Определение G/T и других характеристик антенны с помощью излучения Солнца и неба (часть 1)06.05.2025 11:16

Введение

Для определения параметров параболических антенн можно использовать излучение внеземных источников радиоизлучения. Им может быть звезда, планета, Луна или Солнце. В этом ряду Солнце является самым мощным источником радиоизлучения пригодным для тестирования антенн с небольшой чувствительностью.

Наверное, самой подробной публикацией на эту тему является отчет NIST »10–60 GHz G/T measurements using the sun as a source — a preliminary study», , а также отчеты и статьи, на которые в нем ссылаются. Кроме того имеются многочисленные статьи (например, «Determination of Earth Station Antenna G/T Using the Sun or the Moon as an RF Source») и публикации радиолюбителей (например, «Determination of G/T»). Однако, приведенные в этих материалах формулы даются без их вывода, что не позволяет оценить в каком диапазоне параметров они применимы. В этой статье я хочу показать вывод основных используемых формул и продемонстрировать результаты расчетов на их основе. Для сравнения результатов воспользуемся указанными выше публикациями, на которые будем ссылаться как на отчет, статью и сайт.

Часть 1. Основные формулы

Постановка задачи

Схема антенной системы

Объектом измерений является антенна СВЧ диапазона с острой диаграммой направленности, содержащая МШУ и/или малошумящий преобразователь частоты (LNB). Активная часть антенны (т.е. МШУ, LNB и т.п.) описывается коэффициентом усиления GRXи шумовой температурой TRX. В целом такая антенна может быть сложной приемной радиосистемой, которую будем далее называть антенной системой (АС). Для простоты вычислений удобно разделить эту АС на антенну без потерь и остальной приёмный тракт, куда включаются и потери в самой антенне (см. схему слева).

Для определения G/T (шумовой добротности) АС будем использовать Y-метод. Данный метод широко применяется для измерения шумов активных электронных устройств (МШУ и т.п.). Тут задача аналогична. Есть две неизвестных:

GS — коэффициент усиления (КУ) радиотракта, который включает КУ активных устройств и все потери в тракте до разъема которым оканчивается АС;
TS — шумовая температура радиотракта пересчитанная к апертуре антенны.

При этом считаем, что КНД антенны (DA) может быть найден по ширине диаграммы направленности (ДН) антенны.

Y-метод

Чтобы найти TS необходимо провести два измерения, направляя АС на источники радиоизлучения с известными свойствами. В качестве холодного источника будет использовано радиоизлучение неба, а в качестве горячего источника — Солнце. Запишем связанные с этим выражения.

Мощность на выходе АС, направленной на горячий источник:

$P_H = \Delta f k_B ( T_H + T_S) G_S$

Здесь $\Delta f$ — полоса частот, в которой измеряется мощность, k_B — постоянная Больцмана. Следует отметить, что при наличии LNB измерения мощности происходят на промежуточной частоте fIF. Но поскольку вся радиосистема предполагается линейной, то это не влияет на вычисления. Необходимо только произвести пересчет частоты по известной функции преобразования частоты f(fIF).

Аналогично, запишем для холодного источника:

$P_C = \Delta f k_B (T_C+T_S)G_S$

Найдем Y-фактор:

$Y = \frac{P_H}{P_C}=\frac{T_H + T_S}{T_C + T_S}$

Тогда можно найти TS следующим образом:

$T_S = \frac{T_H-YT_C}{Y-1}$

Поскольку обычно TH >>TC, выражение может быть упрощено:

$T_S \approx \frac{T_H}{Y-1}$

Точечный горячий источник

Пусть ширина ДН антенны больше угловых размеров горячего источника. Для Солнца, угловой размер которого $\Delta \phi _S = 0,53 ^ \circ$ , ширина ДН антенны должна быть более 2о (это будет показано в следующем разделе) .

Пусть также нам известна спектральная плотность потока мощности источника W (Вт/м²/Гц) в месте установки антенны. Поскольку Солнце излучает неполяризованные электромагнитные волны, то для антенны с некой конкретной поляризацией в расчетах используется половина W.

Мощность, принятую антенной на ее раскрыве, можно записать как:

$P_{H0} = \Delta f k_B T_H$

Мощность, принятую идеальной изотропной антенной, найдем как:

$P_{Hi} = \Delta f \frac{W}{2} \frac{\lambda ^2}{4\pi}$

Тогда КУ антенны может быть найден как отношение этих мощностей (т.к. антенна не имеет потерь, то это фактически КНД антенны):

$D_A= \frac{P_{H0}}{P_{Hi}}= \frac{4\pi}{\lambda^2} \frac{2P_{H0}}{W \Delta f}= \frac{4\pi}{\lambda^2} \frac{2 \Delta f k_B T_H}{W \Delta f} = \frac{8\pi k_B T_H}{\lambda^2 W}$

В итоге для АС получаем следующее выражение G/T:

$\frac{G}{T}=\frac{D_A}{T_S}=\frac{Y-1}{T_H} \frac{8\pi k_B T_H}{\lambda^2 W}= \frac{8\pi k_B (Y-1)}{\lambda^2 W}$

Мы получили известную в радиоастрономии формулу для нахождения G/T. При выводе этой формулы были сделано два предположения: TH >>TC, горячий источник можно считать точечным.

