Правильные многогранники. Часть 2. Четырёхмерие
Вступление Вижу, что на Хабре люди серьёзные собрались. Статью про трёхмерие на счёт «раз» разобрали. Однако пространствами постоянной кривизны никого не удивишь в наше время. Тем не менее всегда находятся желающие заглянуть выше, в четырёхмерие. Ну что ж, именно с такими любознательными коллегами мы продолжаем разговор и переходим на следующий уровень по размерности.Моя задача не просто рассказать про разбиения пространств постоянной кривизны любой размерности на правильные многогранники, а сделать это так, чтобы материал поняли даже вчерашние школьники, окончившие 11 классов. Я люблю статьи на Хабре именно за их доходчивость, понятность, простоту, не смотря на сложность материала, и в таком же качестве стараюсь подавать сведения в публикациях. В ВУЗах и в отечественных публикациях предлагаемый материал возможно рассматривается, но, как мне кажется, не в таком виде. Думаю, что информация будет полезна и для студентов. В иностранной литературе данный материал есть, соответственно не на русском языке, в сильно сжатом виде и с использованием высшей математики. Тут я всё «разжёвываю» для школьников, без высшей математики, фактически на одной геометрической интуиции. Мы увидим в следующей статье, как будет сделан переход от 4D к 5D с помощью геометрии, наглядно, без высшей алгебры. Это будет самый сложный шаг, но кто его поймёт, тот поймёт и все остальные размерности от 6 и выше. Не уверен, что мне удалось всё основательно «разжевать», поэтому, если будут дополнительные вопросы — задавайте, это поможет мне улучшить статью.
В данной публикации идея выкладок полностью та же, что и в предыдущей статье, только на одну размерность выше, так что, если кто-то ещё не успел с ней ознакомиться, желательно это сделать, чтобы понимать, что происходит.
Сначала ещё раз дадим все определения, только уже для 4-мерных многогранников и соответствующего символа Шлефли. Не хочется сразу давать общие формулировки, чтобы не запутать не подготовленных читателей, которые с данным предметом, возможно, имеют дело впервые. Затем дадим постановку задачи. В данной публикации, похоже, что она приняла более строгий и стройный вид. Если ошибусь в каких-то деталях, то ничего страшного, это ведь не бумажная публикация, подредактирую и поправлю, чтобы всё было красиво. Основные выкладки и результат правильные, за это не переживайте, потом даже ссылки на авторитетных авторов дам, если что. Заглянув к этим авторам вы поймёте, что мой труд, в виде этих нескольких публикаций, не напрасный.
Определения. Аксиомы. Постановка задачи В многогранниках много разных углов, двугранным углом мы называем двугранный смежный угол, между смежными гранями, т.е. гранями имеющими общее ребро.Определение правильного многогранника даю рекурентное и своими словами, ведь Хабр — не место для копипастеров.Правильным 4-мерным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все 3-мерные грани являются правильными многограниками, равными между собой и все углы между 3-мерными гранями равны между собой.
Есть утверждение, что разбиению (n-1)-мерной сферы взаимно однозначно соответствует правильный n-мерный многогранник, при n>1. То есть размерность многогранника на одну выше, чем размерность сферы, которую разбиваем. Например, если вершины разбиения 3-мерной сферы соединить рёбрами, соответствующими дугам разбиения, то получится 4-мерный многогранник. Не знаю как это утверждение доказывается и доказывается ли вообще. Поэтому оно принимается за аксиому и считаем его верным во всех размерностях пространств. Для двумерной сферы на примере икосаэдра это было показано в видео ролике в предыдущей публикации. Можно сказать, что в трёхмерии (т.е. для разбиения двумерной сферы) этот факт установлен экспериментально, а в четырёхмерии и выше, считаем, что всё аналогично. Вроде бы тут всё чисто, интуитивно понятно, что так оно и есть.
Определение символа Шлефли тоже даю своими словами.Символом Шлефли называется последовательность чисел {p1, p2, p3} задающая алгоритм построения правильного многогранника следующим образом: — взять правильные {p1} угольники, объединить их по рёбрам, так, чтобы в каждой вершине сошлось по p2 штук таких {p1}, получим {{p1}, p2} или коротко {p1, p2}— взять, полученные на предыдущем шаге, {p1, p2} и объединить их по плоским граням так, чтобы в каждом ребре сошлось p3 штук таких {p1, p2} трёхмерных многогранника.Уже напрашивается индукция в определении, не правда ли? Общее определение, для n-мерного правильного многогранника дам в следующей публикации. Пока лучше рассмотреть частный случай, чтобы проще было понять и не отвлекаться на общие формулировки.
