Специальная теория относительности – пролог к теории гравитации с принципом Маха03.08.2024 15:30

В литературе многократно обсуждались варианты формулировки принципа относительности, но мало кто при этом упоминал то обстоятельство, что для различных движущихся друг относительно друга систем отсчёта внешние тела движутся различным образом. Если предположить, что внешние тела создают в лабораториях, в которых производятся опыты по определению состояния движения, потенциал некоторого поля, то компоненты этого потенциала, в общем случае, будут различными в различных лабораториях, движущихся друг относительно друга, в связи с тем, что источники поля движутся относительно этих лабораторий по-разному.

Известно, что потенциал поля можно калибровать произвольно, но при этом надо соответствующим образом регулировать фазы волновых функций частиц — носителей заряда — во всех точках, где изменили потенциал.

В теории электромагнитного поля связь между потенциалами и фазами выглядит так:

$q∆A_i=\textit {ћ}∆\frac {∂φ}{∂x_i}\hspace{10cm}(1)$

где q — электрический заряд частицы;

Ai — 4-мерный потенциал электромагнитного поля;

ћ — делённая на 2π постоянная Планка;

φ — фаза волновой функции заряжённой частицы.

Взглянем на преобразование Лоренца по отношению к 4-импульсу (здесь и далее — в евклидовой системе координат (x0= ict, x1, x2, x3) что позволяет избежать различий между ковариантными и контравариантными компонентами):

$a_{ij} P_j = P_i' \hspace{10cm}(2)$

Оно показывает, что если померить 4-импульс пробной частицы в условно неподвижной системе отчёта, то результатом будет 4-вектор Pj, а если по такой же методике померить 4-импульс той же частицы в условно подвижной системе, то получится 4-вектор P’i с другими проекциями, в общем случае:

$P_i'-P_i=a_{ij} P_j-\delta_{ij} P_j≡P_j ∆a_{ij} \hspace{8cm}(3)$

С другой стороны, разность импульсов частицы можно представить в виде разности волновых 4-векторов:

$P_i'-P_i= \textit{ћ}\left( \frac{∂φ}{∂x_i'}- \frac{∂φ}{∂x_i} \right) \hspace{9cm}(4)$

и заметить, что (3) и (4), в совокупности, сводятся к виду выражения (1):

$P_j ∆a_{ij}=\textit{ћ}∆ \frac{∂φ}{∂x_i }\hspace{11cm}(5)$

где Pi — 4-импульс в системе отсчёта условно неподвижной лаборатории, играющий роль заряда поля;

P’i — 4-импульс в системе отсчёта лаборатории, движущейся относительно первой лаборатории;

$\textit {ћ} \frac{∂φ}{∂x_i' }$ — 4-импульс в квантовомеханическом представлении в системе отсчёта движущейся лаборатории;

аij — коэффициенты преобразования Лоренца при переходе из системы координат первой лаборатории в систему координат второй лаборатории;

$\Delta$ аij = аij– $\delta$ ij— изменение коэффициентов преобразования Лоренца при переходе из «неподвижной» системы отсчёта в «подвижную»;

$\textit{ћ} ∆ \frac{∂φ}{∂x_i}$ — соответствующая $\Delta$ аij корректировка фазы волновой функции частицы — носителя пробного заряда (4-импульса).

В (5) коэффициенты преобразования Лоренца играют роль потенциалов поля, зарядами которого являются 4-импульсы тел. Такое поле известно, это гравитационное поле. Поскольку преобразование Лоренца в инерциальной системе отсчёта глобально, то aij постоянны в пространстве и времени, то есть, оказавшись в роли потенциалов, они соответствуют эквипотенциальной области поля. Компоненты этого поля, в общем случае, зависят от относительного расположения и движения внешних источников, но в эквипотенциальной области любой наблюдатель, независимо от состояния относительного движения, имеет право выбрать непрерывную калибровку потенциала в виде единичного диагонального тензора δij.

