Сумма степеней натурального ряда. Часть 1
Вам наверняка известна история о математике Карле Гауссе. Когда ему было восемь лет, учитель задал его классу посчитать сумму всех натуральных чисел от до
:
И пока остальные дети трудились над последовательным сложением, Гаусс нашел простое и изящное решение. Он заметил, что числа можно сгруппировать в пар с одинаковой суммой:
и мгновенно получил ответ .
Достаточно несложно вывести общую формулу для суммирования произвольного количества натуральных чисел. Найти суммы для сложения вторых, третьих, четвертых и так далее степеней натуральных чисел уже значительно сложнее.
В этой статье мы рассмотрим графический метод нахождения формул для суммы степеней натурального ряда
для значений .
Случай k = 1
Пусть мы ищем формулу для нахождения суммы натуральных чисел от до
:
Изобразим числа в этой сумме соответствующим числом квадратов:
Несложно заметить, что количество квадратов в такой фигуре и есть искомая сумма.
Соединим две такие фигуры:
Получим прямоугольник со сторонами и
. Площадь такого прямоугольника вычисляется по формуле
. Значит, искомая сумма равна половине площади прямоугольника, то есть:
Раскрыв скобки в правой части, полученную формулу можно записать в виде:
Случай k = 2
Пусть мы ищем формулу для нахождения суммы квадратов натуральных чисел от до
:
Рассмотрим прямоугольную таблицу размером на
, заполненную числами так, как показано на рисунке ниже:
Суммы чисел, помеченных зеленым и сиреневым цветами, очевидно равны:
Рассмотрим сумму чисел, помеченных желтым цветом.
Складывая числа по красным ломаным, как указано на картинке выше, получим:
Таким образом, сумма всех чисел в прямоугольной таблице есть утроенная искомая сумма квадратов:
С другой стороны, мы имеем столбцов, в каждом из которых (сверху вниз) записана сумма:
С учетом вышесказанного получаем:
Отсюда получаем следующее:
Раскрыв скобки в правой части, полученную формулу можно записать в следующем виде:
Случай k = 3
Пусть мы ищем формулу для нахождения суммы кубов натуральных чисел от до
:
Для нахождения такой суммы воспользуемся таблицей Пифагора. Таблица Пифагора — это квадратная таблица , в каждой ячейке которой записано число, равное произведению номеров своих строки и столбца. По сути, это обычная таблица умножения.
Рассмотрим суммы чисел, помеченных одинаковым цветом:
Таким образом, сумма всех чисел в таблице Пифагора равна:
С другой стороны, сумма чисел в таблице Пифагора равна:
Итак, получили формулу:
Раскрыв скобки в правой части, полученную формулу можно записать в следующем виде:
Графический метод хорош и нагляден, однако у него есть серьезный недостаток: решения никак не связаны друг с другом и по мере увеличения значения усложняются. Для нахождения суммы четвертых степеней
придется искать что-то принципиально отличное от всего предыдущего.
Как вы думаете, получится ли найти формулу для нахождения суммы четвертых степеней с помощью графических рассуждений? Забегая вперед, скажу, что эта формула была выведена примерно на тысячу лет позже, чем формула для суммы кубов, которая была известна уже в античности.
Заключение
С помощью графических рассуждений нам удалось вывести формулы для нахождения суммы степеней натурального ряда при
:
Глядя на три данные формулы, можем быстро вывести гипотезу, что для любого натурального значения сумма
равна некоторому многочлену от переменной
степени
, который начинается со слагаемого
, за которым идет слагаемое
и члены еще меньших степеней.
Во второй части этой статьи мы подтвердим указанную выше гипотезу и рассмотрим несколько аналитических методов нахождения формул суммы для любых натуральных значений
.
Также хочется отметить, что знание рассмотренных в статье формул оказывается полезным и при решении задач на программирование. Классическая задача с алгоритмического собеседования звучит следующим образом: имеется список целых чисел, в котором каждое из чисел от 1
до n
встречается ровно один раз — кроме одного отсутствующего числа. Требуется найти отсутствующее число.
Наиболее быстрое и асимптотически оптимальное решение такой задачи основано на использовании следующей формулы:
А если в условии задачи будет пропущено не одно число, а сразу два, то предыдущую формулу придется дополнить формулой для суммы квадратов натуральных чисел:
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Используя графические рассуждения, выведите формулу для нахождения
суммыпервых нечетных натуральных чисел:
Подсказка 1
Сопоставьте каждому нечетному числу следующую фигуру:
![a919e3b123a443ccd17c7611d9218694.png](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/upload_files/a91/9e3/b12/a919e3b123a443ccd17c7611d9218694.png)
Подсказка 2
Вкладывая указанные фигуры друг в друга, вы получите квадрат со стороной , площадь которого равна
.
![b43c4a88d6c16866c832aede602388d9.png](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/upload_files/b43/c4a/88d/b43c4a88d6c16866c832aede602388d9.png)
Задача 2. Как мы уже знаем, таблица Пифагора — это квадратная таблица , в каждой ячейке которой записано число, равное произведению номеров своих строки и столбца. Ниже представлена таблица Пифагора для
и
Для таблицы Пифагора размером требуется вывести формулы для нахождения:
суммы чисел, расположенных на побочной диагонали (выделена зеленым цветом)
суммы чисел выше и левее побочной диагонали (выделены синим цветом)
суммы чисел ниже и правее побочной диагонали (выделены желтым цветом)
Проверить своё решение можно по ссылке.