Обстоятельно о подсчёте единичных битов
Я хотел бы подарить сообществу Хабра статью, в которой стараюсь дать достаточно полное описание подходов к алгоритмам подсчёта единичных битов в переменных размером от 8 до 64 битов. Эти алгоритмы относятся к разделу так называемой «битовой магии» или «битовой алхимии», которая завораживает своей красотой и неочевидностью многих программистов. Я хочу показать, что в основах этой алхимии нет ничего сложного, и вы даже сможете разработать собственные методы подсчёта единичных битов, познакомившись с фундаментальными приёмами, составляющими подобные алгоритмы.
Прежде чем мы начнём, я сразу хочу предупредить, что это статья не для новичков в программировании. Мне необходимо, чтобы читатель в общих чертах представлял себе простейшие битовые операции (побитовое «и», «или», сдвиг), хорошо владел шестнадцатеричной системой счисления и достаточно уверенно пользовался воображением, представляя в нём не всегда короткие битовые последовательности. По возможности, всё будет сопровождаться картинками, но сами понимаете, они лишь упрощают, но не заменяют полное представление.
Все описанные приёмы были реализованы на языке Си и протестированы в двух режимах: 32 и 64 бита. Таким образом, для более полного понимания статьи будет лучше, чтобы вы хотя бы приблизительно понимали язык Си. Тестирование проходило на процессоре Core 2 Duo E8400 @3GHz на 64-х битовой Windows 7. Измерение чистого времени работы программ проводилось с помощью утилиты runexe. Все исходные коды описываемых алгоритмов доступны в архиве на Яндекс диске, их компиляция проверена для компиляторов Visual C++, Intel C++, GCC и CLang, так что в принципе, проблем у вас быть не должно, если кто-то захочет перепроверить результаты у себя. Пользователи Linux, думаю, лучше меня знают, как им тестировать время работы программы у себя в системе, поэтому им советов не даю.
Среди читателей, возможно, будут такие, кому проще посмотреть всё то же самое на видео. Я записал такое видео (58 минут), в котором в формате презентации изложено в точности всё то же самое, что будет ниже по тексту, но может немного в другом стиле, более сухо и строго, тогда как текст я попытался немного оживить. Поэтому изучайте материал так, как кому удобнее.
Сейчас будут последовательно описаны алгоритмы, порождаемые тем или иным набором алхимических приёмов, в каждом разделе будет таблица сравнения времени работы для переменных разного размера, а в конце будет сводная таблица по всем алгоритмам. Во всех алгоритмах используются псевдонимы для чисел без знака от 8 до 64 бит.
typedef unsigned char u8;
typedef unsigned short int u16;
typedef unsigned int u32;
typedef unsigned long long u64;
Наивный подход
Очевидно, что битовая алхимия применяется вовсе не для того, чтобы блистать на собеседовании, а с целью существенного ускорения программ. Ускорения по отношению к чему? По отношению к тривиальным приёмам, которые могут прийти в голову, когда нет времени более детально вникнуть в задачу. Таковым приёмом и является наивный подход к подсчёту битов: мы просто «откусываем» от числа один бит за другим и суммируем их, повторяя процедуру до тех пор, пока число не станет равным нулю.
u8 CountOnes0 (u8 n) {
u8 res = 0;
while (n) {
res += n&1;
n >>= 1;
}
return res;
}
Я не вижу смысла что-либо комментировать в этом тривиальном цикле. Невооружённым взглядом ясно, что если старший бит числа n равен 1, то цикл вынужден будет пройтись по всем битам числа, прежде чем доберётся до старшего.
Меняя тип входного параметра u8 на u16, u32 и u64 мы получим 4 различные функции. Давайте протестируем каждую из них на потоке из 232 чисел, подаваемых в хаотичном порядке. Понятно, что для u8 у нас 256 различных входных данных, но для единообразия мы всё равно прогоняем 232 случайных чисел для всех этих и всех последующих функций, причём всегда в одном и том же порядке (за подробностями можно обратиться к коду учебной программы из архива).
