Расчёт электрических цепей методом структурных чисел для детей и взрослых01.07.2022 14:46

В нулевых годах, когда, скорее в качестве отдушины, я подрабатывал в Альма-матер, ведя лабораторные работы по радиотехнике, мне попалась на глаза эта книжечка:

С.Беллерт, Г. Возняцки

«Анализ и синтез электрических цепей методом структурных чисел».

Перевод с польского

Под редакцией проф. П.А. Ионкина

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1972

После беглого просмотра я испытал странное ощущение, которое, наверное, правильно было бы назвать когнитивным диссонансом. В этой книге предлагался эффективный и очень простой в применении (но не с точки зрения теории) метод расчета электрических цепей, но при этом я никогда даже не слышал об этом подходе. Не могу назвать себя профессионалом, радиотехника была скорее хобби, но я неплохо знал всё, что преподавалось у нас в институте и всё же.

Чем больше я вникал в теорию, тем больше очаровывался. Получив эстетическое удовлетворение, я благополучно забыл об этом небольшом открытии, к тому же через некоторое время я переехал в Европу, и моя преподавательская деятельность, да и вообще любая деятельность, связанная с радиотехникой, закончилась.

Но вот, недавно, приехав погостить в Россию, разбирая старые книжки, я опять наткнулся на этот забытый мною (и возможно миром) труд. Покопавшись в интернете, я обнаружил некоторые статьи на эту тему, но, по-прежнему, всё выглядит так, что этот метод мало кому знаком.

И я подумал, что может быть это будет интересно читателям Хабра.

О простоте

Кажется, что этому алгоритму можно научить даже ребенка, что я и попытался проверить.

Думаю, эксперимент удался. За 10 минут я сумел научить рассчитывать электрические цепи моего сына. На картинке вы видите его расчет передаточной функции по напряжению для двухкаскадного делителя. Поверьте моему опыту преподавателя радиотехники — не каждый студент с этим справится.

Ах, да. Сыну 7 лет!

Черными чернилами я составил «карту», которая должна помочь сыну в расчетах.

Синие чернила — это его расчёт.

Внизу вы видите правильный ответ — коэффициент усиления по напряжению.

Умея получать правильный результат, он, конечно же, абсолютно ничего не понимает — для него это просто картинка. Но, если я нарисую ему другую схему того же уровня сложности, он найдет правильный ответ.

Пояснения к записям:

Я нарисовал граф, соответствующий данной цепи. Ребра графа пронумерованы так же, как и импедансы.
Далее, мне пришлось немного рассказать сыну о графах — я показал, что такое вершины и что такое ребра графа. Потом объяснил ему, что такое элементарные контуры (пустые «кружочки») и обратил внимание на грани, из которых они состоят.

Предварительная стадия на этом была закончена, и мы перешли к расчетам.

Я попросил найти все элементарные контуры (здесь их 2) и выписать ребра, из которых они состоят. Вы видите две строчки, написанные им:

$1\quad 3\\2\quad3\quad4$

Следующая задача — вычеркнуть столбцы, где есть одинаковые числа — в данном случае это столбец с тройками. Удалив этот столбец, получаем
$1\quad1\quad1\quad3\quad3\\2\quad3\quad4\quad2\quad4$

Комментарий

Далее в статье мы будем называть это структурным числом графа, и это будет главным объектом, вокруг которого всё и крутится. Но нет смысла пытаться объяснить это ребенку — для того, чтобы найти ответ, знание элементов теории структурных чисел не является обязательным.

Комментарий 2

В общем случае нужно удалять не только столбцы, в которых есть одинаковые элементы, но и попарно убирать столбцы с одинаковым набором элементов (порядок следование элементов в столбцах и порядок следования самих столбцов неважны).

