Расширенное пространство (часть II)04.07.2024 21:45

Ультраметрический сосед

В квантовых масштабах наш мир начинает меняться. Он начинает соприкасаться  с ультраметрическим пространством, которым он насквозь пронизан. В микромире деградирует монолитное, цельное пространство с непрерывной метрикой, и достаточно гладкими (регулярными) законами.   В наше пространство начинают врываться потоки энергий, реализуясь в виде виртуальных частиц, которые поставляются  ультраметрическим  пространством. В этом смысле ультраметрическое пространство напрямую олицетворяет вакуум Дирака. При рассмотрении  «планковских»   масштабов  теряется возможности нормально «работать» как с малыми областями пространства, так и с микро объектами подобных размеров в силу их не детерминировости и неопределенности  (отсутствуют свойства привычного  пространства, позволяющие фиксировать координаты этого объекта). На этих масштабах работает принцип  Гейзенберга. Обычно этот принцип объясняют тем, что вмешательство прибора измерения, существенно влияет на сам измеряемый процесс, поэтому нельзя одновременно выяснить координаты элементарных частиц и их скорости (точнее импульсы). На дело не в точности и грубости приборов измерения, как принято говорить сейчас.  Теряются метрики и смысл измеряемых параметров. Области пространства превращаются в сети с квантами пространства в качестве узлов  и связывающими их петлями силовых линий. Что более существенно меняется геометрия и тем более топология пространства. Областями-дырками испещрено  все наше пространство,   наш мир всюду разрывной в каждой своей «планковской» области. Образно эта картина  представляется   в виде композиции  пограничных слоёв, разделяющим пространство нашего мира с архимедовой метрикой и ультраметрическое пространство с не архимедовой метрикой. «Планковские» масштабы — это области квантовых явлений, спиновых сетей с квантами пространства в узлах, и процессами , идущих в ультраметрическом пространстве и управляющими поведением квантовых явлений, в том числе появлением квантовых флуктуаций и виртуальных частиц в нашем мире.

Дотошный читатель сразу скажет — не говорите мне  об ультра пространстве, это математический фокус, и его нет в нашем мире. Однако посмотрите вокруг, оцените окружающий вас ландшафт, прикиньте расстояния до ближайших и далеких объектов, наш мир со всеми своими метрическими свойствами адекватно укладывается в вашу картину мира.  Однако что вы видите?   Всего лишь потоки фотонов,  падающие на фоторецепторы сетчатки глаза,   которые преобразуют их в электрические сигналы, отправляя в ваш мозг.   Закройте глаза, окружение исчезнет, но картина мира останется. Там в голове не строится уменьшенная копия внешнего мира, не откладываются масштабы, там «другой» мир. Да знаем, знаем –скажет читатель, мы знаем про компьютерные нейросети, которые в состоянии обрабатывать информацию, и у нас голове похожая нейронка.  И причем тут ультраметрические (читай р-адические) модели.? Опс, а известно ли Вам, что вся арифметика в процессоре компьютеров p-адическая, и работает по правилам ультраметрических числовых множеств? А именно по вычету машинного слова? А известно ли, что программные комплексы используют иерархическую, p-адическую архитектуру? К примеру, то же самое DOM-дерево. А это именно так, и значит, ультраметрическое пространство уже есть в нашем мире, и с большой долей вероятности оно есть у вас в голове.

(Данное вступление является всего лишь описательной картинкой дальнейшего изложения.)

Ультраметрическое пространство, как и вообще любое метрическое, характеризуется метрикой, функцией расстояния, лежащей в основе вычисления  его метрических свойств. Теорема Островского постулирует только две метрики: архимедову и ультраметрическую. Наш мир строится на архимедовой метрике, ультраметрический на своей. Каждая метрика диктует свои правила для определения пространства и его геометрии, и эти правила концентрируются термином мера.

Мера более общее понятие чем метрика, она является ее пополнением, так же как соответствующие множества  целых Z, рациональных Q, вещественных R и комплексных  чисел С пополняют («расширяют») предыдущее в цепочке:

    Особенно наглядно свойства меры проявляется в интегралах. С помощью соответствующей меры  через интегралы можно вычислять   метрические свойства объектов   (расстояния, длины произвольных кривых, площади, объёмы и т.д.).

Не только мера с помощью интегралов служат инструментом в метрическом пространстве, но и наоборот: специальным образом построенное интегральное ядро может расширять и конструировать меру.

