Спец-интервью для Хабра: Грант Сандерсон09.12.2021 16:46

В прошлом месяце я писал новость о том, что Грант Сандерсон, создатель одного из самых популярных YouTube каналов о высшей математике, 3blue1brown согласился ответить на вопросы Хабровчан.

Грант ответил на ваши вопросы. Под катом вы найдёте современный взгляд на обучение математике, тому как правильно применять математику в программировании, и рассказ о том, как превратить простую утилиту для анимации в огромный канал. И конечно же, вас всех ждёт взятие производных на ходу и рассказ о том, как считать первообразные в уме.

Поехали!

Как вы начали изучать математику? Было ли это просто развлечением или у вас была идея о том, как вы будете зарабатывать деньги, занимаясь математикой?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Как и многие другие, я начал изучать математику, потому что этого требовали в школе. Мой отец проявлял интерес в том, чтобы давать нам с братом дополнительные задачи и обучение. Я помню, как мы не раз играли в математические игры. Я помню эти игры с детства. Такие, например, как складывание сахарных кубиков в определённом интересном порядке, с последующим выяснением, сколько кубиков находится на столе. (я получал сахар, если давал правильный ответ). В дополнение ко всему этому мой отец добровольно проводил уроки в школе и делал «математическую олимпиаду». На этом уроке он уделял особое внимание креативному решению задач. А ещё дома он зачастую рассказывал о разных прикольных вещах, которые он знал. Я уже и не вспомню подробностей. Но одна вещь, которая приходит на ум — это что-то, что если ты запомнишь квадраты чисел, то это сможет помочь тебе умножать эти числа. Например, 16×18 = 17^2 — 1 = 288. Из-за этого приёма я выучил таблицу квадратов помимо чисел больше чем 12 (что было стандартом в школе).

Я бы не называл всё это «развлечением» в то время, но я всё-таки получал наслаждение, занимаясь математикой как хобби. Отчасти это всё подкармливалось чувством собственной важности. Это приятно, чувствовать что ты опережаешь других учеников в классе. Мне кажется, что моё раннее желание читать тексты по математике и решать задачи обосновывалось честолюбивым желанием быть первым. Как бы то ни было, ближе к средней школе это всё переросло в настоящий интерес и перестало быть просто самолюбивой попыткой выделиться. У меня не было идеи о том, как сделать карьеру из этого. Но если бы меня спросили тогда, кем я хочу быть, «математик» был бы одним из ответов. Ну, как минимум я бы точно сказал, что я бы учил математику в университете.

Как часто вы гуглите математические формулы?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Зависит от того, над чем я работаю. Я бы сказал: достаточно часто. Большое количество повседневной математики, которой я занимаюсь, относится к созданию анимации. Зачастую мне нужна какая-то особая формула для построения картинки. Иногда я просто сверяю свои вычисления с поисковиком. Но когда я учу математику, я отдаю предпочтение книгам, а не гуглу.

Как много математики применимо к бизнесу? (Зачастую в университете нас заставляют учить вышку. Многие подвергают это сомнению. «Вам это на работе не пригодится». Можете ли вы сказать, что это — ложь? Как обычная компания может выжать дополнительные пирожки с полки из математики?)

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Несомненно, хорошее «чутьё чисел» будет полезно в бизнесе. Например, для понимания годовых темпов роста или для того, чтобы быстро прикинуть, будет ли сделка выгодной. Но эти случаи никак не относятся к «глубокому пониманию» математики. Думаю, более интересным будет вопрос «Как студент может применить вышку в деле?»

Я думаю, что будет правильным сказать, что существует зависимость между тем, как хорошо человек знает математику и как много он заработает. Неясно, насколько прямым будет это применение математики. Так же непонятно, насколько часто такая зависимость проявляется. Клише: Мы преподаём математику не только для того, чтобы человек знал её прямое применение, но и потому что математика учит вас, как правильно думать. Например, скорее всего вы не будете применять фундаментальные теоремы дифференциального исчисления у себя на работе. (Разве что у вас очень странная работа). Но те, кто чётко уяснил все нюансы диффуров и матана, будучи студентом, обычно оказываются на более высокооплачиваемых работах. Очень хочется сказать, что это обосновано его обучением, но думается мне, причина зарыта глубже. Сколько доверия современное общество оказывает техническим знаниям?

