Таблицы сопряженности и факторизация неотрицательных матриц
Факторизация неотрицательных матриц (NMF) — это представление матрицы V в виде произведения матриц W и H, в котором все элементы трех матриц неотрицательны. Это разложение используется в различных областях знаний, например, в биологии, компьютерном зрении, рекомендательных системах. В этой публикации пойдет речь о таблицах сопряженности социологических и маркетинговых данных, факторизация которых помогает понять структуру данных этих таблиц.
Удивительно, но на Хабре, видимо, еще не писали о NMF. История этого метода и общие сведения доступны в Википедии (eng). Но сначала ответим на вопрос зачем вообще как-либо преобразовывать таблицы сопряженности.
Если число строк и столбцов в таблице небольшое, то достаточно простой диаграммы со столбцами или stacked bar графика, чтобы иметь представление о данных таблицы. Например, таблица полученная пересечением переменных «пол» и «частота посещения спортивных или фитнес клубов за последний месяц (4 категории)» размера 2×4 может быть легко проанализирована. Другое дело, если размер таблицы вырастает, скажем до 20×30 или более. В джунглях цифр таблицы и в лесу столбцов графика обнаружить закономерности будет невозможно или крайне затруднительно. В этом случае альтернативой является NMF, которое понижает размерность таблицы сопряженности и отображает результат в виде тепловых карт. Это дает крайне наглядное и легко интерпретируемое представление о таблице.
Исторически одним из первых методов графического представления структуры преобразованной таблицы является анализ соответствий (CA). Он восходит к методу главных компонент, и основан на сингулярном разложении матрицы (SVD). Об SVD можно почитать в этой статье на Хабре. Там же упоминается превосходное видео с определением SVD и примером построения анализа соответствий. Анализ соответствий популярный метод, но факторизация неотрицательных матриц, на мой взгляд, имеет ряд преимуществ. Соображения по этому поводу будут представлены в конце этой статьи.
Далее даны только те определения факторизации, которые необходимы для анализа таблиц сопряженности. Пусть таблица V имеет размер m x n. Обозначим через r ранг матриц W и H, как правило r << min(n, m). В отличии от точного представления матрицы в SVD, в NMF имеем только приближенное равенство
Матрицы W и H выбираются таким образом, чтобы минимизировать функцию потерь: D (V, WH) → min. В нашем случае D задается на основе дивергенции Кульбака-Лейблера
Остается вопрос с выбором ранга r. Есть несколько методов для оценки r (как, например, и в случае параметра k в методе k-средних). Но лучше вопрос выбора r оставить на усмотрения исследователя/пользователя, тот ранг, при котором структура таблиц наиболее понятна, проста, уместна, и является оптимальным.
В среде R есть пакет nmf [1], в котором реализованы несколько алгоритмов факторизации неотрицательных матриц, визуализации разложения и его диагностика. Возможности NMF будут продемонстрированы на данных 6 раунда европейского социального исследования (ESS). В предыдущей публикации было показано как можно загрузить эти данные в R.
В ESS проекте 2012 года принимало участие 29 стран. В анкету, в частности, был включен 21 вопрос о степени важности человеческих ценностей со шкалой из шести значений: от «Very much like me» до «Not like me at all». Каждую из этих 21 single response переменной преобразуем в логическую переменную. Значение True эта переменная принимает для тех респондентов, кому эта ценность важна — «Very much like me» и «Like me»; для всех остальных респондентов — сомневающихся, для тех кто не разделяет этой ценности или не ответивших, переменная принимает значение False.
Определим генеральную совокупность как «Мужчины возраста 20–45 лет». Строим таблицу пересечений этих логических переменных с каждой из 29 стран исследования, учитывая веса респондентов. Получаем таблицу размера 29×21.