Время в таблице ниже указано в секундах. Для тестирования программа запускалась трижды и выбиралось среднее время. Погрешность едва ли превышает 0,1 секунды. Первый столбец отражает режим компилятора (32-х битовый исходный код или 64-х битовый), далее 4 столбца отвечают за 4 варианта входных данных.
| Режим | u8 | u16 | u32 | u64 |
|---|---|---|---|---|
| x86 | 38,18 | 72,00 | 130,49 | 384,76 |
| x64 | 37,72 | 71,51 | 131,47 | 227,46 |
Как мы видим, скорость работы вполне закономерно возрастает с ростом размера входного параметра. Немного выбивается из общей закономерности вариант, когда числа имеют размер 64 бита, а подсчёт идёт режиме x86. Ясное дело, что процессор вынужден делать четырёхкратную работу при удвоении входного параметра и даже хорошо, что он справляется всего лишь втрое медленнее.
Первая польза этого подхода в том, что при его реализации трудно ошибиться, поэтому написанная таким образом программа может стать эталонной для проверки более сложных алгоритмов (именно так и было сделано в моём случае). Вторая польза в универсальности и относительно простой переносимости на числа любого размера.
Трюк с «откусыванием» младших единичных битов
Этот алхимический приём основан на идее обнуления младшего единичного бита. Имея число n, мы можем произнести заклинание n=n&(n-1), забирая у числа n его младшую единичку. Картинка ниже для n=232 прояснит ситуацию для людей, впервые узнавших об этом трюке.
Код программы не сильно изменился.
u8 CountOnes1 (u8 n) {
u8 res = 0;
while (n) {
res ++;
n &= n-1; // Забираем младшую единичку.
}
return res;
}
Теперь цикл выполнится ровно столько раз, сколько единиц в числе n. Это не избавляет от худшего случая, когда все биты в числе единичные, но значительно сокращает среднее число итераций. Сильно ли данный подход облегчит страдания процессора? На самом деле не очень, а для 8 бит будет даже хуже. Напомню, что сводная таблица результатов будет в конце, а здесь в каждом разделе будет своя таблица.
| Режим | u8 | u16 | u32 | u64 |
|---|---|---|---|---|
| x86 | 44,73 | 55,88 | 72,02 | 300,78 |
| x64 | 40,96 | 69,16 | 79,13 | 126,72 |
Предподсчёт
Не будем торопиться переходить к «жёстким» заклинаниям, рассмотрим последний простой приём, который может спасти даже самого неопытного мага. Данный вариант решения задачи не относится напрямую к битовой алхимии, однако для полноты картины должен быть рассмотрен в обязательном порядке. Заведём две таблицы на 256 и 65536 значений, в которых заранее посчитаны ответы для всех возможных 1-байтовых и 2-байтовых величин соответственно.
u8 BitsSetTableFF[256]; // Здесь все ответы для одного байта
u8 BitsSetTableFFFF[65536]; // Здесь все ответы для двух байт
Теперь программа для 1 байта будет выглядеть так
u8 CountOnes2_FF (u8 n) {
return BitsSetTableFF[n];
}
Чтобы рассчитать число бит в более крупных по размеру числах, их нужно разбить на байты. Например, для u32 может быть вот такой код:
u8 CountOnes2_FF (u32 n) {
u8 *p = (u8*)&n;
n = BitsSetTableFF[p[0]]
+ BitsSetTableFF[p[1]]
+ BitsSetTableFF[p[2]]
+ BitsSetTableFF[p[3]];
return n;
}
Или такой, если мы применяем таблицу предподсчёта для 2-х байт:
u8 CountOnes2_FFFF (u32 n) {
u16 *p = (u16*)&n;
n = BitsSetTableFFFF[p[0]]
+ BitsSetTableFFFF[p[1]];
return n;
}
Ну, а дальше вы догадались, для каждого варианта размера входного параметра n (кроме 8 бит) может существовать два варианта предподсчёта, в зависимости от того, которую из двух таблиц мы применяем. Думаю, читателю понятно, почему мы не можем просто так взять и завести таблицу BitsSetTableFFFFFFFF, однако вполне могут существовать задачи, где и это будет оправданным.