И ещё одна мысль (постановка задачи), которая, выраженная в грубой форме, влоб, оказывается не верна, но она не используется при выкладках, поэтому никак не влияет на результат, но за то она является движущей силой исследований :) Мысль заключается в том, что для любого символа Шлефли в любой размерности Существует правильный многогранник, который разбивает одно из пространств постоянной кривизны соответствующей размерности. Мы видели, что при разбиении двумерных пространств эта мысль верна, там любой символ Шлефли что-нибудь да разбивал. Слово «Существует» выделено большой буквой, так как на самом деле это не верно для размерностей 4 и выше. Допускать существование всегда — это конечно вольности, но можно сформулировать постановку задачи таким образом, что эта мысль окажется законной, а именно: количество различных значений символа Шлефли счётное множество, разбить это множество на не пересекающиеся подмножества (классы) конечные или бесконечные по типам: — класс символов задающих разбиение Сферического пространства на правильные многогранники соответствующей размерности; — ---//--- разбиение Евклидова пространства ---//---— ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные многогранники Конечного объёма ---//---— ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные предельные многогранники конечного объёма ---//--- (такие, у которых вершины попадают прямо на абсолют — границу диска Пуанкаре)— ---//--- разбиение пространства Лобачевского на правильные многогранники бесконечного объёма ---//--- (если получающиеся фигуры условно считать правильными многогранниками)— класс «плохих» символов, которым невозможно поставить в соответствие какой-то многогранник или какое-то разбиение пространства постоянной кривизны.При перечислении этих классов мы забежали немного вперёд, и в разбиениях пространств Лобачевского, выше, выделили три подмножества (класса), вместо одного, как для Сферы и Евклида.Иными словами, наша задача заключается в исследовании всех возможных значений символа Шлефли во всех размерностях, во всех трёх пространствах постоянной кривизны. Это мотивация, цель и задача. В данной публикации размерность разбиваемых пространств постоянной кривизны = 3, размерность получаемых при этом многогранников = 4.
Замысел решения задачи
Сама идея решения проста, как и в предыдущей статье о трёхмерии, нужно с одной стороны по параметрам символа Шлефли {p1, p2} вычислить двугранный угол (
) многогранника и сравнить этот угол с 
т.е. чтобы полный оборот (
) вмещал целое число многогранников, сошедшихся в ребре. Здесь p3 — третий параметр символа Шлефли {p1, p2, p3}, задающего разбиение 4-мерного пространства на многогранники {p1, p2}, означающий количество многогранников {p1, p2}, сошедшихся в ребре.1. Если окажется, что = то значит искривлять пространство не надо, всё и так сошлось красиво, т.е. это Евклидово пространство. Как видите, двойка напрашивается сократиться, поэтому в расчётах фигурирует не сам двугранный угол многогранника , а его половина = 
2. Если окажется, что т.е. двугранный угол маленький, то многогранник, вместе с его углами, нужно «раздуть», чтобы углы увеличились до нужных значений, значит нужно поместить его на трёхмерную сферу, т.е. это сферический случай.3. Если окажется, что > т.е. двугранный угол большой, то многогранник, вместе с его углами, нужно «сдуть», чтобы углы уменьшились до нужных значений, значит нужно поместить его в трёхмерное пространство Лобачевского, т.е. это гиперболический случай.Про то, что значит «раздуть» и «сдуть» многогранник (многоугольник) было рассказано в предыдущей статье, где мы видели, что сумма углов треугольника (многоугольника) увеличивается, когда помещаем его на сферу, треугольник как бы раздувается и, что сумма углов треугольника уменьшается, когда помещаем его в гиперболическое пространство, треугольник как бы сдувается. Там мы это видели в двумерии, всё аналогично происходит с углами в 3-мерных пространствах и в пространствах высших размерностей.Однако если углы правильных многоугольников мы знаем наизусть, то двугранные углы трёхмерных правильных многогранников уже запомнить наизусть сложнее, хотя, конечно, все эти углы известны. Мы увидим в следующей публикации, когда будем забираться в пятимерное пространство, что вывод формулы двугранного угла многогранника становится не тривиальной задачей и сама формула выходит на первый план. Можно было бы даже статью назвать: формула двугранного угла правильного, выпуклого многогранника в n-мерном Евклидовом пространстве. Но на самом деле эта формула является не только целью предлагаемых публикаций, но и средством, помогающим выявлять многогранники в пространствах высших размерностей. Т.е. все вопросы тут тесно связаны и интересны каждый из них по отдельности и все вместе взятые, поэтому выбрать лаконичное название для этих статей действительно проблематично.
