Простые числа: ключ к математическим тайнам27.11.2024 14:15

Простые числа и их значение

Простые числа — это числа больше 1, которые делятся только на 1 и на себя. Они играют фундаментальную роль в математике, будучи основой для всех остальных чисел, поскольку любое число можно представить как произведение простых множителей. Например, числа 2,3,5,7 — простые, так как они не имеют других делителей, кроме себя и единицы.

Значение простых чисел выходит далеко за пределы теоретической математики. Они используются в криптографии для защиты данных, в компьютерных алгоритмах и даже в теории кодирования информации. Их исследование продолжается на протяжении веков, открывая всё новые и неожиданные закономерности.

Гипотеза Римана: связь с простыми числами

Одним из наиболее глубоких и таинственных вопросов в математике остаётся гипотеза Римана, сформулированная в 1859 году. Эта гипотеза утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана Функция Римана: Функция Римана: \zeta(s) имеют вещественную часть, равную \frac{1}{2}.

Эта гипотеза напрямую связана с распределением простых чисел. Используя тождество Эйлера:

\zeta(s) = \prod_{p \, \text{простое}} \frac{1}{1 - p^{-s}}, \quad s > 1.» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/0/04/04c/04c233c93c7ff2d83bfa2cd34d5278d3.svg» /></p> <p>можно увидеть, как простые числа «встроены» в структуру дзета-функции. Если гипотеза Римана верна, это даёт возможность точно описать распределение простых чисел, включая количество простых чисел π (N) до заданного числа N.</p> <h2>Трудности доказательства гипотезы</h2> <p>Несмотря на её простую формулировку, гипотеза Римана остаётся одной из самых сложных нерешённых проблем в математике.</p> <ol><li><p><strong>Сложность дзета-функции</strong>: Она описывается сложными формулами, которые трудно анализировать на больших числах.</p></li><li><p><strong>Многогранность проблемы</strong>: Гипотеза связана с множеством других областей математики, включая теорию чисел, математический анализ и даже квантовую физику.</p></li><li><p><strong>Отсутствие подходящих методов</strong>: Многие современные методы исследования чисел оказываются недостаточными для доказательства гипотезы.</p></li></ol> <h2>Сумма корней квадратов простых чисел</h2> <p>В ходе моего исследования была проанализирована закономерность, связанная с суммой корней квадратов простых чисел. Рассмотрим простые числа, квадраты которых не превышают заданного числа N.</p> <h2>Что это такое? </h2> <p>Рассмотрим множество простых чисел p, квадраты которых <img alt= не превышают заданного числа N. Найдём корни этих квадратов, то есть сами числа p, и сложим их. Полученная сумма обозначается как S.

Формула для S имеет следующий вид:

S = \sum_{p \, \text{простое}, p^2 \leq N} p

Примеры для наглядности

  1. Лимит N = 1000:

Простые числа p, удовлетворяющие p^2 ≤ 1000:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Сумма:

S = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129.

  1. Лимит N = 10,000:

Простые числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 … (всего 22 числа).
Сумма:

S = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + ⋯ + 97 = 652.

  1. Лимит N=1,000,000:

Количество простых чисел: 78,498.
Сумма корней квадратов: 76,127.

Сравнение суммы и количества простых чисел

Для каждого лимита мы можем сравнить сумму корней квадратов S с количеством простых чисел π (N).

Лимит N

Количество простых чисел π (N)

Сумма корней квадратов S

1,000

168

129

10,000

1,229

652

100,000

9,592

3,044

1,000,000

78,498

76,127

2,000,000

148,933

141,676

5,000,000

348,513

336,042

10,000,000

664,579

642,869

50,000,000

3,001,134

2,991,739

Закономерности отношений

  1. Отношение количества простых чисел к сумме корней квадратов:

R_1 = \frac{S}{\pi(N)}

На больших интервалах (N >10^6) это отношение стремится к 1. Например:

  • Для N = 1,000,000:

R_1 = \frac{78,498}{76,127} ≈ 1.03.

  • Для N = 50,000,000:

R_1 = \frac{3,001,134}{2,991,739} ≈ 1.003.

  1. Отношение количества натуральных чисел N к сумме корней квадратов, чьи корни являются натуральными:

R = \frac{N}{\sum_{k=1}^{\lfloor \sqrt{N} \rfloor} k}

Где:

  • N — общее количество натуральных чисел.

  • \sum_{k=1}^{\lfloor \sqrt{N} \rfloor}k — Сумма всех натуральных чисел от 1 до \sqrt{N} ​, то есть корней квадратов натуральных чисел, не превышающих N.

Вычисление отношения :
Сумма первых m натуральных чисел:

\sum_{k=1}^m k = \frac{m(m+1)}{2}, где \quad m = \lfloor \sqrt{N} \rfloor.

Подставляя это в формулу R, получаем:

R = \frac{2N}{\lfloor \sqrt{N} \rfloor (\lfloor \sqrt{N} \rfloor + 1)}.

Асимптотика:
Для больших N отношение R приближается к:

R \sim \frac{2N}{N} = 2.

Это значит, что при N \to \infty, значение R стремится к 2 .

Реализация расчётов с помощью JavaScript

habr

    if (num < 2) return false;
    for (let i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) {
        if (num % i === 0) return false;
    }
    return true;
}

function calculate(limit) {
    let countPrimes = 0;
    let sumRoots = 0;

    for (let i = 2; i <= limit; i++) {
        if (isPrime(i)) {
            countPrimes++;
            if (i * i <= limit) {
                sumRoots += i;
            }
        }
    }

    return { countPrimes, sumRoots };
}

// Лимит
const limit = 1000000;
const result = calculate(limit);

console.log(`Лимит: ${limit}`);
console.log(`Количество простых чисел: ${result.countPrimes}`);
console.log(`Сумма корней квадратов простых чисел: ${result.sumRoots}`);
console.log(`Отношение (Количество / Сумма): ${(result.countPrimes / result.sumRoots).toFixed(5)}`);

habr

Заключение

Анализ суммы корней квадратов простых чисел S в сравнении с количеством простых чисел π (N) показывает их удивительное сближение. На больших интервалах отношение π (N)/S стремится к 1, что указывает на глубокую связь между этими характеристиками.

Эти закономерности подчёркивают красоту и сложность мира чисел, открывая новые пути для исследования, которые могут иметь значение как для доказательства гипотезы Римана, так и для других задач теории чисел.

© Habrahabr.ru