Таким образом, преобразования Лоренца показывают, как изменится описание физических явлений при переходе из эквипотенциальной системы отсчёта с потенциалом δij в эквипотенциальную систему отсчёта с потенциалом аij, если последняя произведёт глобальную перекалибровку потенциала до δij, игнорируя изменения скоростей всех источников поля Вселенной. Если же перекалибровка не будет произведена, то вторая лаборатория согласится, что в потенциале области, в которой она находится, появились компоненты, зависящие от скорости первой лаборатории относительно неё. Тем самым она согласится, что показания световых часов, разнесённых вдоль направления относительного движения, окажутся сдвинутыми относительно показаний «правильных» часов «неподвижной» лаборатории на величину, линейно зависящую от их положения на оси, параллельной этой скорости. Это будет объяснено влиянием анизотропии скорости света на синхронизацию часов во второй лаборатории: скорость света в направлении её движения относительно первой лаборатории будет меньшей, чем в противоположном направлении. Кроме того, окажется, что её световые часы идут медленнее «правильных», что объяснится уменьшением поперечной скорости света. Наконец, «истинный» продольный размер лаборатории окажется меньшим собственно измеренного из-за разногласий в определении одновременности засечек концов измеряемого отрезка.

Аномальное движение света относительно стенок «подвижной лаборатории», очевидно, связано физически с изменением характера относительного движения всех тел Вселенной. Этот эффект должен наблюдаться и при относительном покое второй лаборатории, но при её нахождении, например, внутри движущегося массивного цилиндра. Здесь относительно второй лаборатории движется не Вселенная целиком, а только этот массивный цилиндр, поэтому эффект будет значительно менее выраженным.

Глобальная перекалибровка аij, в частности, не может быть произведена во вращающейся системе отсчёта, в связи с наличием координатной зависимости потенциалов аij. Этому обязан своим существованием эффект Саньяка: свету требуется разное время обхода вращающегося кольца при его движении по ходу вращения и в противоположном направлении, что приводит к появлению разности фаз между встречными пучками света, когда они встретятся в точке старта. В системе покоя кольца это и означает анизотропию скорости света, которая физически вызвана вращением всех тел Вселенной относительно кольца. То же, но в меньших масштабах, должно наблюдаться и в покоящемся кольце, помещённом в соосно вращающуюся массивную сферу.

Теперь немного подробнее о теории гравитации с принципом Маха, в которой преобразования лоренцевого вращения дополнены преобразованиями масштаба и отражения (назовём её «МПО-теорией»).

Потенциалом поля в МПО-теории является тензор Hij, удовлетворяющий условию: HijHik = H2δjk, где δjk — символ Кронекера, диагональный единичный тензор. Инерция тела является следствием ненулевых значений H в области его неравномерного движения. Каждый наблюдатель вправе откалибровать свой потенциал так, чтобы он был диагональным единичным. Это означает, что наблюдатель считает себя неподвижным, а скорость света локально принимает изотропной и равной c; свою тройку пространственных координат он считает не повёрнутой и не отражённой (лицо наблюдателя смотрит всегда вперёд, затылок обращён вверх, часы — на левой руке, время течёт от прошлого к будущему).

Изолированное сферически симметричное тело, находящееся в области с H = 1, добавляет к H потенциал h, определяемый по Ньютону: h = γM⁄(Rc^2 ) , где γ — гравитационная постоянная, M — собственная масса тела, R — расстояние от центра массы тела до наблюдаемой точки. Суммарный потенциал в точке в этом случае оказывается равным:

$H=1+γM⁄(Rc^2 )=γ⁄c^2 (c^2⁄γ+M⁄R) \hspace{6cm}(6)$

откуда получаем физический смысл отношения c^2⁄γ : это интеграл по объёму Вселенной от отношения плотности массы в её точках к расстояниям от этих точек до начала системы отсчёта наблюдателя (где H ≡ 1) в единицах массы и длины этой системы отсчёта. Для околоземной области это отношение равно 1.35 · 1028 г/см, вклад от Солнца в это значение равен 1.3·1020 г/см, то есть оно создаёт вклад в инерцию тел на Земле порядка 10–8 от интегрального значения.

