Симуляция ткани методом Стёрмера — Верле07.09.2024 14:45

Представьте себе сложное переплетение складок, натяжение ткани, развевающейся на ветру. А теперь представьте, что вы пытаетесь воспроизвести всё это в виртуальной среде. На первый взгляд эта задача кажется обманчиво простой, но даже в ней есть свои подводные камни. В основе моделирования тканей лежит тонкий баланс между физической точностью и вычислительной эффективностью.

Моделирование ткани в основном сводится к решению задачи Коши, которая заключается в нахождении будущего состояния системы с учетом ее начальных условий и управляющих дифференциальных уравнений. В данном контексте положения и скорости частиц в ткани определяются такими силами, как гравитация, ветер и внутренние ограничения, которые и описываются диффурами. Хотя метод Эйлера часто является базовым подходом к решению подобных задач, он часто не подходит для моделирования ткани из-за своей неустойчивости и склонности к накоплению ошибок с течением времени, особенно в динамических системах с быстро меняющимися силами.

Метод Эйлера аппроксимирует будущее положение, основываясь только на текущем состоянии, что приводит к нереалистичному растяжению и артефактам в моделировании. Напротив, интеграция Верле, учитывающая как текущее, так и предыдущее положение частиц, отличается большей стабильностью и точностью, что делает ее более надежным методом решения задачи Коши в физике тканей.

Метод Стёрмера — Верле

Математически Метод Стёрмера — Верле работает, используя положение частицы в двух разных временных точках для расчета ее следующего положения. Положение частицы на следующем шаге можно представить следующим образом:

$x_{t+1} =2x_t −x_{t−1} +a_t Δt^2$

где:
$x_{t+1}$ — положение частицы на следующем шаге
$x_{t}$ и $x_{t-1}$ — текущая и предыдущая позиции, соответственно
a_t — ускорение, обусловленное силами, действующими на частицу на текущем шаге
— приращение шага по времени

Одно из ключевых преимуществ интегрирования по Верле заключается в том, что он устраняет необходимость явного вычисления скорости, что может быть основным источником ошибок в других методах. Скорость по своей сути определяется разницей между текущим и предыдущим положениями, что делает метод Стёрмера — Верле особенно полезным при моделировании тканей, где силы могут быстро меняться, вызывая внезапные изменения скорости. График или визуальное сравнение между методами Эйлера и Верле может быть полезным, чтобы подчеркнуть эту разницу, показывая, как Верле создает более гладкие и стабильные траектории в сложных симуляциях.

Метод Стёрмера — Верле не использует скорость. Вместо этого он отслеживает текущее и предыдущее положения.

Частицы в симуляции ткани

Рассмотрим кусок ткани как сетку отдельных частиц (или узлов/вершин, кому как удобнее), которые представляют собой небольшие участки ткани. Эти частицы взаимодействуют друг с другом, образуя сеть, которая имитирует механические свойства реальной ткани. Каждая частица обладает такими свойствами, как масса, положение и скорость, что позволяет ей реагировать на такие силы, как гравитация, ветер и столкновения с другими объектами. Этот подход, основанный на частицах, обеспечивает гибкую основу для моделирования широкого спектра типов тканей, от жестких до мягких, в виртуальных средах.

Частицы связаны между собой ограничениями, которые накладывают определенные физические свойства ткани, такие как сопротивление растяжению и изгибу. Эти ограничения обычно моделируются с помощью рёбер-пружин, когда расстояние между соседними частицами поддерживается в определенном диапазоне. Например, если частицы находятся слишком далеко друг от друга (имитируя чрезмерное растяжение), симуляция будет применять корректирующие силы, чтобы сблизить их, имитируя сопротивление ткани растяжению. Основное уравнение силы пружины, которое часто используется в таких симуляциях, выглядит следующим образом:

$F_{spring} = -k(d-d_0)$

где:
$F_{spring}$ — восстанавливающая сила, действующая на ребро,
— коэффициент жесткости ребра,
— текущее расстояние между двумя связанными вершинами,
d_0 — расстояние покоя, или естественное расстояние между вершинами в отсутствие внешних сил.

Прелесть системы частиц заключается в ее способности динамически моделировать сложное поведение ткани. Когда на частицы действуют силы (например, ветер или гравитация), частицы перемещаются, растягиваются и вращаются, сохраняя при этом связь с соседними частицами. Это приводит к реалистичному движению ткани, поскольку каждая частица влияет на движение всей ткани. Коллективное взаимодействие этих частиц приводит к плавному и естественному поведению виртуальной ткани.

Силы, воздействующие на ткань

Давайте подробнее поговорим о силах, воздействующих на ткань. Основной силой, воздействующей на все объекты, является гравитация. Гравитация тянет каждую частицу в сетке ткани вниз, заставляя ткань провисать или висеть естественным образом в зависимости от свойств материала и наложенных ограничений. В модели, основанной на частицах, гравитация применяется к каждой отдельной частице ткани, что приводит к глобальному эффекту, который имитирует реакцию реальной ткани на гравитацию.

