Таблицы сопряженности: лог-линейные модели и Марковские сети15.08.2015 14:03

В предыдущей части публикации был рассмотрен метод факторизации неотрицательных матриц в качестве снижения размерности и визуализации таблиц сопряженности. В этой части будет проведен статистический анализ полученных диаграмм с использованием лог-линейных моделей. Напомню, примеры демонстрируются для complex survey данных — стратифицированных, кластеризованных и взвешенных выборок. Это обстоятельство предполагает применение специальных методов оценки и выбора моделей. Для визуализации полученных результатов применяются Марковские сети — удобный инструмент графического представления взаимодействия факторов лог-линейных моделей.

Кратко о предыдущей серии. По ESS данным 2012 года для генеральной совокупности «Мужчины возраста 25–40 лет» была построена таблица о степени поддержки человеческих ценностей в каждой из стран опроса. Для понижения размерности представления матрицы размера 29×21, определяемой таблицей, было произведено NMF преобразование ранга 5. Повторю итоговую теплокарту позиционирования всех 29 стран в полученном пространстве, чтобы она была перед глазами

Постановка задачи
Построенная карта подсказывает между какими странами (или кластерами стран) гипотеза о независимости распределения долей ценностных переменных от стран (кластеров стран) может быть отклонена. Требуется статистически подтвердить возникающие гипотезы. Для примеров будем использовать следующие группы стран

• Россия и Словакия, по результатам иерархической кластеризации — соседи;
• Франция и Россия, как варианты стран с различными представлениями.

Разумеется выбор не ограничивается только этими примерами и исследователь может выбрать те страны или кластеры стран, совпадающие с его интересами.
Помимо проверки гипотез возникает вопрос — как взаимодействуют ценностные факторы в зависимости от группы выбранных стран? Требуется выявить эти возможные различия.

Немного о таблицах сопряженности
Все ценностные переменные в таблице для выполнения NMF преобразования воспринимались как одна переменная со множественным выбором (multiple response variable). Это было необходимо для представления данных в виде двухмерной таблицы, то есть таблицы образованной двумя переменными. В действительности у нас ситуация несколько иная, полный набор из 21 ценностной переменной и 1 переменная указывающая страну определяют 22-мерную таблицу сопряженности.
Вероятно это покажется удивительным, но с точки зрения построения статистических моделей, многомерные таблицы сопряженности (c single response переменными и без пропущенных ответов) — более простая ситуация, нежели таблицы с multiple response переменными. Кроме того, с помощью NMF размерность таблицы была снижена до 6 — 5 латентных переменных + 1 переменная со страной.

Лог-линейные модели
Классический метод анализа многомерной таблицы сопряженности — построение ее лог-линейной модели. Лог-линейный анализ можно воспринимать как обобщение хи-квадрат критерия на случай многомерных таблиц. Определение лог-линейных моделей можно посмотреть в Википедии (eng). По этой теме доступны материалы с примерами на русском языке, например, здесь или здесь, а также детальные лекции на английском языке здесь.

Прежде чем перейти к вычислениям отметим, что в общем случае многомерные таблицы сопряженности определяют мультиномиальное распределение. Но когда маргинальные суммы этого распределения по одному измерению или нескольким измерениям фиксированы, получаем так называемое product-multinomial распределение. Поэтому требуется накладывать дополнительные ограничения на параметры лог-линейных моделей для таких таблиц. Подробности можно найти в главе 12 книги [1]. В нашем случае маргинальные суммы фиксируются по одному измерению — размеры генеральных совокупностей в каждой из стран являются константами. Это означает, что главный эффект отвечающий переменной со страной не может быть исключен из модели.

Последнее замечание. Мы опустим вопрос о том, какие таблицы для survey данных считаются разреженными и, как следствие, не будем проводить соответствующие проверки.

Определяем и сравниваем модели
По-прежнему используем пакет survey [2] среды R для учета эффектов стратификации, кластеризации и взвешивания выборки. Более подробно об этом сообщалось в одной из прошлых публикаций. Параметры лог-линейных моделей для complex survey данных ровно те же самые, что и для таблиц без учета дизайна исследования. Требуется корректировка формул вычисляющих значимость параметров модели (как в отдельности, так и в совокупности).

library(foreign)
library(data.table)
library(survey)

srv.data <- read.dta("ESS6e02_1.dta")
srv.variables <- data.table(name = names(srv.data), title = attr(srv.data, "var.labels"))
srv.data <- data.table(srv.data)
setkey(srv.data, cntry) 
setkey(srv.variables, name)

fr.dt<-data.table(read.dta("ESS6_FR_SDDF.dta"))
ru.dt<-data.table(read.dta("ESS6_RU_SDDF.dta"))
ru.dt[,psu:=psu+150]  # psu values are changed to avoid their intersections between countries
sk.dt<-data.table(read.dta("ESS6_SK_SDDF.dta"))

sddf.data <- rbind(fr.dt, ru.dt, sk.dt)
setkey(sddf.data, cntry, idno)

cntries.data <- srv.data[J(c("FR", "RU", "SK"))] 
cntries.data[ ,weight:=dweight*pweight]
setkey(cntries.data, cntry, idno )

cntries.data <- cntries.data[sddf.data] 
cntries.data <- cntries.data[gndr == 'Male' & agea >= 25 & agea<=40, ]

# add the latent variables a.1, a.2, ..., a.5 to the cntries.data
answers <- c('Very much like me', 'Like me')
cntries.data[,a.1:= imprich %in% answers | ipsuces %in% answers]
cntries.data[,a.2:= ipgdtim %in% answers]
cntries.data[,a.3:= ipmodst %in% answers]
cntries.data[,a.4:= ipadvnt %in% answers | impfun %in% answers]
cntries.data[,a.5:= ipfrule %in% answers | ipudrst %in% answers]

# define survey design
srv.design.data <- svydesign(ids = ~psu, strata = ~stratify, weights = ~weight, data = cntries.data)
options(survey.lonely.psu="adjust")

Пример 1, простейший — таблица для России и Словакии с одной латентной переменной «money | success».