Сейчас мы построим меру с параметром,   изменяющуюся с типом  пространства в котором она используется в зависимости от размеров рассматриваемой по этой мере области. Построенная мера даст понимание о качественном масштабном устройстве нашего пространства и мы будем основываться на этом представлении.

В качестве отправной точки воспользуемся функцией «прыгающего» ядра для нелокальной регулярной формы Дирихле (jump kernel) и параметрами walk dimension  на регулярном метрическом пространстве. Пусть (M, d)  метрическое пространство, которое является регулярным в следующем  смысле: существует мера Радона μ на M, которая является α-регулярной для некоторого α > 0. Отсюда следует, что 

где Hα обозначает меру Хаусдорфа  размерности α

Рассмотрим для любого β > 0 квадратичную форму:

и определим шаг размерности  β* для (M, d) следующим образом:

β*=sup { β >0 и Fβ ∈ L2(M, μ), такие что εβ (f, f) есть форма Дирихле в L2(M, μ)  }

Из-за того что с ростом β множество функций  f  с εβ (f, f) < ∞ сжимается, оно может стать неплотным в L2. Легко увидеть, что если β < 2, то εβ (f, f)< ∞  для любого   f∈Lip0 (M),  откуда следует, что β* ≥ 2.

(f∈Lip0 (M) означает, что f — это липшицева функция на множестве M, которая принимает значение 0 в фиксированной точке)

Теперь параметр β* будет определять тип пространства, например :

• в Rn имеем β* = 2;

• на регулярных ультраметрических пространствах β* = ∞ ;

• на типичных фрактальных пространствах 2 < β* < ∞.

Вводя параметр r = 1/β*  и считая его зависящим от меры (метрических свойств интеграла), получим интересующую нас последовательность метрических пространств с различными метриками в зависимости от масштабного фактора  r  рассматриваемой области :

Из рисунка видно, что при уменьшении рассматриваемой области до значения соответствующего  масштабному параметру r = ½ (не путать, значение параметра r c реальной точкой х=½ в рассматриваемых пространствах),   мера сначала работает с евклидовым пространством (архимедова метрика), затем попадает в пограничный фрактальный слой 1), и окончательно, в малых (будем считать планковских) областях, вблизи нулевого значения параметра появляется ультраметрическое пространство2. Не смотря на безразмерность параметра r, его увеличение  означает увеличение реального размера  рассматриваемой области. Математически фрактальное пространство имеет дробную размерность и может быть построено как в евклидовом так и ультраметрическом пространстве.

Итак, при переходе к областям планковских размеров мы ожидаем  встретиться с ультраметрическим пространством, и по всей видимости кванты пространства устроены сложнее, чем это предсказывается  теорией петлевой квантовой гравитации (ПКГ) [1].

В квантовом мире наше пространство погружено в ультраметрическое пространство таким образом, что в каждом его кванте находится вложение ультраметрического пространства или формально «дырка» в двойственное пространство.

 О реализации такой возможности в квантовом мире говорит следующая теорема Тимана-Вестфрида: «Любое сепарабельное ультраметрическое пространство изометрично вкладывается в l2   (гильбертово пространство)» 3  [2]

Не смотря на то, что согласно построенной классификации ультраметрическое пространство  отделено от внешнего пространства фрактальными слоями, оно вносит   определенный вклад в его топологию, из-за чего последнее может выглядеть достаточно экзотично [3] (Рис. 1). Вносит оно и квантово-информационную  составляющую. На самом деле, простое перечисление всего, что может быть завязано на ультраметрическом пространстве, займет не одну страницу. Это и гравитационные потенциалы, которые задействованы Бомом в теории пилотных волн, это и не локальность, это и вопросы дальнодействия, всё находит объяснение в связке двойственных метрических пространств —  нашего  и ультраметрического.

Сейчас приведем пример, как проявляется описанная иерархия пространств в моделях квантовых полей. Рассмотрим фермионную иерархическую модель Каданова-Вильсона  и изучим в ней  динамику ре-нормировочной группы (РГ). При помощи ренорм групп строится пространство состояний модели, рассматриваются его свойства  и фиксируются изменения после тех или иных взаимодействий. Идея методологии РГ заключается в способности  выявлять масштабную инвариантность, критические точки и универсальные классы поведения, что делает её важным инструментом в теоретической физике и статистической механике4.

Дальнейшее изложение разделяется на две части. Сначала мы приведем итоговое представление и выводы, доступные без особо знания математического аппарата, а затем дадим математическое обоснование теории РГ, соответственно алгоритм построения  пространства гиббсовских состояний и динамику ренорм группы, отсылая критиков к оригинальным статьям известных ученых.

