Squid game, стеклянный мост и игрок номер 913.10.2021 22:31

В сериале «Squid game» герои попадают в загадочную игру, где они проходят череду испытаний. В случае, если игрок проваливает испытание, он погибает, а призовой фонд игры поплняется на 100.000.000 вон.

Spoiler alert! Текст ниже содержит умеренные спойлеры к 7 и 2 сериям сериала. Раскрывается суть игры и число игроков, вышивших на момент ее начала.

Игра

16 человек оказываются перед мостом, который состоит из 18 пар стеклянных плиток. В каждой паре одна плитка сделана из закаленного стекла, а другая — из обычного. Задача игроков — перейти мост по очереди, наступая только на плитки из закаленного стекла.

Однако, как было ранее показано в сериале, в случае, если более чем половина игроков отказывается принимать дальнейшее участие в игре, игра прекращается.

Очевидно, что для первых игроков мост является практически непроходимым. В то же время, игроки стоящие в конце очереди, имеют высокие шансы преодолеть его. В данном случае, решаюший голос, вероятно, останется за игроком номер 9. Именно его голоса будет достаточно для прекращения игры.

Попробуем посчитать вероятности успешного преодоления моста девятым игроком в различных ситуациях.

Допущения

Игроки могут голосовать за прекращение игры в любой момент. Данное правило является своеобразной «конституцией» и позволяет участникам не участвовать в заранее несправедливой игре, поэтому, мне кажется правильным дать игрокам возможность прекратить игру в любой момент, если больше половины будут на это согласны.
Допустимая вероятность выживания. Попробуем оценить вероятность прохождения моста, которая устроит игроков. Для этого взглянем еще раз на предыдущие игры:
1. В первой игре участвовали 456 человек, из них выжило 201
2. Во второй игре участвовали 187, из них выжило 108
3. В третьей и четвертой игре выживала ровно половина участвовавших.
Таким образом, раз игроки еще не прекратили игру, будем считать, что их устраивает вероятность выживания в каждом испытании около 0.5.
Не будем учитывать временные рамки игры

Анализ

Пусть X_i — случайная величина, показывающая число новых плиток, информацию о которых принесет игрок . Тогда, вероятность того, что игрок принесет информацию о плитках, при равноценном выборе из 2 равна

$P(X_i=k) = 0.5^{k-1}0.5$

Таким образом, X_i — подвержена геометрическому распределению.

Число всех плиток, которые открыли игроки до игрока равно

$S_i=\sum_{k=1}^iX_k$

Соответстенно, игрок выживает в случае, когда S_i>n» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/3f8/30a/905/3f830a905698b35635b5ff8ad3689e84.svg» />, где <img alt= — общее число пар плиток на мосту. Тогда, вероятность того, что S_i > n» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/034/cea/737/034cea737fc81afabb30028cf7091234.svg» />будет равна</p>

<p><img alt= n)=1-\sum_{k=i}^nP (S_i=k)=1-\sum_{k=i}^n\binom{k-1}{i-1}p^k» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/f7d/4e2/7f4/f7d4e27f4dbfbff4d3e6f5ae2460d456.svg» />

Посчитаем начальную вероятность пройти игру для всех 16 игроков

Игрок	Вероятность пройти мост
1	0.0000038
2	0.000072
3	0.00066
4	0.0038
5	0.015
6	0.048
7	0.12
8	0.24
9	0.41
10	0.59
11	0.76
12	0.88
13	0.95
14	0.98
15	0.996
16	0.999

Игрок 9 имеет вероятность около 0.41, что ниже, чем средняя по предыдущим играм при том, что игрок 10 имеет шансы выше средних. Следовательно, для игроков 1–9 логично провести голосование и отказаться от игры.

Однако, в данной ситации, игрок 9 может отказаться от голосования и просмотреть на результат первого игрока, ступившего на мост. Даже при 15 игроках его голос все еще будет решающим. Таблица ниже показывает вероятности пройти игру для кадого игрока в зависимтости от того, информацию о скольки плитках принес первый игрок.

Игрок	1	2	3
2	0.0000063	0.000015	0.00005
3	0.00014	0.00026	0.00049
4	0.0012	0.002	0.0037
5	0.0064	0.011	0.018
6	0.025	0.038	0.059
7	0.072	0.11	0.15
8	0.17	0.23	0.3
9	0.31	0.4	0.5
10	0.5	0.6	0.7
11	0.69	0.77	0.85
12	0.83	0.89	0.94
13	0.93	0.962	0.98
14	0.98	0.989	0.996
15	0.994	0.998	0.9995
16	0.999	0.999	0.99996

Как видно из таблицы, в случае, если игрок 1 принес информацию о трех и более плитках, то игрок 9 может оставаться в игре, ведь шанс успешного завершения игры для него вырастает до 0.5. Однако, в других случаях, игроку 9 правильнее инициировать голосование и выйти из игры.