Строим две модели: предполагающую независимость факторов и насыщенную.

ru.sk.data <- subset(srv.design.data, cntry %in% c("RU", "SK"))
srv.loglin.model.ind <- svyloglin(~a.1+cntry, ru.sk.data)
srv.loglin.model.sq <- update(srv.loglin.model.ind, ~.^2)
anova(srv.loglin.model.ind, srv.loglin.model.sq)

что насыщенная модель не является значимо лучшей по сравнению с моделью, предполагающей независимость.
То есть, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу о независимости переменных в таблице.
Для сравнения это таблица с результатами независимой модели

Пример 2. Рассмотрим таблицу со всеми пятью латентными переменными для Франции и России.
Лог-линейная модель, предполагающая попарную независимость всех факторов отвергается. Модель со всеми элементами второго порядка является приемлемой. Эту модель можно (и нужно) упростить — отбросить по результатам wald и likelihood ratio критериев, параметры второго порядка для переменной определяющей страну и последними двумя латентными переменными теплокарты.

fr.ru.data <- subset(srv.design.data, cntry %in% c("FR", "RU"))

srv.loglin.model.ind <- svyloglin(~ a.1 + a.2 + a.3 + a.4 + a.5 + cntry, fr.ru.data)
srv.loglin.model.sq <- update(srv.loglin.model.ind, ~.^2)
srv.loglin.model.tri <- update(srv.loglin.model.ind, ~.^3)
srv.loglin.model.four <- update(srv.loglin.model.ind, ~.^4)

anova(srv.loglin.model.ind, srv.loglin.model.sq)$dev$p[3]  #5.745843e-50
c( anova(srv.loglin.model.sq, srv.loglin.model.tri), anova(srv.loglin.model.sq, srv.loglin.model.four) ) #  0.7335668 0.7427429

sapply(paste('cntry:a.',1:5,sep=""), function(x) round(regTermTest(srv.loglin.model.sq, x)$p, 3) )

anova(update(srv.loglin.model.sq, ~. -cntry:(a.4 + a.5)), srv.loglin.model.sq)$dev$p[3]

Условная независимость. Почему математические способности и размер обуви — зависимые факторы?
Эта вариация на тему классического примера. Предположим, математические способности респондента определяются следующей градацией--- высокие, средние или низкие. Строим таблицу сопряженности с этими двумя переменными, скажем, для населения всей России. Гипотеза о независимости этих переменных смело может быть отвергнута. У людей с большим размером обуви выше математические способности. В чем причина? В отсутствии скрытой переменной — возраст. Ясно, что до определенного момента возраст положительно коррелирует как с математическими способностями, так и с размером обуви. Если фиксировать возраст (Age = k), то для любого k таблица совместного распределения величин M (мат. способности) и S (размер обуви) не будет указывать о наличии значимой зависимости между ними. В таком случае говорят, что величины M и S условно независимы. Этот результат выражается естественным образом в виде Марковской сети — ненаправленной графической модели.

Добавлю, что на Хабре есть отличная статья о Байесовских сетях — направленных графических моделях.

Графическое представление лог-линейных моделей
Предыдущий пример можно обобщить и распространить его на произвольные иерархические лог-линейные модели, что и было реализовано в работе [3]. Рассмотрим ряд возможных вариантов для трех переменных A, B и C.

Эти Марковские сети соответствуют следующим лог-линейным моделям

Заметим, что не всякая иерархическая лог-линейная модель может быть представлена в виде Марковской сети. Например — модель AB/AC/BC. Но любая модель может быть однозначно вложена в минимальную Марковскую сеть. Подробности соответствия лог-линейных и графических моделей можно найти в книге [1] или статье [3].

Итоговые результаты
Марковские сети позволяют относительно легко ориентироваться во взаимоотношениях переменных и сравнивать результаты различных таблиц.

Видим, что в случае России и Словакии наблюдается значимая взаимосвязь между страной и переменной «важен поиск приключений и риск или возможность повеселиться». С остальными ценностными качествами переменная Country условна независима.
Тогда как во Франции и России значимо различие в отношении к трем утверждениям: «важно быть богатым или иметь успех», «важно хорошо проводить время» и «важно быть простым и скромным».
Оба этих вывода согласуются с результатами теплокарты.
Что же касается взаимосвязи между латентными переменными, то графы для этих пар стран отличаются только одним ребром. Для России и Словакии переменные «важно хорошо проводить время» и «важно следовать правилам или важно помогать окружающим» условно независимы.

В заключение отмечу, что в лог-линейных моделях для complex survey данных пошаговый выбор модели, основанный на AIC или BIC результатах, пока не реализован. Статьи с адаптацией этих критериев к таким данным стали появляться только в последние годы. В частности, в этом году вышла статья [4], один из соавторов которой — T. Lumley, создатель пакета survey.

Литература:
[1] G. Tutz (2011) Regression for Categorical Data, Cambridge University Press.
[2] T. Lumley (2014) survey: analysis of complex survey samples. R package version 3.30.
[3] J.N. Darroch, S.L. Lauritzen, and T.P. Speed (1980) Markov fields and log-linear interaction models for contingency tables. Annals of Statistics 8(3), 522–539.
[4] T. Lumley, A. Scott (2015) AIC and BIC for modelling with complex survey data, J. Surv. Stat. Method. 3 (1), 1–18.

© Habrahabr.ru