Затем (это написано мною на листке) я попросил найти все столбцы с единичкой («входное» ребро) и удалить единичку из этих столбцов. Понятно, что столбцы с единичкой это
$1\quad1\quad1\\2\quad3\quad4$
Отбросив единичку, получаем $2\quad3\quad4$ , что и написано в виде $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1} = 2\quad3\quad4$
То же самое нужно сделать для двойки («выходное» ребро): $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2} = 1\quad3$

Комментарий

В теории структурных чисел эта функция называется алгебраической производной по элементу.

Следующий шаг — найти элементы, которые присутствуют одновременно в $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}$ и в $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}$ . Понятно, что это элемент 3.

Комментарий

Эта функция от двух структурных чисел и называется конъюнкцией. Мы будем обозначать её как $A \cap B$ . В данном случае имеем

$\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1} \cap \displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2} = 3$

В принципе на этом все вычисления закончены. Осталось только написать ответ.
Я провел черту (деление), и попросил сына над чертой написать (независимо от наших расчетов, выходное сопротивление присутствует всегда в формуле передаточной функции по напряжению) и с индексом, который он получил в предыдущем пункте (конъюнкция) — вы видите мою чёрную стрелочку на картинке, указывающую на этот индекс.
Под чертой интересней. Для каждого столбца структурного числа нужно взять числа в этом столбце и использовать их как индексы для в произведении и сложить все полученные таким образом «столбцевые» произведения. Это тот случай, когда легче показать, чем объяснить. Так, в нашем случае для столбцов, которые мы получили
$1\quad1\quad1\quad3\quad3\\2\quad3\quad4\quad2\quad4$
это будет .
Это отношение и есть искомый коэффициент передачи.

Комментарий 1

Функция в знаменателе — это детерминант структурного числа по и записывается как $\det_ZA$ . Точное определение будет дано ниже в статье.

Комментарий 2

В общем виде для данного вида графов (входное и выходное ребра имеют общую вершину и сонаправлены) коэффициент передачи напряжения может быть выражен следующей формулой

$K_u = \displaystyle\frac{\det_Z(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1} \cap \displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2})}{\det_ZA}Z_2$

Более общая формула, которая подходит для всех пассивных четырёхполюсников

$K_u = \displaystyle\frac{Sim_Z(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1} ,\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2})}{\det_ZA}Z_2$

Функция совпадения $Sim_Z(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1} ,\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2})$ будет объяснена позже в этой статье

Теперь давайте по-взрослому.

Основные понятия теории структурных чисел

Мы ограничимся достаточно узкой прикладной областью данной математики — для нашей статьи нам будет интересен только расчет пассивных электрических цепей с одним источником (пассивный четырёхполюсник).

Нас будет интересовать лишь прикладной аспект. Мы не будем ничего доказывать. Также некоторые понятия будут представлены упрощенно, главная цель — научиться получать результат. Нас будет интересовать только вопрос «как», и мы даже не будем пытаться ответить на вопрос «почему». Тем, кому станет интересен математический аспект — обращайтесь к первоисточнику.

Структурное число

Структурное число это неупорядоченный набор столбцов элементов со следующими свойствами:

в общем случае, столбцы могут содержать разное количество элементов, но в рамках нашей задачи структурное число всегда будет иметь вид прямоугольной матрицы, то есть все столбцы в структурном числе будут иметь равную длину
каждый столбец представляет собой неупорядоченный (порядок не важен) набор натуральных чисел
в столбце нет повторяющихся элементов. Если в процессе алгебраических операций появляются столбцы с одинаковыми элементами, то эти столбцы удаляются.
в структурном числе нет повторяющихся столбцов. Если в процессе алгебраических операций появляются такие столбцы, то они попарно удаляются. Это значит, что четное количество одинаковых столбцов аннигилируют, а при нечетном количестве один столбец остаётся.