Ключевыми понятиями   теории РГ в иерархической фермионной модели являются

1.     Иерархическая решетка Каданова.

2.     Поток РГ , который реализуется  с помощью преобразования Вильсона–Каданова и описывает как меняются ключевые параметры при изменении масштабов, причем основными компонентами уравнения потока  являются гамильтониан системы и блоковая процедура иерархического ренормирования 5.

3.     Бета-функции βi(gj) описывающие, как конкретный параметр gj изменяется с изменением масштаба. βi(gj) являются центральным элементом в анализе ренормировочной группы и позволяют предсказывать поведение системы на разных масштабах.

4.     Неподвижные точки преобразования Вильсона-Каданова  соответствующие состояниям, при которых система становится масштабно инвариантной, (формально это  решения уравнений βi(gj)  = 0)6. Масштабная инвариантность — это свойство физический системы , проявлять одинаковое поведение  при различных масштаба длины, времени или энергии.

Построенное с помощью РГ  пространство состояний определено в ультраметрическом пространстве. В силу своей иерархической природы ультраметрическое пространство обладает  развитыми алгебраическими свойствами  в отличии от геометрических свойств,   которые мы просто не готовы воспринять7.  

Однако р-адичность ультраметрических пространств проявляет удивительную связь с проективным пространством, которое в дальнейшем будет играть ключевую роль в наших рассуждениях.  Более подробно: любое  ультраметрическое число представляется в виде бесконечной целой и конечной дробной части  х = …с3 с2 с1 с0, с-1 с-2…с-n (х) ;    Прибавим к целому  ультраметрическому числу … 999999  единицу:

В p-адической системе с p=10 числа ……9999 и −1 действительно являются одним и тем же числом

То есть «проходя» через бесконечность ультраметрическое число «возвращается»  с конечным   «обратным» значением.  Вспоминаем, что проективное пространство строится путем отождествления своих противоположных точек на бесконечной прямой, что в «определенном» смысле соответствует  приведенному выше свойству  ультра метрических чисел.

Поэтому  проектируя полученное   пространство состояний  ренорм группы   на проективную плоскость  удается  визуализировать геометрию ультраметрического  пространства в привычных нам образах.

 Анализ динамики РГ фермионной модели на иерархической решетке

Динамика потока РГ описывается зонами: темные зоны это движение точек (с1, с2) к инвариантной точке δ слева, серые зоны –справа. На первый взгляд область A (0)   выглядит как объединение двух различных криволинейных  областей, но на самом деле A (0) является связной областью, потому что граничные сегменты этих областей, лежащие на окружности  с12+с22 = 1, расположены в точности друг против друга и, следовательно, представляют одно и то же подмножество точек в проективной плоскости. Более того,  для координат r и g также доказывается теорема о том , что соответствующие области инвариантны, то есть представляют из себя одно и тоже.  Области  А (1), А (2), А (3)…. , и находящиеся между ними  В (1), В (2), В (3)…, как видно из рисунков, образуют сложные фракталы.

 В силу масштабной устойчивости, при определенном выборе масштаба А (0) (черная область) будет представлять область состояния  фермиона (ов), и в пространстве состояний она отделен от ультраметрического пространства (область серого цвета) фрактальными множествами, что соответствует представленной выше классификации:

ультраметрическое  пространство  ↔  фракталы ↔ евклидово пространство

 Явное описание свойств РГ в рамках иерархической фермионной модели порождает ряд нетривиальных гипотез для иерархических и евклидовых бозонных и фермионных моделей. В дальнейшем с их помощью мы попытаемся объяснить явление квантовой не локальности и передачу квантовой информации между двойственными пространствами.

 Теперь перейдем непосредственно к построению самой модели.

