ляпунова. В этом типе аттракторов для системы экспоненты Ляпунова не являются положительными.
Hyperchaotic attractor
Hyperchaotic attractor — это визуализация дифференциальных уравнений Safieddine Bouali. Гиперхаотические аттракторы существуют только в динамических системах, размерность фазового пространства которых более или равна четырем. Модели гиперхаотических аттракторов могут использоваться в реальных приложениях, имеющих отношение к безопасной связи и шифрованию.
Limit Cycle
Непрерывная динамическая система с изолированной орбитой, подразумевающая самоподдерживающиеся колебания (например, колебания маятниковых часов или сердцебиение во время отдыха).
Rössler attractor
Хаотический аттрактор системы дифференциальных уравнений Рёсслера. В 1976 году врач Отто Рёсслер представил трехмерную модель динамики химических реакций, протекающих в некоторой смеси с перемешиванием. Для аттрактора Рёсслера характерна фрактальная структура в фазовой плоскости.
На аттракторе Рёсслера траектории не пересекают сами себя. Поверхности, образующие странный аттрактор, делятся на отдельные слои, создавая бесконечное множество поверхностей, каждая из которых находится чрезвычайно близко к соседней. Можно допустить, что лента, которая образует основание аттрактора, подобна многослойному листу Мёбиуса.
Spiral attractor
Spiral attractor — аттрактор, позволивший изучить жизнь амеб Dictyostelium discoideum. При истощении питательных ресурсов амебы секретируют циклический аденозинмонофосфат (цАМФ) — сигнальные молекулы, привлекающие соседние клетки к центральному местоположению. Голодные миксамёбы (одноклеточная стадия развития Dictyostelium), подчиняясь сигналам, сползаются к центру, который образовался в результате «склеивания» первых миксамёб, случайно оказавшихся рядом. Соединяясь с помощью молекул клеточной адгезии, они образуют агрегат из нескольких десятков тысяч клеток. Собственно, этот процесс и представлен на видео.
Tinkerbell attractor
Карта Тинкербелла — динамическая система с дискретным временем, демонстрирующая хаотическое поведение в двумерном пространстве. Форму Тинкербелла можно изменить, чтобы получить другие хаотические аттракторы в системах защищенных коммуникаций, использующих хаос связи.
Thomas' cyclically symmetric attractor
Трехмерный аттрактор, предложенный биоинформатиком Рене Томасом, может рассматриваться как траектория демпфирующей частицы, движущейся в трехмерной решетке сил.
Ikeda attractor
Фрактальный набор, к которому притягивается орбита любой точки на плоскости, если мы продолжаем итерацию определенной карты от плоскости к самой себе.
Заключение
Мы рассмотрели лишь несколько известных типов аттракторов. Всего же вы можете найти упоминания о сотне различных аттракторов.
Надо отметить, что это очень молодая область науки, и поиск, начавшийся с идеи уйти от математической абстракции в сторону практического «создания» хаоса, продолжается по сей день.
Неизменно одно: наш интерес с силой Великого аттрактора притягивают системы, чрезвычайно чувствительные к небольшим отклонениям в описании начального состояния. Мы сталкиваемся с этими системами не из праздного любопытства — мы живем среди них и благодаря им.