Пример

$A = \begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ 3& 1& 5\\ 4& 4& 4\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2& 3& 5\\ 1& 1& 3\\ 4& 4& 4\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4& 2& 3\\ 3& 1& 4\\ 5& 4& 1\\ \end{pmatrix} = ...$

Дополнительное структурное число

Найдем множество всех элементов в структурном числе. Возьмем произвольный столбец этого числа и составим столбец из элементов, которых не хватает в этом столбце до множества всех элементов. Структурное число, составленное из таких столбцов называется дополнительным.

Пример

Рассмотрим структурное число

$A = \begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ 3& 1& 5\\ 4& 4& 4\\ \end{pmatrix}$

Множество всех элементов: $L = \{1,2,3,4,5\}$

Тогда дополнительное число:

$A^d = \begin{pmatrix} 2& 3& 1\\ 5& 5& 2\\ \end{pmatrix}$

Сумма структурных чисел

Комментарий:

Мы нигде не будем использовать сумму структурных чисел в данной статье.

Суммой двух структурных чисел A и B называется структурное число, содержащее все столбцы чисел A и B, за исключением идентичных столбцов.

Пример

$\begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ 3& 1& 5\\ 4& 4& 4\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6& 2& 5\\ 3& 3& 3\\ 4& 4& 4\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1& 2& 6& 2\\ 3& 1& 3& 3\\ 4& 4& 4& 4\\ \end{pmatrix}$

Произведение структурных чисел

Комментарий:

В данной статье мы будем иметь дело только с произведением структурных чисел состоящих из строк (все столбцы имеют лишь один элемент), например, $\begin{pmatrix} 1& 3& 6\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3& 5& 2\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1& 5& 4\\ \end{pmatrix}$

Произведением двух структурных чисел A и B называется структурное число, столбцы которого представляют собой суммы (согласно понятиям теории множеств) всех возможных комбинаций столбцов A и B, за исключением наибольшего четного числа идентичных столбцов и таких столбцов, в которых какой-либо элемент повторяется.

Пример

$\begin{pmatrix} 1& 4& 9\\ 3& 5& 5\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4& 1& 5\\ 5& 3& 3\\ \end{pmatrix} = \\ = \begin{pmatrix} \not1& \not1& \not1& \not4& \not4& \not4& \not9& 9& \not9\\ \not3& \not3& \not3& \not5& \not5& \not5& \not5& 5& \not5\\ \not4& \not1& \not5& \not4& \not1& \not5& \not4& 1& \not5\\ \not5& \not3& \not3& \not5& \not3& \not3& \not5& 3& \not3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9\\ 5\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}$

Столбцы 2,3,4,6,7,9 удаляются потому что содержат повторяющиеся элементы.

Столбцы 1 и 5 удаляются в паре потому, что содержат идентичный набор элементов (важно помнить, что если бы одинаковых столбцов было бы нечетное количество, то один столбец остался бы).

Поэтому остается только столбец 8.

Алгебраическая производная

Алгебраическая производная структурного числа по элементу $\alpha$ называется структурное число $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial \alpha}$ , состоящее только из столбцов , содержащих элементы $\alpha$ с исключением этих элементов.

Пример

Возьмём структурное число

$A = \begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ 3& 1& 5\\ 4& 4& 4\\ \end{pmatrix}$ $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1} = \begin{pmatrix} 3& 2\\ 4& 4\\ \end{pmatrix}$ $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2} = \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ \end{pmatrix}$ $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 3} = \begin{pmatrix} 1& 5\\ 4& 4\ \end{pmatrix}$

Алгебраическая обратная производная

Обратная производная структурного числа по элементу $\alpha$ называется структурное число $\frac{\delta A}{\delta \alpha}$ состоящее только из столбцов , не содержащих элементы $\alpha$ .

Пример

Конъюнкция

Конъюнкцией двух структурных чисел и называется структурное число , состоящее из совпадающих столбцов и . Мы будет обозначать ее как $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1} \cap \displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}$ .