Один чёткий пример, который показывает, насколько знание математики применимо, это программирование. Выглядит так, что знание математики позволяет быстрее учить и понимать код и архитектуру программного обеспечения. Знание того, что такое доказательство по индукции облегчает понимание рекурсии. Если вы писали и читали множество математических обоснований, то это позволяет быстрее разобраться в такой прикладной задаче, как отладка ПО, и т.д. Ещё существует большое количество задач в разработке ПО, где требуется прямое применение математических принципов. Например, машинное обучение требует знание линейной алгебры и теории вероятности. Разработка графики требует отменных знаний линейки, матана и геометрии. Но и другие области разработки, которые на первый взгляд не выглядят очень-то математическими, могут быть улучшены при наличии хорошего знания математики.

Есть ли какие-нибудь критерии, благодаря которым вы можете вычислить хорошего математика? Как вы сами определяете, когда кто-то хорош в математике?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: То что мне нравится в математике — она совмещает технический и творческий подход. Это не просто «взял и посчитал что-то без ошибок». Зачастую вам надо найти подходящую точку зрения или найти нужный подход к решению задачи. Ну, вот простой пример — вы хотите доказать теорему Пифагора. Для начала вам нужно понимать, что такое «доказательство» и его общие принципы, такие как дедукция и умение избегать логических ошибок. Вы должны видеть, где в вашем потоке мыслей существует пробел. Но всех этих знаний вам будет недостаточно. Теорема Пифагора — это не что-то, что следует из определения. Вам нужно будет добавить какую-то идею, дорисовать нужные линии, выдумать что-то. Вот тут проявляется ваш творческий подход. (Огромное количество доказательств можно найти на Wikipedia.)

Вы когда-нибудь слышали о Хабре? Как вы относитесь к русским? У вас есть знакомые русские математики?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Я слышу о Хабре впервые.

Я всегда с большим удовольствием работал с русскими математиками. Я всегда уважал то, как относятся к математике в России. Те книги, русских авторов, которые я читал всегда делали большой упор на том, что решение задач является частью процесса, а не просто что-то, что случайно впихнули в конец главы. Владимир Арнольд всегда был одним из моих любимых математиков. Он очень хорошо объяснял вещи, и мне кажется, что его стиль присутствует в подходе большого количества математиков из России.

Какие неразрешённые математические проблемы содержат в себе большой потенциал для современного общества?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Ну, если выяснится, что P=NP, то это будет большим ударом по всей криптографии. Выглядит так, что, скорее всего, это неправда. Но каким бы ни был ответ, он будет очень важным. Если кто-то умудрится доказать что P≠NP, я надеюсь, что процесс доказательства принесёт больше плодов, чем само доказательство. Возможное доказательство будет более важным, чем сам результат. Такое доказательство потенциально улучшит общий подход к созданию и решению NP проблем. Если кто-то сможет доказать, что доказательства не существует, это тоже будет применимым результатом, который сможет указать на проблемы формализма.

Сколько цифр π вы знаете наизусть? Что вы думаете о соревнованиях по запоминанию цифр π?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Так, давайте посмотрим, без подсказок и подглядываний: 3.1415926535897932384…

Я это печатаю, но я не особо уверен, что это верный ответ. Помнится мне, в детстве, я знал 20–30 цифр. В то время мне это казалось важным. Сегодня я думаю что это глупо. Запоминание констант, на мой взгляд, отражает тот факт, что что-то не так с современным образованием в области математики. Дети просто зазубривают вещи, которые для них не имеют никакого смысла. Есть много моментов, когда запоминание чего-то является полезным в математике. Например, дети должны запоминать таблицы умножения. Но существует большое количество бесполезных для запоминания вещей. «Причина» в том, что это выглядит так, что проще такие вещи запомнить, чем понять.

Да, в школах мы не заставляем детей заучивать цифры π. Но я боюсь, что увлечение зубрёжкой приводит к тому, что детей приучают зазубривать те вещи, которые следует понимать. Это приводит к показухе, где результат является умением зазубривать вещи.

Насколько важно уметь считать в уме, когда вокруг так много калькуляторов и компьютеров?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Несмотря на то что я только что сказал о заучивании, я считаю, что умение считать в уме является очень полезным. Особенно если вы постоянно сталкиваетесь с определённой задачей. Лучший вариант развития интуиции — это упражнения по решению задач. Зачастую «побочный эффект» такого подхода будет проявляется в том, что вы научитесь решать определённые «подзадачи» в голове. Чем больше вы умеете считать в голове, тем лучше вы готовы для того, чтобы прорываться через что-то, что сложно для понимания. Вы не будете отвлекаться на калькулятор. Интуиция теряется в калькуляторе.