Теперь остаётся только сделать выкладки для вычисления двугранного угла по параметрам символа Шлефли {p1, p2}, а сравнить полученные значения с и выписать ответ, в виде таблицы, и школьник сможет. Впрочем, вычислить двугранный угол по параметрам p1, p2 тоже оказывается не сложно. Вот в следующей размерности, там посложнее, там уже появляется изюминка :), но об этом в следующей публикации.
Вычисление двугранного угла у правильного многогранника {p1, p2}
Прошу прощения, в предыдущей статье забыл про вспомогательные углы сказать, которые нам понадобятся для расчётов. Это углы 
и 
. Кто внимательно читал предыдущую статью, тот заметил, что там на чертеже угол 
был обозначен, вычислен и получился 
. Там мы измеряли угол правильного многоугольника в вершине C. Теперь взяв эту вершину и две соседние с ней вершины получим равнобедренный треугольник, вот — это угол при основании этого треугольника, он теперь нам понадобится. Также для 3-хмерного многогранника нам понадобится угол 
— это угол при основании равнобедренного треугольника, у правильного многоугольника {p2}, лежащего в основании равнобедренной пирамиды. Пирамида получается отсечением у {p1, p2} одной, изучаемой вершины, по плоскости близлежащих вершин. Обратите внимание на простой, но важный факт, что поскольку в вершине пирамиды сходится p2 штук правильных p1-угольников, то в основании этой пирамиды получается правильный p2-угольник. Этим мы и пользуемся, для вычисления угла 
На рисунке рассмотрен пример с икосаэдром, тут 
, 
в общем случае для произвольного {p1, p2}, получим , . Пока что мы находимся в Евклидовом пространстве, поэтому сумма углов треугольника по прежнему равна 
.Теперь рассмотрим эту равнобедренную пирамидку поближе. Для вычисления двугранного угла достаточно рассмотреть не всю эту пирамиду, а только одно ребро и две грани, содержащие это ребро.
В общем случае для {p1, p2} рассмотрим ребро 
и найдём 
это и есть половина искомого нами угла, т.е. половина двугранного угла многогранника {p1, p2}. Дам пояснения о дополнительных построениях: 
и 
— высоты в соответствующих равнобедренных треугольниках. Плоскость равнобедренного треугольника 
— ортогональна ребру по построению, поэтому плоский угол 
этого треугольника равен по величине искомому двугранному углу правильного многогранника {p1, p2}. Не сложные расчёты записаны левее чертежа, внимательно прочитайте их пожалуйста. Если вы знаете определение синуса и косинуса, то трудностей не должно возникнуть. Итак: 
Можно, конечно, вычислить этот угол через фундаментальный тетраэдр (с вершинами в центре 3D-грани, центре 2D-грани, середине ребра и вершине многогранника), так классики и делают, но тогда переход по размерностям становится затруднительным, во всяком случае школьникам такое вряд ли удастся разъяснить. Поэтому предлагаемый в этой публикации подход, к вычислению двугранного угла, выбран сознательно. По меньшей мере, это ещё один способ, для вычисления этого угла. Кому-то понятнее один способ, кому-то другой.Вычисления и сравнения углов
Как и говорили, сравниваем угол с 
и записываем результаты сравнения в виде таблицы. Сравнения удобнее выполнять не для самих углов, а для синусов в квадрате этих углов, чтобы не загромождать записи арксинусами, ввиду того, что такая получилась формула для бетта.Суть сравнения в виде формулы: 
где X^3 — общее обозначение пространств постоянной кривизны, S^3 — трёхмерная сфера, E^3 — Евклидово трёхмерное пространство, Λ^3 — трёхмерное пространство Лобачевского.Результат сравнения в виде таблицы: 
Где: 
Ещё раз небольшие пояснения — сравниваются второй столбец, для 
и третья строка, для 
