Парадокс узкополосного фильтра
Представьте, лазер испускает короткий импульс света, так называемый волновой пакет, ограниченный в пространстве. На каком-то расстоянии от лазера находится детектор излучения, который обнаруживает волновой пакет. Детектор — довольно чувствительный, он может обнаружить начало волнового пакета, даже пока максимум амплитуды пакета ещё не достиг детектора. Волновой пакет ограничен в пространстве, значит, спектр его имеет некоторую ширину. Чем короче пакет в пространстве, тем шире его спектр. Всё же детектор не может обнаружить пакет раньше, чем начало пакета его достигнет, однако может обнаружить пакет практически по его самому началу, еще до прохождения максимума амплитуды через детектор.
Теперь в нашем мысленном эксперименте мы на пути пакета между лазером и детектором поставим узкополосный фильтр, который вырежет из спектра пакета одну очень узкую спектральную линию. Понятно, что амплитуда пакета после фильтра будет меньше, так как наш фильтр будет пропускать только ту часть энергии пакета, которая попадает в полосу пропускания фильтра.
Однако, спектр пакета после прохождения фильтра будет более узким, это означает, что пакет окажется растянутым в пространстве. В пределе пакет после фильтра будет близок к гармонической волне, которая в пространстве не ограничена.
Правда, если ширина полосы пропускания фильтра будет бесконечно малой, то через фильтр сможет пройти только бесконечно малая энергия пакета, поэтому мы ограничимся достаточно малой, но не бесконечно малой шириной полосы пропускания фильтра. Наш волновой пакет в любом случае окажется растянутым в пространстве.
Мы видим, что начало отфильтрованного пакета может достичь детектора раньше, чем долетел бы исходный пакет в отсутствии фильтра. А мы помним, что наш детектор — очень чувствительный.
Это значит, что теоретически мы сможем обнаружить пакет раньше, чем свет от лазера дошёл бы до нашего детектора в отсутствии фильтра. Значит ли это, что, мы могли бы передавать информацию быстрее скорости света?
Конечно, нет. Интересный вывод можно сделать для разрешения этого парадокса: любой фильтр, совершенно независимо от его физической природы обязан вносить задержку в распространение сигнала. Причем минимальная возможная величина эта задержки должна быть порядка v/w, где w — ширина полосы пропускания фильтра, v — фазовая скорость распространения сигнала.
Действительно, попробуем рассмотреть варианты устройства оптического фильтра. Первое, что приходи на ум — резонатор с полупрозрачными зеркалами. Свет проходит, переотражаясь несколько раз, и в силу интерференционного сложения волна с определенной длиной имеет преимущество. В этом случае механизм задержки, вносимой фильтром можно представить себе как «лишний» путь, проделанный светом в процессе переотражения между зеркалами.
Если мы попробуем придумать какой-нибудь фильтр на молекулярном уровне, то он будет состоять их отдельных молекул, осцилляторов, которые будут поглощать и переизлучать свет. При этом задержка будет связана со временем взаимодействия света с молекулами. Тут работает принцип неопределённости: неопределённость энергии фотона, испускаемого возбуждённой молекулой обратно пропорциональна времени жизни молекулы в возбуждённом состоянии. Здесь мы опять сталкиваемся с тем, что чем будет тоньше спектральная линия, тем дольше молекулы будут жить в возбуждённом состоянии, пред тем, как переизлучить свет. Опять получаем ту же задержку.
Почему обязательно свет? Мы можем с таким же успехом говорить об электромагнитном излучении радио-диапазона. Тогда фильтр мы можем соорудить из простых радиодеталей. Пусть фильтр будет состоять из приемной антенны, колебательного контура, какого-нибудь усилительного каскада (хотя, можно и без него) и передающей, излучающей антенны. В этом случае, чем больше добротность колебательного контура (чем уже полоса фильтра), тем больше времени потребуется, чтобы этот колебательный контур раскачать, ведь колебательный контур будет запасать энергию.
Можно также придумать какой-нибудь гипотетический сверхбыстродействующий цифровой фильтр для радиосигнала. Какой-нибудь очень быстрый аналого-цифровой преобразователь на входе, весьма производительный процессор, и цифро-аналоговый преобразователь на выходе. При этом пусть процессор делает преобразование Фурье измеренного входного сигнала, вырезает из полученного спектра тонкую полосу и делает обратное преобразование Фурье. Даже, если все преобразования сигнала и вычисления будут производиться за ничтожно малое время, любому программисту понятно, что прежде чем делать преобразование Фурье для расчета спектра мы должны накопить некоторый буфер значений входного сигнала. И чем лучше мы хотим получить разрешение спектра, тем длиннее должен быть входной буфер по времени.
Почему обязательно свет? Такие же соображения относятся и к звуку, и к любому сигналу другой физической природы. И дело здесь вовсе не запрете передачи информации быстрее скорости света, а в причинно-следственной связи.
P.S.
Передача информации быстрее скорости света, наверно, все-таки возможна при использовании квантово-запутанных фотонов, разлетающихся в противоположных направлениях, но с моей точки зрения, это вовсе не передача информации в чистом виде. Просто один наблюдатель может наверняка узнать, что почувствовал другой, удаленный от него наблюдатель. Но при чем здесь передача информации?