В МПО-теории постулируется симметрия знаков гравитационных масс, поэтому она:

а) допускает бесконечность Вселенной в пространстве и времени;
б) предполагает её гравитационное разделение на кластеры частиц с разными знаками гравитационных масс;
в) свободна от парадокса Неймана-Зеелигера из-за знакопеременности вкладов потенциалов этих кластеров в любой точке Вселенной.

Проекции dxi элементарного интервала в системе отсчёта наблюдателя с потенциалом 1 связаны с его же проекциями dx’i в системе отсчёта локального неподвижного наблюдателя с потенциалом H масштабным преобразованием (в евклидовых системах отсчёта с мнимой временной осью допускается только нижнее индексирование обозначений физических величин):

$dx_i'=Hdx_i \hspace {12cm}(7)$

где dx0 ≡ ic(H) dt;
c(H) = c/H2.

Тело, имеющее в системе отсчёта наблюдателя в начале отсчёта 4-импульс Pj, в системе отсчёта локального неподвижного наблюдателя с потенциалом H имеет 4-импульс:

$P_i'=H^{-1} P_i\hspace {12cm}(8)$

где $P_0 ≡ \frac {E}{ic(H)};$ ;

E — энергия тела.

Лоренц-ковариантное выражение для гравитационной 4-силы, действующей на тело, имеет вид:

$F_i=-W_j P_m \left( \frac {∂H_{im}}{∂x_j }-\frac {∂H_{jm}}{∂x_i } \right) \hspace {8cm}(9)$

В частном случае статического поля сферически симметричного тела с центром на оси xi и пробного тела, покоящегося в начале координат наблюдателя (Wj = (ic, 0, 0, 0); Pi = ( $\frac {E}{ic}$ , 0, 0, 0); Hij = δij), из (9) получаем:

$F_i=W_0 P_0 \frac {∂H_{00}}{∂x_i }=E \frac {∂H}{∂x_i} \hspace {9cm}(10)$

что соответствует и по величине, и по знаку (в направлении градиента масштабного множителя) ньютоновой силе тяготения.

В частном случае касательного движения релятивистской частицы вблизи сферически симметричного источника статического поля (ось x2 параллельна направлению движения в точке наибольшего сближения частицы и источника, ось x1 лежит в плоскости, проходящей через центр тяготеющего тела и траекторию частицы) из (9) имеем:

$F_1=W_0 P_0 \frac {∂H_{00}}{∂x_1 }+W_2 P_2 \frac {∂H_{22}}{∂x_1 }=(W_0 P_0+W_2 P_2 ) \frac {∂H} {∂x_1 } \hspace {2cm}(11)$

что при v2 → c приводит к удвоению отклонения по сравнению с классическими предсказаниями.

Таким образом, этот вариант описания гравитации предсказывает те же эффекты, что и ОТО: при малых скоростях тяготение стремится к ньютонову пределу, а отклонение тангенциально летящего фотона в два раза превышает ньютоново. Есть в ней и гравитационное красное смещение, и задержка радиолокационного сигнала при локации ближних к Солнцу планет. Это означает, что МПО-теория удовлетворяет принципу соответствия.

В отличие же от ОТО, в МПО-теории Вселенная развивается не из сингулярности, а из равномерно разбросанных в протяжённом пространстве частиц с разными знаками гравитационных масс, образующих гравитационно неустойчивую конфигурацию. Это объясняет наличие войдов в крупномасштабной структуре Вселенной и особенности объектов, наблюдаемых телескопом JWST вблизи космологического горизонта, выглядящих более старыми, чем ожидалось, и которые в МПО-теории могут быть сколь угодно более старыми, чем в стандартной космологии, построенной на ОТО.

Вторым отличием МПО-теории от ОТО, как мы сейчас попробуем показать, является упомянутая выше зависимость инерции от гравитационного фона. В ОТО инерция у частицы была бы и в пространстве, полностью свободном от материи.

Покажем, как в этой теории из формулы (9) получаются «маховские» формулы для сил инерции, включая кориолисову.

Ситуация 1. Покоящееся пробное тело находится в эквипотенциальном объёме внутри покоящейся массивной сферы с собственной массой M и радиусом R. Компоненты тензора потенциала, создаваемого внутри сферы гравитационным зарядом сферы, равны: hij ≡ (i, j = 0, …3; i = j); h0ν = hν0 = 0; hνμ = hμν = 0 (μ, ν = 1, 2, 3; μ ≠ ν). Производные потенциала по 4-координатам равны нулю, поэтому силы со стороны сферы на пробное тело не действуют.