Пример

$\begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ 3& 1& 5\\ 4& 4& 4\\ \end{pmatrix} \cap \begin{pmatrix} 5& 2& 3\\ 9& 1& 5\\ 6& 4& 4\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2& 3\\ 1& 5\\ 4& 4\ \end{pmatrix}$

Детерминантная фунция

Давайте возьмем -й столбец структурного числа . Возьмем все индексы в этом столбце и найдем произведение импедансов с этими индексами. Далее, если сложить такие произведения для всех столбцов, то это и будет детерминант. Детерминант от пустого (нет столбцов) структурного числа равен 1.

Пример

$\det_Z \begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ 3& 1& 5\\ 4& 4& 4\\ \end{pmatrix} = Z_1Z_3Z_4 + Z_2Z_1Z_4 + Z_3Z_5Z_4$ $\det_Z \begin{pmatrix} 5& 2& 3\\ 9& 1& 5\\ 6& 4& 4\\ \end{pmatrix} = Z_5Z_9Z_6 + Z_2Z_1Z_4 + Z_3Z_5Z_4$

Структурные числа и электрические схемы

Мы подбираемся к сути, которая заключается в том, что каждому пассивному четырёхполюснику может быть поставлено в соответствие структурное число, и с помощью нововведенной алгебры может быть произведен ее расчет.

Сначала построим граф, соответствующий электрической цепи.

Построение графа

Проще всего это понять на примерах. Начнем с элементарных схем.

Схемы делителя:

Первая схема — элементарный делитель. При этом мы считаем источник напряжения идеальным (сопротивление = 0), и вольтметр (или следующий каскад) имеет входное сопротивление равное бесконечности.

Вторая схема относится к случаю, когда вы подаете напряжение E, на сопротивление Z_3 , но источник напряжения не идеальный (сопротивление Z1), и вольтметр (или следующий каскад) имеет входное сопротивление Z2.

Третья схема — уже знакомая нам схема двухкаскадного делителя.

То есть, чтобы получить граф, мы просто перерисовываем схему с импедансами со следующими изменениями:

мы «опускаем» идеальный источник напряжения, что выглядит разумно, т.к. его выходное сопротивления равно 0 (его сопротивление мы вынесли в )
мы заменяем импедансы на их индексы
у нас только 2 направленных ребра: входное (мы всегда будем обозначать его индексом 1) и выходное (индекс 2). Стрелками обозначено направление тока (которое мы приняли за положительное)

Попробуем применить этот подход для более сложного случая.

Мост Уитстона:

Нахождение структурного числа, соответсвующего графу

Теперь давайте построим структурные числа для каждого случая.

Есть два подхода: через произведение структурных чисел, соответствующих вершинам графа, и через произведение структурных чисел, соответствующих элементарным контурам.

Рассмотрим первый метод — через произведение «вершинных» структурных чисел

Метод перемножения «вершинных» структурных чисел

Предположим, что в нашем графе вершин. «Отбрасываем» любую вершину и берем оставшиеся вершины.
Для каждой вершины найдем «вершинное» структурное число. Для этого выписываем все ребра графа, опирающиеся на эту вершину. Предположим, что для i-ой вершины мы имеем ребер. Тогда такое «вершинное» структурное число будет состоять из столбцов, состоящих из одного элемента, равного индексу ребра. То есть, не строго говоря, это строка, состоящая из индексов ребер (для данной вершины).
Перемножаем эти вершинных структурных числа. Получаем некое структурное число .
Находим дополнительное к структурное число . Это и будет наше искомое структурное число.

Пример 1. Простой делитель

Для первой схемы (простой делитель) получим:

В графе две вершины, значит, для нашего расчета мы будем использовать одну.
«Вершинное» структурное число (для любой из двух вершин): $\begin{pmatrix} 1& 2\\ \end{pmatrix}$ .
У нас всего одно число, поэтому произведением является то же самое число.
У нас всего два элемента: $\{1,2\}$ , поэтому дополнительным элементом опять-таки является тоже самое число.
Итак, для первой схемы нашим структурным числом будет $\begin{pmatrix} 1& 2\\ \end{pmatrix}$ .