Быстро ли работает предподсчёт? Всё сильно зависит от размера, смотрите таблицы ниже. Первая для однобайтового предподсчёта, а вторая для двухбайтового.
| Режим | u8 | u16 | u32 | u64 |
|---|---|---|---|---|
| x86 | 0,01 | 1,83 | 21,07 | 36,25 |
| x64 | 0,01 | 1,44 | 24,79 | 26,84 |
Интересный момент: для режима x64 предподсчёт для u64 работает заметно быстрее, возможно, это особенности оптимизации, хотя подобное не проявляется во втором случае.
| Режим | u8 | u16 | u32 | u64 |
|---|---|---|---|---|
| x86 | --- | 0,05 | 7,95 | 13,01 |
| x64 | --- | 0,07 | 8,49 | 13,01 |
Важное замечание: данный алгоритм с использованием предподсчёта оказывается выгодным только лишь при соблюдении следующих двух условий: (1) у вас есть лишняя память, (2) вам требуется выполнять расчёт числа единичных битов намного больше раз, чем размер самой таблицы, то есть имеется возможность «отыграть» время, потраченное на предварительное заполнение таблицы каким-то из нехитрых алгоритмов. Пожалуй, можно также иметь в виду экзотическое условие, которое на практике всегда выполнено. Вы должны гарантировать, что обращение к памяти само по себе быстрое и не замедляет работу других функций системы. Дело в том, что обращение к таблице может выбросить из кэша то, что там было изначально и замедлить таким образом какой-то другой участок кода. Косяк это вы вряд ли найдёте быстро, однако подобные чудовищные оптимизации едва ли кому-то понадобятся на практике при реализации обычных программ.
Умножение и остаток от деления
Возьмем же наконец более сильные зелья с нашей алхимической полки. С помощью умножения и остатка от деления на степень двойки без единицы можно делать довольно интересные вещи. Начнём творить заклинание с одного байта. Для удобства обозначим все биты одного байта латинскими буквами от «a» до «h». Наше число n примет вид:
Умножение n' = n⋅0×010101 (так, через префикс »0x», я обозначаю шестнадцатеричные числа) делает ни что иное как «тиражирование» одного байта в трёх экземплярах:
Теперь разобьём мысленно наши 24 бита на 8 блоков по 3 бита в каждом (см. нижеследующую картинку, первую строку таблички). Затем с помощью побитового «и» с маской 0×249249 (вторая строка таблички) обнулим в каждом блоке два старших бита.
Третья строка таблицы поясняет шестнадцатеричную запись маски. В последней строке показан результат, которого мы добивались: все биты исходного байта содержаться каждый в своём трёхбитовом блоке, но в ином порядке (порядок нам и не важен).
Теперь внимание: мы должны сложить эти 8 блоков — и получим сумму наших бит!
Оказывается, что остаток от деления некоторого числа A на 2k-1 как раз даёт сумму k-битовых блоков числа A, тоже взятую по модулю 2k-1.
Разобьём число A (в двоичной записи) на блоки по k бит в каждом (при необходимости можно дополнить самый последний, старший, блок нулями). Обозначим через Ai i-й блок. Теперь запишем значение числа A через сумму этих блоков, помноженных на соответствующую степень двойки:
A= A0⋅20⋅k+ A1⋅21⋅k+…+ AN-1⋅2(N-1)⋅k,
где N — число блоков.
Теперь рассчитаем A mod (2k-1).
A mod (2k-1)= (A0⋅20⋅k+ A1⋅21⋅k+…+ AN-1⋅2(N-1)⋅k) mod (2k-1) = (A0+ A1+…+ AN-1) mod (2k-1).
Всё благодаря тому, что 2i⋅k = 1 (mod (2k-1)) для любого целого неотрицательного i. (Здесь, правда, важно, что трюк имеет смысл, когда k>1, иначе не совсем понятно как нам интерпретировать модуль 1). Вот мы и получили сумму блоков по модулю 2k-1.