Ситуация 2. Покоящееся пробное тело находится в эквипотенциальном объёме внутри массивной сферы с собственной массой M и радиусом R, движущейся с 3-скоростью v1. Компоненты тензора потенциала, создаваемого внутри сферы гравитационным зарядом сферы в системе сферы: диагональные элементы h' = γM⁄(Rc^2 ) , прочие равны 0. Они же, но в системе пробного тела, получаются с помощью обратных преобразований Лоренца:

$h_{00} = α_{00} h'_{00} + α_{10} h'_{01} =α_{00} ·γM⁄(Rc^2 )+ 0 = \frac {γM⁄(Rc^2)}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}= h_{11} \hspace {1cm}(12)$ $h_{10} = α_{01} h'_{00} + α_{11} h'_{01} =α_{01}γM⁄(Rc^2 )+ 0 = \frac {v/(ic)}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}}γM⁄(Rc^2)=-h_{01}(13)$ $h_{0ν} = – h_{ν0} = 0 (ν = 2, 3); h_{νμ} = – h_{μν} = 0 \text{ }(μ, ν = 1, 2, 3; μ ≠ ν),$

αij — коэффициенты преобразования Лоренца. Производные потенциала по 4-координатам равны нулю, поэтому силы со стороны сферы на пробное тело не действуют.

Ситуация 3. Покоящееся пробное тело находится в эквипотенциальном объёме внутри мгновенно покоящейся массивной сферы с собственной массой M и радиусом R, движущейся с 3-ускорением a1.

Здесь не равны нулю производные $∂h_{01}⁄∂t$ и $∂h_{10}⁄∂t$ . Это означает, что на пробное тело действует со стороны ускоренно движущейся массивной сферы сила (с учётом подстановки h10 из (13)):

$F_1=-W_j P_m \left( \frac {∂H_{1m}}{∂x_j }-\frac {∂H_{jm}}{∂x_1 } \right) =-W_0 P_0 \frac {∂h_{10}}{∂x_0}=-E γM⁄(Rc^2) \frac {∂∝_{01}}{∂x_0} (14)$

где α01 = $\frac {v_1⁄ic}{\sqrt {1-v_1^2⁄c^2}}$ ;

         x0 ≡ ict;
         Wj — 4-скорость пробного тела, здесь Wj = (ic, 0, 0, 0);
         Pm = (E/ic, 0, 0, 0) — 4-импульс пробного тела;
         E = mc2, m — собственная масса пробного тела.

Поскольку движение сферы прямолинейно, зависимость коэффициентов Лоренца от

пространственных координат отсутствует, т. е. $\frac {∂∝_{01}}{∂x_0}=\frac {d∝_{01}}{dx_0} =- \frac {1}{с^2} \frac {dv_1}{dt}=-\frac {1}{с^2} a_1$ , и при подстановке в (14) получаем:

$F_1= ma_1 γM/Rc^2 \hspace {12cm}(15)$

В частности, если ускоренной сферой представлена вся Вселенная, то γM/(Rc^2 )=1 , и F_1= ma_1 , что соответствует силе, действующей на пробное тело со стороны Вселенной: эта сила и ощущается как сила инерции пассажирами ускоряющихся транспортных средств.

Ситуация 3 в вышеприведённом пределе выражает относительность ускоренного движения: мы можем считать, что:

— либо покоится Вселенная, а с ускорением –a1 движется система отсчёта наблюдателя, применяющего силу для искривления мировой линии пробного тела;

— либо с ускорением a1 движется Вселенная, а наблюдатель в покоящейся системе отсчёта удерживает силой покоящееся пробное тело от увлечения его Вселенной в ускоренное движение.

Ситуация 4. Пробное тело пересекает со скоростью w2 ось x1 вдоль оси x2 в центре мгновенно совпадающей пространственными осями с осями системы наблюдателя массивной сферы с собственной массой M и радиусом R, вращающейся в плоскости (x1, x2) с угловой скоростью ω12.