Помимо гравитации, внешние силы, такие как ветер, также играют важную роль в моделировании ткани. Сила ветра может толкать частицы в определенных направлениях. Ветер часто моделируется как направленная сила, приложенная равномерно или переменным образом по всей поверхности ткани. Эта сила вводит слой динамического взаимодействия, где частицы реагируют по-разному в зависимости от их массы и положения в сетке ткани. Например, участки ткани, которые менее ограничены, будут двигаться свободнее, что приведет к тому, что ткань будет развеваться, в то время как жестко ограниченные участки (например, где ткань прикреплена к объекту) останутся более статичными.

Воздействие различных сил на ткань

Дополнительную сложность вносят коллизии и другие взаимодействия между тканью и объектами в окружающей среде. Когда ткань соприкасается с другим объектом, например с персонажем в игре, силы коллизии не позволяют частицам ткани пройти сквозь объект. Эти силы коллизии рассчитываются путем обнаружения пересечений между частицами ткани и поверхностью других объектов, а затем применяются эти силы, чтобы удержать ткань за границами объекта. Это создает ощущение реалистичности, поскольку ткань складывается и естественным образом подстраивается под контуры объектов, с которыми она взаимодействует.

Ограничения

Ограничения необходимы для обеспечения реалистичного поведения ткани, сохранения ее структурную целостность и естественность деформации. Ограничения регулируют движение частиц в сетке ткани, не позволяя им растягиваться или сжиматься сверх определенного предела. Наиболее распространенным типом ограничений, используемых в моделировании ткани, является ограничение расстояния, которое гарантирует, что расстояние между двумя частицами остается в определенном диапазоне. Этот тип ограничений моделирует нерастяжимую природу реальной ткани, когда соседние точки на ткани не могут находиться слишком далеко или близко друг-к-другу без нарушения ее физических свойств.

Ограничения на расстояние моделируются с помощью уравнения, которое минимизирует разницу между текущим расстоянием и расстоянием покоя между двумя частицами. Расстояние покоя представляет собой естественное разделение двух частиц, когда на них не действуют внешние силы. Корректировка для возвращения частиц к желаемому расстоянию рассчитывается путем итеративного применения небольших поправок к их положениям. Коррекция ограничений может быть представлена в виде:

$Δx = \frac{(x_1 −x _2 )(∣x_1 −x_2∣−d_0)}{∣x_1 −x_2∣} $

где:
— коррекция положения, применяемая к каждой частице,
x_1 и x_2 — положения двух связанных частиц,
d_0 — расстояние покоя, или желаемое расстояние между частицами.

Это уравнение гарантирует, что частицы остаются в допустимом диапазоне движения, сохраняя структурную реалистичность ткани.

Помимо ограничений по расстоянию, для предотвращения чрезмерного изгиба ткани можно использовать угловые ограничения. Это особенно важно для моделирования более жестких тканей, где складки и морщины менее выражены. Контролируя угол между наборами соседних частиц, эти ограничения ограничивают степень изгиба ткани, имитируя поведение реальных материалов, таких как джинсовая ткань или кожа. Визуальное представление сетки ткани с установленными ограничениями по расстоянию и углу поможет читателям понять, как эти силы работают вместе для создания реалистичного движения ткани.
Эту коррекцию можно представит в виде:

$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{(\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2) \cdot (\mathbf{x}_3 - \mathbf{x}_2)}{|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2| |\mathbf{x}_3 - \mathbf{x}_2|} \right)$

где:
$\theta$ представляет собой угол между тремя частицами, при этом x_1 , x_2 и x_3 это их положения. Это ограничение контролирует количество изгибов, допустимых между частицами.

Итог

Моделирование тканей значительно продвинулось вперед за последние годы, в основном благодаря инновациям в численных методах, таких как Метод Стёрмера — Верле, и разработке моделей на основе частиц. Рассматривая ткань как сетку взаимосвязанных частиц, на которые действуют физические силы и ограничения, современные симуляторы достигли беспрецедентного уровня реализма.

Ключ к достижению реалистичного поведения ткани лежит в тщательном балансе сил и ограничений. Силы, действующие на ткань, — от гравитации и ветра до столкновений и взаимодействия с жесткими объектами — должны быть точно рассчитаны и применены. Аналогично, ограничения, регулирующие растяжение, сжатие и изгиб ткани, должны гарантировать, что ткань сохранит свою структурную целостность, оставаясь достаточно гибкой, чтобы естественно реагировать на окружающую среду.

Если вам интересны такого рода посты, можете подписаться на мой telegram, там я пишу посты поменьше. В основном я затрагиваю темы применения математики (от базовой до нейросетей) в видеоиграх, но также уделяю внимание видеоиграм как области искусства.