Конечно, есть много вещей, которые вы должны считать на калькуляторе или Mathematica. Но для того, чтобы научиться решать задачи в уме, вам нужно будет тренироваться в решении всё более объёмных задач, которые в будущем станут частью чего-то ещё большего.

Ну вот, например, давайте возьмём интеграл $\int_0^\pi \sin(\theta) d\theta$ . С одной стороны вы можете быстро вставить его в Wolfram Alpha и проверить ответ. Но ответ в данном случае = 2. Ваше умение просто «видеть» этот ответ зависит от вашего понимания интегралов и тригонометрии. И это является правдой для многих вещей:

Например, если вы можете взять первообразную $\left[-\cos(\theta) \right]_0^\pi = -\cos(\pi) - \cos(0) = 2$ это значит, что вы разбираетесь в базовых символах и операциях. Более того, вы знаете интегральное исчисление. Отсутствие этих знаний приведёт к тому, что у вас будут проблемы с более сложными интегралами и производными.
Эвристически вы должны уметь вообразить площадь под синусоидой, и иметь представление о её размере. Вы должны знать, что значение функции будет положительным при входных параметрах меньше π, и больше π/2.
Более того, вы должны уметь «видеть» единичную окружность, понимая что для каждого шага на дуге длиною $d\theta$ изменение будет составлять $-\sin(\theta)d\theta$ . Вы должны уметь «читать» весь интеграл, отвечая на вопрос, насколько изменится в данном случае. Очевидно, что ответ равняется двум.

Если вы будете постоянно полагаться на компьютер, то вы потеряете умение считать подобные интегралы.

Учитывая всё вышесказанное, когда вы наталкиваетесь на какую-то алгебраическую задачу, которую вы уже решили много раз, компьютер поможет вам сохранить время для более важных вопросов. Более того, развитие ПО для быстрой проверки ответов позволило улучшить качество математических работ.

Какой ваш любимый фильм о безумно талантливых математиках?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Мне больше всего нравится Умница Уилл Хантинг. Это мой любимый фильм.

Как и зачем создавался ваш канал на YouTube?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Всё началось, как лабораторная работа по программированию. Я ничего особо не знал о YouTube. Более того, и представить себе не мог, что кто-то может сделать карьеру на этом. Мне просто хотелось написать утилиту (Manim) для создания анимации трансформации объектов. (Это — моя первоначальная идея). Мне было весело делать видео и улучшать мою утилиту. Через некоторое время я начал получать отзывы от друзей, которые говорили, что им очень нравятся мои видео. Это вдохновило меня на создание обучающего контента.

Как много времени занимает написание сюжета для видео? Сколько времени занимает создание 12-ти минутного ролика?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: По-разному. Иногда я пишу сюжет за один вечер. Иногда это занимает 3 месяца. Мне очень хотелось бы быть более упёртым в этом.

После того как сюжет написан, обычно производство 12-ти минутного ролика занимает неделю.

Чем вы занимаетесь помимо YouTube? Какая существует прикладная работа для математиков?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Раньше я работал в Khan Academy. Я бы сказал, это не настолько уж большая разница по сравнению с тем, что я сейчас делаю. Но помимо этого я очень много пишу.

Какие у вас хобби? Как бы вы провели отпуск?

Грант Сандерс »3Blue1Brown»: Мне нравится бег, теннис и скалолазание. Зимой я увлекаюсь сноубордингом.

Для тех, кто хочет проникнуться ответами на английском языке, милости просим под спойлер:

Оригинальный текст вопросов и ответов

Did you start learning math as entertainment, or did you know that you would make your living doing math?

Grant S.(3Blue1Brown): Like anyone else, I started learning math simply because it’s a common part of the school. My dad did take a special interest in supplementing learning for both my brother and me, and I do remember a number of math-based games he would play. When I was very little, this included things like stacking sugar cubes in interesting arrangements and having me figure out how many there were (with the reward of eating a sugar cube if I got it right). A little bit later in elementary school, he volunteered to teach a «math olympiad» seminar at our school, which involved creative problem-solving. Also, at home, he’d often share little tips and tricks he knew. I’m struggling to remember many specifics, but one that comes to mind is how if you memorize more square numbers, it can help to multiply numbers. E.g. 16×18 = 17^2 — 1 = 288. This made me want to memorize more square numbers beyond the usual first 12 taught in our multiplication tables.