Пример 2. Напряжение на резисторе

В графе две вершины, значит, для нашего расчета мы будем использовать одну.
«Вершинное» структурное число (для любой из двух вершин): $\begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ \end{pmatrix}$ .
У нас всего одно число, поэтому произведением является то же самое число.
У нас есть три элемента: $\{1,2, 3\}$ , поэтому дополнительным структурным числом будет

$\begin{pmatrix} 2& 1& 1\\ 3& 3& 2\ \end{pmatrix}$

Пример 3. Двухкаскадный делитель

В графе три вершины, значит, для нашего расчета мы будем использовать две.
Возьмем верхнюю и нижнюю вершины. Структурные числа для них: $\begin{pmatrix} 1& 2& 3\\ \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 1& 3& 4\\ \end{pmatrix}$ .
Произведение этих двух структурных чисел даёт:

$\begin{pmatrix} \not1& \not1& 1& 2& 2& 2& \not3& \not3& 3\\ \not1& \not3& 4& 1& 3& 4& \not1& \not3& 4 \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1& 2& 2& 2& 3\\ 4& 1& 3& 4& 4 \ \end{pmatrix}$

У нас есть 4 элемента: $\{1,2, 3,4\}$ , поэтому дополнительным структурным числом будет

$\begin{pmatrix} 2& 3& 1& 1& 1\\ 3& 4& 4& 3& 2\ \end{pmatrix}$

Это совпадает с результатом, который получил мой сын. Там мы использовали метод перемножения «контурных» структурных чисел, который рассматривается ниже.

Пример 4. Мост Уитстона

Мы видим 4 вершины. Отбросим нижнюю вершину.
Тогда для оставшихся трех вершин мы получим следующие «вершинные» структурные числа:
$\begin{pmatrix} 1& 3& 6\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3& 5& 2\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1& 5& 4\\ \end{pmatrix}$
Перемножим эти 3 числа
$A^d = \begin{pmatrix} 1& 3& 6\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3& 5& 2\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1& 5& 4\\ \end{pmatrix}$
Всевозможная комбинация столбцов будет выглядеть следующим образом:
$\begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 3& 3& 3& 3& 3& 3& 3& ...\\ 3& 3& 3& 5& 5& 5& 2& 2& 2& 3& 3& 3& 5& 5& 5& 2& ...\\ 1& 5& 4& 1& 5& 4& 1& 5& 4& 1& 5& 4& 1& 5& 4& 1& ...\\ \end{pmatrix}$
Убираем все столбцы, содержащие одинаковые элементы и попарно равные столбцы. Получаем

$A^d = \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1& 3& 3& 3& 3& 6& 6& 6& 6& 6& 6& 6& 6\\ 3& 5& 2& 2& 5& 2& 2& 2& 3& 3& 3& 5& 5& 2& 2& 2\\ 4& 4& 5& 4& 4& 1& 5& 4& 1& 5& 4& 1& 4& 1& 5& 4 \end{pmatrix}$

Теперь мы можем выписать структурное число, соответствующее данной схеме — это будет число , являющееся дополнением к

$A = \begin{pmatrix} 2& 2& 3& 3& 1& 4& 1& 1& 2& 1& 1& 2& 1& 3& 1& 1\\ 5& 3& 4& 5& 2& 5& 4& 5& 4& 2& 2& 3& 2& 4& 3& 3\\ 6& 6& 6& 6& 6& 6& 6& 6& 5& 4& 5& 4& 3& 5& 4& 5 \end{pmatrix}$

Метод перемножения «контурных» структурных чисел

Найдем наименьшее количество замкнутых контуров, покрывающее все ребра графа.
Для каждого такого контура составим «контурное» структурное число. Предположим, что для -го контура мы имеем рёбер. Тогда такое «контурное» структурное число будет состоять из столбцов, состоящих из одного элемента, равного индексу ребра. То есть, не строго говоря, это строка, состоящая из ребер (для данного контура).
Выполним произведение всех таких контурных чисел — получим искомое структурное число.
Опять-таки проще это понять на примерах.