. Например:1. столбец {4,3} сравнивается со строкой p3=4, получаем 0.5 = 0.5 — значит {4,3,4} — разбивает Евклидово 3-мерное пространство, это привычные кубы, сходящиеся по 4 в ребре. :) Элементарно.2. Для столбца {3,3} и строки p3=3 имеем 0.53. Для столбца {5,3} и строки p3=6 имеем 0.723>0.25 — значит {5,3,6} — разбивает 3-мерное пространство Лобачевского на правильный, предельный многогранник. Предельный можно понять по тому, что у него вершинная фигура {p2, p3} = {3,6} — разбивает двумерное пространство Евклида, т.е. плоскость Евклида.В общем случае если {p1, p2, p3} — разбивает пространство Лобачевского, то дальше роль играет вершинная фигура: — если {p2, p3} — разбивает Евклида, то {p1, p2, p3} — предельный многогранник, — если {p2, p3} — разбивает сферу, то {p1, p2, p3} — имеет конечный объём и размеры, — если {p2, p3} — разбивает плоскость Лобачевского, то {p1, p2, p3} — имеет бесконечный объём. Это утверждение без доказательства, думаю, что оно верное и знаю почему, но строго и по простому доказать и показать не могу. Там включается орисфера, на поверхности которой Евклидова геометрия. А вершинная фигура, как раз отсекает орисферу для предельного многогранника.Подведение итогов
Итак, мы научились вычислять двугранный угол правильного многогранника по его символу Шлефли {p1, p2}, на всякий случай выпишу ещё раз: 
И нашли 6-ть разбиений трёхмерной сферы на правильные трёхмерные многогранники:{3,3,3} — тетраэдры, сошедшиеся по 3 в ребре,{4,3,3} — кубы, сошедшиеся по 3 в ребре,{3,3,4} — тетраэдры, сошедшиеся по 4 в ребре,{3,4,3} — октаэдры, сошедшиеся по 3 в ребре,{5,3,3} — додекаэдры, сошедшиеся по 3 в ребре,{3,3,5} — тетраэдры, сошедшиеся по 5 в ребре.А значит и 6-ть соответствующих правильных 4-мерных многогранника с теми же символами Шлефли. Правда посчитать в общем виде количество вершин, рёбер, граней и гиперграней этих многогранников не так просто, как кажется на первый взгляд. В частных случаях для 4-тетраэдра, 4-куба, 4-октаэдра (ортаэдра) это можно сделать по индукции, но для остальных многогранников этот трюк не срабатывает.К сожалению у меня нет своих картинок этих многогранников, поэтому отсылаю к википедии, там для четырёхмерия даны красивые картинки.Так же, как когда мы смотрим на тетрадь в клеточку (разбиение {4, 4}) то видим структуру, как бы сама плоскость Евклида имеет структуру {4, 4}, мы уже знаем, что есть ещё всего две структуры этой же плоскости {3, 6} и {6, 3}. Теперь мы узнали, что разбиение 3-мерного Евклидова пространства единственно {4, 3, 4} — на кубы, сходящиеся по 4 штуки в ребре. Мы представляем мысленно это разбиение и ощущаем структуру этого пространства. Теперь представим мысленно {5,3} — додекаэдры, приложим их между собой по плоским граням (пятиугольникам), в ребре сойдётся 3 таких додекаэдра и ещё останется зазор. Теперь мысленно равномерно раздуем эти додекаэдры до тех пор, пока зазор не исчезнет. Когда он исчезнет, то в ребре сойдутся ровно 3 додекаэдра. Теперь мысленно сложим по три додекаэдра в каждом ребре. Во всех рёбрах одновременно это представить уже сложнее, но нужно. Если взять 120 таких раздутых додекаэдров и приложить их все без зазоров между собой по граням, то получим замкнутое разбиение 3-мерной сферы. Так же можно воображать с другими 5-тью разбиениями 3-мерной сферы. Такие рассудительные эксперименты с многогранниками помогают мысленно понять структуру 3-мерной сферы и прикоснуться к 4-мерному пространству Евклида. Аналогично можно поразмышлять с гиперболическим 3-мерным пространством. Приведённые в публикации выкладки помогают понять в каком пространстве мы находимся, для заданного символа Шлефли, т.е. для заданного мысленного построения.В следующей публикации мы проделаем всё тоже самое только на одну размерность выше. Думаю, что дам там видео ролик поясняющий основную идею перехода (подъёма) по размерностям. Если кто-то ещё не понял, что происходит, то возможно этот ролик прольёт свет на все проделанные выкладки тут и в предыдущей статье.Если всё понятно, то переходите на следующий уровень по размерности.