Обратите внимание, таблица сопряженности воспринимается в расширенном смысле, она содержит multiple response переменную о человеческих ценностях. Кроме того, размеры ген. совокупности в каждой стране различны. По причине этих двух особенностей таблицы важно нормировать ее строки по размеру ген. совокупностей стран. То есть таблица состоит из взвешенных средних значений поддержки ценностей в каждой стране ESS исследования. Это ее фрагмент
Перечисляем имена переменных в базе исследования соответствующих вопросам о человеческих ценностях
human.values <- c("ipcrtiv", "imprich", "ipeqopt", "ipshabt", "impsafe", "impdiff", "ipfrule",
"ipudrst", "ipmodst", "ipgdtim", "impfree", "iphlppl", "ipsuces", "ipstrgv",
"ipadvnt", "ipbhprp", "iprspot", "iplylfr", "impenv", "imptrad", "impfun")
Добавляем в базу логические переменные, конвертированные в numeric тип и умноженные на веса респондентов
weighted.human.values<-paste(human.values,"w",sep="_")
add.binary.human.values<-function(){
adding.variables<-paste("srv.data[,c('", paste(weighted.human.values, collapse = "','"), "'):=list(",
paste("as.numeric(",human.values, " %in% c( 'Very much like me', 'Like me' ))
*dweight", collapse = ", " ), ")]", sep="")
eval(parse(text=adding.variables))
return(T)
}
add.binary.human.values()
Строим требуемую таблицу (обозначена через cntry.human.values)
target.audience.data <- srv.data[gndr == 'Male' & agea >= 25 & agea<=40,
c(weighted.human.values,'dweight', 'cntry'), with=FALSE]
cntry.human.values <- t(sapply(unique(target.audience.data[,cntry]), function(x)
colSums(target.audience.data[J(x)][,weighted.human.values,with=FALSE])))
cntry.pop.sizes <- target.audience.data[,list(W.Total=sum(dweight)),by=cntry]
cntry.human.values <- cntry.human.values/cntry.pop.sizes[,W.Total]*100
rownames(cntry.human.values) <- c("Albania", "Belgium", "Bulgaria", "Switzerland", "Cyprus",
"Czech Republic", "Germany", "Denmark", "Estonia", "Spain",
"Finland", "France", "United Kingdom", "Hungary", "Ireland",
"Israel", "Iceland", "Italy", "Lithuania", "Netherlands", "Norway",
"Poland", "Portugal", "Russia", "Sweden", "Slovenia", "Slovakia",
"Ukraine", "Kosovo")
colnames(cntry.human.values) <- sub(srv.variables[J(human.values)][,title],
pattern = "Important to |Important that ", replacement = "")
И выполняем факторизацию неотрицательных матриц ранга 5
nmf.fit <- nmf(cntry.human.values, 5, method = "brunet", seed=123456, nrun=100)
Теперь строим теплокарты матриц W и H. Они определяют разложение исследуемых характеристик в пространстве 5 латентных переменных. Чем темнее клетка, тем более выражено соответствие между латентной переменной и ценностью или страной. Я опускаю математические детали точного определения, подробности можно найти в [1].
Далее отбираем лишь те human.values переменные, которые выражены только по одной из осей в этом пространстве. Названия осей даны мной самостоятельно.
nmf.selected <- nmf.fit[, c(2, 7:10, 13, 15, 21)]
basismap(t(nmf.selected), tracks=NA, main="Latent variables: Profiles explanation",
scale = "r1", legend = NA, Rowv=TRUE, labCol = c("money | success",
"have good time", "be humble & modest", "advantures | fun", "rules | understanding"))
Ниже показан итоговый результат — представление всех 29 стран. Цветом выражены степени соответствия переменных. К тому же страны группируются следуя иерархической кластеризации с евклидовой метрикой в 5-мерном пространстве латентных переменных.
basismap (nmf.selected, tracks=NA, main=«Countries in the latent variables space»,
legend = NA, labCol = c («money | success», «have good time», «be humble & modest»,
«advantures | fun», «rules | understanding»))
Видим, что в этом пространстве наиболее близкая страна к России — Словакия. Эти страны, в частности, выделяются выраженностью по первой оси, чего нельзя сказать, например, о Франции. Подробнее этот момент будет рассмотрен в следующей части статьи. Диаграмма также показывает какие страны составляют кластеры, в зависимости от требуемой подробности. Например, кластер из стран восточной Европы (Словакия, Россия, Чехия, Украина, Болгария, Венгрия, Литва) и Израиля. Любопытный кластер из Албании, Косово и… Польши. А Норвегия с Финляндией достаточно далеко расположены от Дании со Швецией.
library(ca)
plot(ca(cntry.human.values), what=c("all", "active"))
Какие преимущества у NMF?
— В отличии от NMF, в графическом представлении классического анализа соответствий используются только два собственных значения (на графике выше кумулятивная инерция осей CA равна 57.4%). В NMF визуализация наглядна и для ранга большего двух.
— Во-вторых, теплокарты представляют информацию более структурировано и наглядно, нежели плоскость CA.
С применением NMF для маркетинговой таблицы сопряженности можно познакомиться в этой публикации. В ней рассмотрен пример анализа восприятия 14 автомобильных марок.
Диаграммы NMF, на сколько хороши бы они не были, в общем случае, не дают оснований делать доказательные выводы о сходствах и различиях разных стран относительно представлений о ценностях. Эта задача будет рассмотрена в следующей части статьи.
Литература:
[1] Renaud Gaujoux et al. A flexible R package for nonnegative matrix factorization. In: BMC Bioinformatics 11.1 (2010), p. 367.