Пример 1. Простой делитель

Очевидно, что у нас только один контур.
Контурное структурное число для него: $\begin{pmatrix} 1& 2\\ \end{pmatrix}$ .
Т.к. это единственное структурное число, то оно и будет ответом, что, как и ожидалось, совпадает с результатом первого метода.

Пример 2. Напряжение не резисторе

Таких контуров 2.
У нас есть возможность разных комбинаций, но возьмем следующие: $\begin{pmatrix} 1& 3\\ \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} 3& 2\ \end{pmatrix}$ .
Найдем произведение этих двух чисел, что и будет искомым структурным числом:

$A = \begin{pmatrix} 1& 3\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& 2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \not1& 1& 3& 3\\ \not1& 2& 1& 2& \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1& 3& 3\\ 2& 1& 2 \end{pmatrix}$

И опять, конечно же, структурные числа полученные двумя разными методами совпадают.

Пример 3. Двухкаскадный делитель.

Структурное число, соответсвующее двухкаскадному делителю, мы нашли в самом начале статьи. Оно равно

$A = \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 3& 3\\ 2& 3& 4& 2& 4\ \end{pmatrix}$

Пример 4. Мост Уитстона

Таких контуров 3.
Возьмем, например, следующие:
$\begin{pmatrix} 1& 4& 6\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1& 3& 5\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4& 5& 2\\ \end{pmatrix}$ .
Найдем искомое структурное число A через произведение этих трех чисел.
Берем все возможные комбинации столбцов:

$\begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 4& 4& 4& 4& 4& 4& 4& 4& 4& ...\\ 1& 1& 1& 3& 3& 3& 5& 5& 5& 1& 1& 1& 3& 3& 3& 5& 5& 5& ...\\ 4& 5& 2& 4& 5& 2& 4& 5& 2& 4& 5& 2& 4& 5& 2& 4& 5& 2& ...\\ \end{pmatrix}$

Убираем все столбцы, содержащие одинаковые элементы и попарно равные столбцы. Получаем искомое структурное число:

$A = \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1& 4& 4& 4& 4& 6& 6& 6& 6& 6& 6& 6& 6\\ 3& 3& 3& 5& 1& 3& 3& 5& 1& 1& 1& 3& 3& 3& 5& 5\\ 4& 5& 2& 2& 2& 5& 2& 2& 4& 2& 5& 4& 5& 2& 4& 2 \\\end{pmatrix}$

С учетом того, что порядки следования столбцов и элементов в самих столбцах неважны, легко видеть, что в обоих методах мы получили одинаковые результаты.

Расчет пассивной трёхточки (трёхполюсника)

Комментарий:

Не уверен, что термины «трёхточка» или «трёхполюсник» является общепринятыми, но дальнейшее поясняет, что я имею ввиду.

У нас всё готово для расчета пассивной трёхточки, которую можно представить в виде пассивного четырёхполюсника с общей землей на входе и выходе.

Например, схемы делителей, которые мы рассматривали выше — это трёхточки (в том смысле, в котором мы определили трёхточку).

Передаточные функции напряжения и тока в этой схеме это

$K_u = \displaystyle\frac{U_{out}}{E}$ $K_i = \displaystyle\frac{I_{out}}{I_{in}}$

а первичный, входной и выходной импедансы:

$Z'{in} = \displaystyle\frac{E}{I_{in}}$ $Z_{in} = \displaystyle\frac{U_{in}}{I_{in}}$ $Z_{out} = \displaystyle\frac{U_{out}}{I_{out}}\bigg|Z_2 = \infty$

А теперь самое главное — все эти величины мы легко можем найти, если знаем структурное число A, соответствующее схеме.