Здесь не равны нулю производные $∂h_{12}{∂x_0} )$ , $∂h_{21}{∂x_0}$ , $∂h_{01}{∂x_2}$ , $∂h_{10}{∂x_2}$ , $∂h_{02}{∂x_1}$ и $∂h_{02}{∂x_1}$ . Это означает, что на пробное тело действует со стороны вращающейся массивной сферы сила:

$F_1=-W_j P_m \left( \frac {∂H_{1m}}{∂x_j }-\frac {∂H_{jm}}{∂x_1 } \right) =$ $=-W_0 P_2 \left( \frac {∂H_{12}}{∂x_0 }-\frac {∂H_{02}}{∂x_1 } \right)-W_2 P_0\left( \frac {∂H_{10}}{∂x_2 }-\frac {∂H_{20}}{∂x_1 } \right) =$ =γM/(Rc^2 ) ((w_2 E)⁄c^2 )/(1-(w_2^2)⁄c^2 ) ((∂v_1)/(∂x_2 )-(∂φ_12)/∂t)=-2ω_12 w_2/(1-(w_2^2)⁄c^2 ) γMm/(Rc^2 ) $=\frac {γM}{Rc^2} \frac {w_2 E⁄c^2}{1-w_2^2⁄c^2} \left(\frac {∂v_1}{∂x_2}-\frac {∂φ_{12}}{∂t} \right) =-2ω_{12} \frac {w_2}{1-w_2^2⁄c^2} \frac {γMm}{Rc^2} \hspace {2cm}(16)$

где, в малой окрестности центра сферы и в начальный момент, $α_{01} = v_1⁄ic$ ; α12 = $\sin φ_{12}$ ≈ $φ_{12}$ ;

Wj — 4-скорость пробного тела, здесь Wj = $\left(\frac {ic}{\sqrt {1-w_2^2⁄c^2}},0,\frac {w_2}{\sqrt {1-w_2^2⁄c^2}},0 \right)$ ;

Pm = $\left(\frac {E/ic}{\sqrt {1-w_2^2⁄c^2}},0,\frac {Ew_2/c^2}{\sqrt {1-w_2^2⁄c^2}},0 \right)$ — 4-импульс пробного тела;

E = mc2, m — собственная масса пробного тела.

В частности, если вращающейся сферой представлена вся Вселенная, то γM/(Rc^2 )=1 , и $F_1=-2mω_{12} \frac {w_2}{1-w_2^2⁄c^2}$ , что соответствует силе Кориолиса, действующей на пробное тело со стороны Вселенной, с точки зрения покоящегося наблюдателя: действие этой силы он должен компенсировать, чтобы удерживать тело в состоянии прямолинейного равномерного движения относительно себя.

Ситуация 4 в вышеприведённом пределе выражает относительность вращательного движения: мы можем считать, что:

— либо покоится Вселенная, а с угловой скоростью –ω12 вращается система отсчёта наблюдателя, применяющего поперечную силу для искривления траектории движущегося пробного тела в системе Вселенной;

— либо с угловой скоростью ω12 вращается Вселенная, а наблюдатель в покоящейся системе отсчёта удерживает поперечной силой прямолинейно движущееся пробное тело от увлечения его Вселенной в криволинейное движение.

Аналогично с двух точек зрения можно рассмотреть и центробежную силу.

Приведённые примеры демонстрируют наличие объяснительного потенциала у МПО-теории. Добавим, что понятие «инерциальная система отсчёта» заменилось здесь на понятие «система отсчёта на гравитационно эквипотенциальном фоне», и вспомним, что несуществующие тахионы превратились в элементы 4-компонентной зарядовой симметрии.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Г.М. Тележко. Вариант описания статического гравитационного поля // Technical and Natural Science (Технические и Естественные науки): сборник статей международной научной конференции (Санкт-Петербург, октябрь 2022). СПб.: ГНИИ «Нацразвитие», 2022. 64 с. — С. 26–32.

Ключевые слова: гравитация, эквипотенциальный, инерция, кориолисова сила, гравитационная постоянная, космология.