I wouldn’t have called this «entertainment» at the time, but somehow I did come to really enjoy math as a hobby. Part of it might have been ego. It feels good to be ahead of your peers, so I wonder if some of my earlier desire to read more math or do more problems stemmed from the less-than-pure goal of staying ahead. In either case, by the time I was in high school, I think it had evolved into a more genuine and less ego-driven interest. I didn’t have very definitive career ambitions, but if you had asked me then, the answer «mathematician» would have certainly been somewhere on the list. At the very least, I knew for sure that I’d be studying math once I got to university.

How often would you be googling for a math formula?

Grant S.(3Blue1Brown): It depends on what I’m doing, but pretty frequently. A lot of the day-to-day math I end up doing is in the service of making the graphics for the videos, which sometimes requires some specific formula to get some visual to work (or to just gut check my own calculation). When I’m just learning math, I tend to get more from books than Google.

How much math can you apply to a business? (Often in the University we would have to study higher math and many people would be questioning this. «You don’t actually need math at work». But can you prove this wrong? How an actual regular company can benefit from applying something that you know?)

Grant S.(3Blue1Brown): There’s no doubt that a strong number sense can be beneficial for business, say in understanding the influence of compounding growth, or making quick judgments on if a deal is profitable. But honestly, that’s rarely the deep and interesting math, so maybe the more interesting question is how often the kind of math found in an undergrad math major’s curriculum would actually be useful.

I think it’s fair to say there’s a strong correlation between how much math someone knows, and how much they can earn, but it’s unclear how direct the applications are, or even whether this correlation is causal. The cliché is that we teach math not just because of its direct applications, but because it teaches you how to think. For example, you’re unlikely to ever use the fundamental theorem of calculus in a very literal way in a job (unless you have a weird job), but for some reason, those who have grappled with the nuances and technical demands of calculus and analysis in their school years also have a tendency to end up in higher-paying technical positions in their careers. It’s tempting to say it’s because of this math education, but maybe there’s a lurking cause between the two, like how much value a particular culture places on technical know-how.

One clear example where I think math is quite useful is that knowing more math seems to make it quicker to learn how to code and to understand the architecture of a piece of software more broadly. Knowing about proofs by induction makes recursion quite easy, having written and read many proofs can make the detail-oriented task of debugging more natural, etc. There are also plenty of software tasks that require very direct applications of lots of math, like how machine learning requires linear algebra and probability, or how computer graphics requires a strong command of linear algebra, calculus, and geometry. But even the ones that don’t seem so inherently mathematical seem to benefit from a strong math background anyway.

Are there any criteria which could distinguish a good mathematician? How would you say if someone is good at math?

Grant S.(3Blue1Brown): What I love about math is how it blends a detail-oriented mindset with a creative one. It’s not enough to merely be able to calculate and to avoid errors, you often need to be able to come up with the right perspective, or the right construction to add to your problem. To take a simple example, say you want to prove the Pythagorean theorem. On the one hand, you need to understand proofs in general, i.e. logical deduction, avoiding simple errors, identifying when there’s a gap in reasoning, etc. But just being able to do that could never be enough. The Pythagorean theorem isn’t something that directly falls out of definitions, you need to actually input some idea, or add the right lines to your diagram, to make any headway, and that’s where the creativity comes in.

Have you ever heard of a habr.com? What do you think about Russians? Do you know/work with any Russian mathematicians?

Grant S.(3Blue1Brown): I had not been familiar with Habr.

The Russian mathematicians I’ve engaged with are always a delight. I have a lot of respect for the culture around math in Russia. The books by Russian authors I’ve read from seem to always place much more emphasis on the role of doing problems as a necessary part of learning, not just an incidental add-on sitting at the back of a chapter. Vladimir Arnold is one of my favorite mathematicians and explainers, and I feel like I’ve seen his style mirrored in some of the other Russian mathematicians I’ve interacted with.

What are the non-solved math problems that could have a great potential in a current society?

Grant S.(3Blue1Brown): Well, if it turned out that P=NP, that would have huge ramifications for all of cryptography. It seems quite unlikely that that would be true, but however the question is resolved, it would probably be significant. If someone manages to prove P≠NP, hopefully, the tactics of the proof would carry with them some insights beyond the direct result, in a way that could potentially be useful for constructing/understanding NP problems more generally. If someone managed to prove the question is undecidable, that would also be highly relevant, and tell us something about the weakness of our current formalisms.

How many digits of Pi do you know by heart? What is your viewpoint on those competitions where people would just remember digits of Pi?