$K_u = \displaystyle\frac{\det_Z(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1} \cap \displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2})}{\det_ZA}Z_2$ $K_i = \displaystyle\frac{\det_z\bigg(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}\cap\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}\bigg)}{\det_z\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}}$ $Z'_{in} = \displaystyle\frac{\det_zA}{\det_z\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}}$ $Z_{in} = \displaystyle\frac{\det_z\displaystyle\frac{\delta A}{\delta 1}}{\det_z\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}}$ $Z_{out} = \displaystyle\frac{\det_z\displaystyle\frac{\delta A}{\delta 2}}{\det_z\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}}$

Расчет схем трёхточек

Давайте начнем с простейших схем. Хотя, в этом случае данный метод не дает ощутимых преимуществ, но простейшие схемы, как предельный вариант, интересны для оценки адекватности метода.

Схема 1. Простой делитель

Вспомним наше структурное число:

$A = \begin{pmatrix} 1& 2\\ \end{pmatrix}$

Тогда, помня, что детерминант от пустого (нет столбцов) структурного числа равен 1, легко получить:

$K_u = \displaystyle\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}$ $K_i = \displaystyle\frac{1}{1} = 1$ $Z'_{in}= \displaystyle\frac{Z_1+Z_2}{1} = Z_1+Z_2$ $Z_{in}= \displaystyle\frac{Z_2}{1} = Z_2$ $Z_{out}= \displaystyle\frac{Z_1}{1} = Z_1$

Схема 2. Напряжение на сопротивлении.

$A = \begin{pmatrix} 2& 1& 1\\ 3& 3& 2\ \end{pmatrix}$ $\det_z\bigg(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}\cap\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}\bigg) = Z_3$ $K_u = \displaystyle\frac{Z_3Z_2}{Z_2Z_3+Z_1Z_3+Z_1Z_2}$ $K_i = \displaystyle\frac{Z_3}{Z_3+Z_2}$ $Z'_{in}= \displaystyle\frac{Z_2Z_3+Z_1Z_3 + Z_1Z_2}{Z_3+Z_2} = Z_1 + Z_2||Z_3$ $Z_{in}= \displaystyle\frac{Z_2Z_3}{Z_2+Z_3} = Z_2||Z_3$ $Z_{out}= \displaystyle\frac{Z_1Z_3}{Z_3+Z_1} = Z_1||Z_3$

Что соответствует действительности (расчетам другими известными методами).

Схема 3. Двукаскадный делитель (который мы рассчитывали с сыном)

$A = \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 3& 3\\ 2& 3& 4& 2& 4\ \end{pmatrix}$ $\det_z\bigg(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}\cap\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}\bigg) = Z_3$ $K_u = \displaystyle\frac{Z_3Z_2 }{Z_1Z_2+Z_1Z_3+Z_1Z_4 + Z_3Z_2 + Z_3Z_4}$ $K_i = \displaystyle\frac{Z_3}{Z_3+Z_2 + Z_4}$ $Z'_{in}= \displaystyle\frac{Z_1Z_2+Z_1Z_3+Z_1Z_4 + Z_3Z_2 + Z_3Z_4}{Z_3+Z_2 + Z_1}$ $Z_{in}= \displaystyle\frac{Z_2Z_3 + Z_3Z_4}{Z_2+Z_3+ Z_1}$ $Z_{out}= \displaystyle\frac{Z_1Z_3 + Z_1Z_4 + Z_3Z_4}{Z_3+Z_1}$

Рассматриваемые нами трёхточки покрывают довольно большой процент случаев, поэтому уже здесь можно было бы поставить точку.

Но всё же не всегда вход и выход схемы имеют общий контакт (например, мост Уитстона). Метод структурных чисел позволяет найти решение и для общего случая пассивного четырёхполюсника.

Расчет четырехполюсника

Трехполюсник рассмотренный выше является частным случаем четырехполюсника.

Разница лишь в том, что вход и выход в данном случае необязательно имеют общий контакт.