 Иерархическая решетка Λ определяется как множество целых чисел Z с иерархическим расстоянием dn(i, j ), i, j ∈ Z, где d(i, j ) = n s (i, j), если i ≠ j;

s(i, j) = min{s: существует kтакое, что i ∈ Vk, s,  j ∈ Vk, s};

Vk, s = {j : j ∈ Z, (k − 1)ns < j ≤ kns};

n— размер элементарной ячейки (некоторое фиксированное натуральное число). В случае, когда n = pd, где p — простое число, решетку Λ можно интерпретировать как решетку чисто дробных d-мерных p-адических векторов  с p-адическим расстоянием между ними. Каждой вершине iрешетки Λ поставлен в соответствие четырехкомпонентный набор элементов алгебры Грассмана

Все эти элементы с одной стороны являются 4-х компонентными фермионными полями, а с другой образующими алгебры Грассмана8. Фермионная модель на иерархической решетке задается эффективным гамильтонианом:

состоящий из гауссовой части и Лагранжана, α — вещественнозначный параметр модели.   Как всегда, гауcсова часть отвечает за состояние квантового поля  и свободное  движение  фермионов между различными узлами i и j решетки, а лагранжан за взаимодействия типа фермион-фермион и бозон-фермион  в одной и той же точке решетки и записывается как потенциал скалярного 4-х компонентного фермионного поля в виде (1):

Функция L(ψ∗; r, g) содержит  две константы связи r и g:.

 Параметр масштаба: В рамках иерархической модели, r может интерпретироваться как параметр, связанный с масштабом или уровнем иерархии взаимодействий. Например, r может определять уровень взаимодействия внутри блоков, когда система рассматривается на разных уровнях иерархии.

Локализация на решетке: В иерархической модели на решетке r может определять, как фермионы локализованы на узлах решетки и как они взаимодействуют с ближайшими соседями.

Интеракции между уровнями иерархии: В иерархической модели g может интерпретироваться как параметр, определяющий взаимодействия между различными уровнями иерархии. Он может определять взаимодействия между блоками на разных уровнях иерархии, что важно для изучения критических явлений и фазовых переходов.

Корреляции между узлами решетки: В контексте решеточных моделей g определяет корреляции между узлами решетки, на которых находятся фермионы. Взаимодействия, описываемые g, могут определять корреляционные длины и характер связей между фермионами на больших расстояниях, а также силу взаимодействия между фермионами, характеризуя интенсивность взаимодействий и корреляции между узлами решетки

Чтобы перейти к представлению модели в проективном пространстве, мы будем использовать понятие грассмановозначной «плотности» свободной меры:

f(ψ∗) = exp {−L(ψ∗; r, g) },

В общем случае «плотность» свободной меры задается выражением:

гдеc= (c0, c1, c2) ∈  R3. В регулярном случае, когда c0 не равно нулю, связь между координатами r, g и c задается формулами:

Мы трактуем набор (c0, c1, c2) как точку двумерного вещественного проективного пространства RP2, и поэтому  два набора, отличающиеся друг от друга ненулевым множителем, задают одно и то же гиббсовское состояние. 

Поток РГ создается с помощью блок-спинового преобразования Вильсона–Каданова :

Гауссовская часть гамильтониана модели является инвариантной относительно преобразования блок-спинового преобразования, поэтому не влияет на изменения потока, а в не гауссовской части оно сводится к преобразованию констант связи  R (α) :

R (α)(r, g) = (r′, g′) (*),

где λ = nα−1. Преобразование РГ в пространстве коэффициентов «плотности» свободной меры мы также обозначаем R (α):

R (α)(c0, c1, c2) = (c′0, c′1, c′2) (**),

Если c2−2c1+c0 ≠ 0, мы можем опустить этот множитель , поскольку речь идет о преобразовании в проективном пространстве.

Рассмотрим  реализацию проективного c-пространства в виде полусферы:

в которой противоположные точки граничной окружности  с12+с22 = 1 отождествлены. Для получения плоской (двумерной) картины мы используем ортогональную проекцию S на диск D = {(с1, с2) : с12+с22 ≤ 1}. Тогда регулярная точка  (r, g)  будет отображаться во внутреннюю точку  (c1(r, g), c2(r, g))  диска D, где:

Доказано, что если координата c2 при некоторой итерации РГ превышает определенное пороговое значение, то дальнейшие итерации будут стремиться к точке δтолько справа или только слева,   и сама неподвижная точка δявляется единственной притягивающей точкой при α > 1. Все точки одной окрестности по координате c1 находятся слева от нуля (левая окрестность), все точки другой окрестности по координате c1находятся справа от нуля (правая окрестность). Используя эти результаты,   мы конструируем алгоритм, который позволяет классифицировать точки проективной плоскости по способу их стремления к точке δпри итерациях РГ (через правую или левую окрестности):

 Шаг 1. Для точки (c1, c2) ∈ D \ D1 вычисляем компоненту :

Шаг 2. Применяем к вектору (c0, c1, c2) отображение R (α), заданное формулами (*):

Шаг 3. Если d0 ≤ 0, то обращаем знак: (d0, d1, d2) = −(d0, d1, d2)

Шаг 4. Нормируем вектор (d0, d1, d2) и проецируем на диск D:

Шаг 5. Если

Доказательства  теорем о корректности данного алгоритма,  существовании неподвижных и особых точек { δ, 1, 2, 3, 4, 5}, доказательство инвариантности соответствующих областей можно найти, например в [4].