Горячий источник конечных размеров — Солнце

Чтобы учесть конечные угловые размеры источника, в формуле для G/T вместо W должно стоять уточненное значение Wi с учетом формы ДН антенны. Можно формально записать следующее выражение:

$W_i = \int {I(\Omega)U(\Omega)d\Omega}$ , при этом $W = \int I(\Omega) d\Omega$

где I [Вт/м²/Гц/ср] — распределение интенсивности излучения по сфере, которую наблюдает антенна с нормированной ДН $U(\Omega)$ .

Пусть Солнце имеет равномерное распределение интенсивности излучения в телесном угле $\Omega _S = 2\pi (1-\cos(\Delta \phi _S /2)) = 4\pi\sin^2(\Delta \phi _S /4)$ (см. Стерадиан). Тогда $I = W/\Omega_S$ и можно записать интеграл в следующем виде:

$W_i = \frac{W}{\Omega _S} \int_0^{2\pi}\int_0^{\Delta\phi_S/2} U(\theta) \sin(\theta) d\theta d\phi = \frac{2\pi W}{\Omega _S} \int_0^{\Delta\phi_S/2} U(\theta) \sin(\theta) d\theta$

При этом предполагается, что ДН антенны симметричная в обеих плоскостях, т.е. не зависит от угла $\phi$ .

Удобно ввести поправочный коэффициент k_2 = W_i/W (цифра 2 использована для единообразия с обозначением в отчете NIST) и применить формулу для G/T с этим коэффициентом.

Для дальнейших вычислений необходимо аналитически описать форму ДН антенны. В данном случае будем пользоваться известной аппроксимацией ДН антенны функцией Гаусса следующего вида (см.Gaussian function) :

$U(\theta)=\exp \left(-4\ln(2)\frac{\theta ^2}{\Delta \theta ^2} \right)$

где $\Delta \theta$ — ширина ДН антенны по уровню 3 дБ.

КНД антенны с такой формой ДН может быть вычислен следующим образом:

$D_A=\frac{4\pi}{\int^{2\pi}_0 \int ^\pi _0 U(\theta) \sin(\theta)d\theta d\phi} = \frac{2}{\int ^\pi _0 U(\theta) \sin(\theta)d\theta}$

Поскольку для малых $\Delta \theta$ , функция $U(\theta)$ очень быстро уменьшается с ростом $\theta$ , то можно сделать замену $\sin(\theta) \approx \theta$ и воспользоваться известным интегралом (см. List of integrals of exponential functions) :

$\int x e^{-cx^2}dx = -\frac{1}{2c}e^{-cx^2}$

Тогда КНД можно записать в явном виде:

$D_A = \frac{16\ln(2)}{\Delta \theta ^2 \left( 1-exp \left( -\frac{4\ln(2)\pi^2}{\Delta \theta^2}\right) \right)} \approx \frac{16 \ln(2)}{\Delta \theta ^2} = \frac{36407}{\Delta \theta ^2 [градусы]}$

Для вычисления коэффициента k2 используем тот же подход, который применяли для нахождения КНД антенны (см. выражения под спойлером выше):

$k_2 = \frac{2\pi}{\Omega _S} \int_0^{\Delta\phi_S/2} U(\theta) \sin(\theta) d\theta =$ $= \frac{2\pi\Delta\theta^2}{8\ln(2)\Omega_S}\left( 1-\exp\left(-\frac{\Delta\phi^2_S}{\Delta\theta^2} \ln(2)\right)\right)$

Подставим в формулу упрощенное выражение для $\Omega_S$ :

$\Omega _S = 4\pi\sin^2(\Delta \phi _S /4) \approx \frac{\pi}{4}\Delta\phi_S^2$

И в итоге получаем следующее выражение:

$k_2= \frac{1-\exp\left(-\frac{\Delta\phi^2_S}{\Delta\theta^2} \ln(2)\right)}{\frac{\Delta\phi^2_S}{\Delta\theta^2} \ln(2)}$

Так же для коэффициента k известна следующая приближенная (?) формула (см. сайт):

$k_{2a} = \frac{1}{1+0.38\left(\frac{\Delta\phi_S}{\Delta\theta}\right)^2}$

Сравнение коэффициентов k2 и k2a

Для сравнения этих выражений построим графики этих величин для Солнца. Для удобства график построен в масштабе log-log. При $\Delta \theta > 2^\circ» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/3c7/173/175/3c717317545ee16f302a6c7ec31e0932.svg» /> коэффициент k2 уже практически равен 1. </div>В итоге получаем формулу для G/T в следующем виде: <img alt=$

В следующем разделе будет рассмотрено, как рассчитать W по известным экспериментальным данным.

P.S. Как будет найдено как получить формулу для k2a статья будет доработана