Формулы расчета для четырехполюсника

$K_u = \displaystyle\frac{Sim_z\bigg(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1},\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}\bigg)}{\det_zA}Z_2$ $K_i = \displaystyle\frac{Sim_z\bigg(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1},\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}\bigg)}{\det_z\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}}$ $Z'_{in} = \displaystyle\frac{\det_zA}{\det_z\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}}$ $Z_{in} = \displaystyle\frac{\det_z\displaystyle\frac{\delta A}{\delta 1}}{\det_z\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}}$ $Z_{out} = \displaystyle\frac{\det_z\displaystyle\frac{\delta A}{\delta 2}}{\det_z\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}}$

Как можно видеть, формулы для четырехполюсника такие же, как и для трехполюсника, за исключением коэффициентов передачи по напряжению и току. Здесь в числителе вместо

$\det_z\bigg(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}\cap\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}\bigg)$

мы имеем

$Sim_z\bigg(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1},\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}\bigg)$

Это новая функция, которую проще объяснить на примере, и это будет рассмотрено ниже на примере моста Уитстона.

Понятно, что в случае трёхточки, которую мы рассматривали (с правильным выбором направления выходного ребра) мы имеем

$Sim_z\bigg(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1},\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}\bigg) = \det_z\bigg(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}\cap\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}\bigg)$

Мост Уитстона

Структурное число

Давайте найдем некоторые важные для нашего анализа функции этого структурного числа.

$A = \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1& 4& 4& 4& 4& 6& 6& 6& 6& 6& 6& 6& 6\\ 3& 3& 3& 5& 1& 3& 3& 5& 1& 1& 1& 3& 3& 3& 5& 5\\ 4& 5& 2& 2& 2& 5& 2& 2& 4& 2& 5& 4& 5& 2& 4& 2 \\\end{pmatrix}$

Это рассмотрение позволит нам также ввести последнюю важную функцию — функция совпадения.

Детерминант

Легко видеть что детерминант этого числа это

$\det_Z = Z_1Z_3Z_4 + Z_1Z_3Z_5 + Z_1Z_3Z_2 + Z_1Z_5Z_2 + Z_4Z_2Z_2 + ... Z_6Z_5Z_4 + Z_6Z_5Z_2$

Алгебраическая производная

$\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1} = \begin{pmatrix} 3& 3& 3& 5& 4& 6& 6& 6\\ 4& 5& 2& 2& 2& 4& 2& 5\\ \end{pmatrix}$ $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2} = \begin{pmatrix} 1& 1& 4& 4& 4& 6& 6& 6\\ 3& 5& 1& 3& 5& 1& 3& 5\\ \end{pmatrix}$

Для обратных алгебраических производных соответственно имеем

$\displaystyle\frac{\delta A}{\delta 1} = \begin{pmatrix} 4& 4& 4& 6& 6& 6& 6& 6\\ 3& 3& 5& 3& 3& 3& 5& 5\\ 5& 2& 2& 4& 5& 2& 4& 2 \end{pmatrix}$ $\displaystyle\frac{\delta A}{\delta 2} = \begin{pmatrix} 1& 1& 4& 6& 6& 6& 6& 6\\ 3& 3& 3& 1& 1& 3& 3& 5\\ 4& 5& 5& 4& 5& 4& 5& 4 \end{pmatrix}$

Конъюнкция

$\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1} \cap \displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2} =\begin{pmatrix} 3& 6\\ 4& 5 \end{pmatrix}$

Функция совпадения

Комментарий:

Это и есть та дополнительная функция, которой нам не хватало для расчет четырехполюсника.

Найдем функцию совпадения чисел $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1}$ и $\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}$ . Эта функция вычисляется через конъюнкцию, найденную выше:

$Sim_z(\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 1},\displaystyle\frac{\partial A}{\partial 2}) = \alpha Z_5Z_6 + \beta Z_3Z_4$