Литература и ссылки

1.      CARLO ROVELLI AND FRANCESCA VIDOTTO «Covariant Loop Quantum Gravity»

2.     А.Ф. Тиман, И.А. Вестфрид, Любое сепарабельное ультраметрическое пространство изометрично вкладывается в l2, Функц. анализ и его прил., 1983, том 17, выпуск 1

3.      https://habr.com/ru/articles/822087/

4.     М.Д. Миссаров, Ренормализационная группа в фермионной иерархической модели в проективных координатах, ТМФ, 2012, том 173, номер 3

5.     А.А. Григорян, Analysis on ultra-metric and fractal spaces. Heat equation approach, January 9–14, 2023, Vladimirov-100, Steklov Mathematical Institute, Moscow

6.      «Isometric Embeddings in Euclidean Spaces» by Luis Silvestre

7.     М.Д. Миссаров, Р.Г. Степанов, О вершинных частях p-адических фейнмановских амплитуд, Труды МИАН, 2009, том 265

Примечания:

1) Во многих фрактальных пространствах (включая три указанных ниже на картинке  SG, SC, VS) существует локальная регулярная форма Дирихле  (и связанная с ней диффузия), тепловое ядро ​​которой удовлетворяет суб — гауссовой оценке:

для некоторых α > 0 и γ > 1 (Барлоу, Басс, Чен, Хэмбли, Кигами, Кумагай, Кусуока, Перкинс и др.)  Как показал М.Барлоу, любое γ ≥ 2 может быть реализовано в (**) на некотором фрактальном пространстве.

На схеме ниже графически представлена ​​классификация регулярных метрических пространств в соответствии со значением размера шага β*. Евклидовы пространства Rn и p-адические пространства Qnpлежат на противоположных границах этой масштабной шкалы, при этом внутренняя часть между ними заполнена погранслойным  мульти-фрактальным пространством.

2) В терминах jump kernal классификация была приведена в [4].

3) О разнице  смысла терминов  «погружение» и «вложение» см [5].

4) Одним из аргументов в пользу изучения таких моделей является то обстоятельство, что многие сложные проблемы статистической физики и квантовой теории поля существенно упрощаются в силу свойства ультраметричности p-адического расстояния. Например, фейнмановские амплитуды могут быть вычислены в любом порядке теории возмущений [7], естественным образом устраняются расходимости  в разложениях через формальные ряды, а фермионная иерархическая модель с p-аддическими числами является  единственной моделью, имеющих замкнутые решения в конечной форме для ренормгруппы. Это дает возможность изучать поведение состояний системы в глобальном плане, в то время как исследование в евклидовых пространствах только локальны.

5) С точки зрения  анализа квантовой информации  поток РГ является потоком активной  информации [2]. Рождение активной квантовой информации и ее способность к самоструктурированию порождает новые эмерджентные состояния, которые отражаются в пространстве гиббсовских состояний параметров r и g

6) Неподвижные точки являются кандидатами для транспортных коридоров и могут быть связаны с «проходами» между двойственными пространствами

7) В ультраметрическом пространстве две окружности с одинаковыми радиусами или не пересекаются или являются одной и той же. Любая точка внутри окружности является ее центром. Расстояния между любыми точками внутри окружности одинаковые. В ультраметрическом пространстве возможны только равнобедренные треугольники, причем длины боковых сторон больше или равны длине основания:

Но самое

Но самое главное, в нем не выполняется аксиома Архимеда.

7)Для тех кто не знаком с алгебрами Гроссмана просто укажем, что они используются для описания симметрий и связанных с ними инвариантов. Образующие (генераторы) этой алгебры представляют собой операторы, которые генерируют преобразования между бозонными и фермионными состояниями или полями, с помощью симметричных трансформаций , связывая бозоны (целый спин) с фермионами (полуцелый спин).

Симметричные преобразования, такие как калибровочные U (1), обеспечивают инвариантность Лагранжиана, и соответствующих уравнений движения.  Например, для калибровочного поля уравнение движения получается из уравнений Максвелла 

© Habrahabr.ru