Grant S.(3Blue1Brown): Let’s see, not looking up anything now here’s what I have: 3.1415926535897932384…

As I type that, I’m not very confident it’s accurate. I remember learning around 20–30 digits when I was a kid and cared more about that kind of task. These days I think of it as pretty silly. Memorizing a constant reflects a lot of what’s wrong with current math education, where we have kids do rote tasks that don’t really matter. There are plenty of things where raw memorization is exceedingly helpful for actively doing math. For instance, kids should definitely memorize their multiplication tables. But there are also lots of pointless things they’re tasked with memorizing for no good reason, other than the fact that it’s seemingly easier to measure and test than creative math is.

In fairness, it’s not like schools regularly have kids memorize digits of pi. But I do fear that people’s infatuation with that kind of task is rooted in the fact that the other things school rewards center on rote memorization. It becomes a way of flexing a muscle that was overemphasized by schools.

How important it is to be able to calculate «in your head» when you have all those calculators and computers around you?

Grant S.(3Blue1Brown): Despite what I just said about memorization, I actually think it’s quite helpful to be able to do quick computations in your head, especially if it’s for a kind of problem you work with a lot. The best way to build intuition is by drilling on many problems, and often this act of drilling comes with the added side-benefit that you’re familiar enough with certain subproblems to just do them in your head. And on the flip side, the more you can do in your head, the more readily you can get a rough intuitive sense of the problem before getting distracted by turning over to a calculator, where the intuition can be lost.

Sure, for a lot of tasks you can (and should) just turn to a calculator or Mathematica, but the way you come to be able to do subproblems mentally seems to correspond with building up general mental constructs which are themselves handy for understanding the broader structures of a problem.

Let’s say I give you the integral \int_0^\pi \sin (\theta) d\theta. On the one hand, you can quickly go to Wolfram alpha to check it. But being able to just «see» answer 2 by looking at this probably correlates with a better understanding of integrals and trig. And this is true at many levels:

Being able to do the antiderivative \left[-\cos (\theta) \right]_0^\pi = -\cos (\pi) — \cos (0) = 2 is a sign that you’re fluent with the basic symbolic manipulations of integration, where a lack thereof would really slow you down for more meaningful calculus results.
Heuristically, you should be able to picture the area under a sine wave and make a vague guess for roughly what it should be, i.e. you can see it’s positive, less than π, and more than π/2.
Even better, if you picture walking around the top half of the unit circle, understanding that for each step of arc length d\theta, the change in the x-component is -\sin (\theta)d\theta, you can read the whole integral as asking how much the x-coordinate changes during this walk around the top of a unit circle, which is very clearly 2.

The practice of thinking through all of those would be lost with too much reliance on a computer.

All that said, if it really is just an algebraic slog for a process you’re already well-practiced in, computers are a very helpful time-saver to keep you focused on the higher-level parts which really matter. Also, the advent of proof-checking software seems genuinely revolutionary for putting math research on a more solid foundation.

What is your favorite movie about «crazy talented mathematician»? How real those movies are? What was your opinion about Dustin Hoffman’s character in the Rain Man?

Grant S.(3Blue1Brown): I really love Good Will Hunting, it’s one of my all-time favorites

What was the primary idea behind your channel? What was the primary purpose of creating a YouTube?

Grant S.(3Blue1Brown): It started just as a coding project. I didn’t know all that much about YouTube, or the idea that one could build a career off of a channel. I just wanted to make a little tool to better illustrate functions as transformations (at least that was its original conception). I had fun making the first few videos with the tool, and improving the tool as I went. Then, as I got feedback from people who seemed to like the content, that was pretty inspiring to keep going, and to try to make the lessons somehow meaningful for people.

How long it would take you to write a script for a video? How much time would you spend to produce a 12-minute video?

Grant S.(3Blue1Brown): It varies a lot. Some scripts take one afternoon, some take like 3 months. I really wish I knew how to make it more consistent!

Once the script is in place, illustrating a 12-minute video should take roughly one week.

What do you do besides your YouTube channel? What applicable work for mathematician exists?

Grant S.(3Blue1Brown): Before my current position, I was working at Khan Academy. I suppose it’s not that different, since I was still making math videos there, but a meaningful part of my job was also writing.

What are your hobbies? How would you spend your vacation?

Grant S.(3Blue1Brown): I enjoy climbing, tennis and running. In the winter, I really enjoy snowboarding.

Thanks for the nice questions!

— Grant Sanderson »3Blue1Brown»

В комментариях вы можете написать кого мне опросить следующего.