То есть от полученного нами числа нужно взять остаток от деления на 23–1 (семь) — и мы получаем сумму наших 8-и блоков по модулю 7. Беда в том, что сумма бит может быть равна 7 или 8, в таком случае алгоритм выдаст 0 и 1 соответственно. Но давайте посмотрим: в каком случае мы можем получить ответ 8? Только когда n=255. А в каком случае можем получить 0? Только когда n=0. Поэтому если алгоритм после взятия остатка на 7 даст 0, то либо мы на входе получили n=0, либо в числе ровно 7 единичных бит. Суммируя эту рассуждение, получаем следующий код:
u8 CountOnes3 (u8 n) {
if (n == 0) return 0; // Единственный случай, когда ответ 0.
if (n == 0xFF) return 8; // Единственный случай, когда ответ 8.
n = (0x010101*n & 0x249249) % 7; // Считаем число бит по модулю 7.
if (n == 0) return 7; // Гарантированно имеем 7 единичных битов.
return n; // Случай, когда в числе от 1 до 6 единичных битов.
}
В случае когда n имеет размер 16 бит можно разбить его на две части по 8 бит. Например, так:
u8 CountOnes3 (u16 n) {
return CountOnes3 (u8(n&0xFF)) + CountOnes3 (u8(n>>8));
Для случая 32-х и 64-х бит подобное разбиение не имеет смысла уже даже в теории, умножение и остаток от деления с тремя ветвлениями будут слишком дорого стоить, если выполнять их 4 или 8 раз подряд. Но я оставил для вас пустые места в нижеследующей таблице, поэтому если вы мне не верите — заполните их, пожалуйста, сами. Там скорее всего будут результаты, сравнимые с процедурой CountBits1, если у вас похожий процессор (я не говорю о том, что здесь возможны оптимизации с помощью SSE, это уже будет другой разговор).
| Режим | u8 | u16 | u32 | u64 |
|---|---|---|---|---|
| x86 | 12,42 | 30,57 | --- | --- |
| x64 | 13,88 | 33,88 | --- | --- |
Данный трюк, конечно, можно сделать и без ветвлений, но тогда нам нужно, чтобы при разбиении числа на блоки в блок вместились все числа от 0 до 8, а этого можно добиться лишь в случае 4-битовых блоков (и больше). Чтобы выполнить суммирование 4-битовых блоков, нужно подобрать множитель, который позволит правильно «растиражировать» число и взять остаток от деления на 24–1=15, чтобы сложить получившиеся блоки. Опытный алхимик (который знает математику) легко подберёт такой множитель: 0×08040201. Почему он выбран таким?
Дело в том, что нам необходимо, чтобы все биты исходного числа заняли правильные позиции в своих 4-битовых блоках (картинка выше), а коль скоро 8 и 4 не являются взаимно простыми числами, обычное копирование 8 битов 4 раза не даст правильного расположения нужных битов. Нам придётся добавить на нашему байту один нолик, то есть тиражировать 9 битов, так как 9 взаимно просто с 4. Так мы получим число, имеющее размер 36 бит, но в котором все биты исходного байта стоят на младших позициях 4-битовых блоков. Осталось только взять побитовое «и» с числом 0×111111111 (вторая строка на картинке выше), чтобы обнулить по три старших бита в каждом блоке. Затем блоки нужно сложить.
При таком подходе программа подсчёта единичных битов в байте будет предельно простой:
u8 CountOnes3_x64 (u8 n) {
return ((u64)0x08040201*n & 0x111111111) % 15;
}
Недостаток программы очевиден: требуется выход в 64-битовую арифметику со всеми вытекающими отсюда последствиями. Можно заметить, что в действительности данная программа задействует только 33 бита из 64-х (старшие 3 бита обнуляются), и в принципе можно сообразить, как перенести данные вычисления в 32-х битовую арифметику, но рассказы о подобных оптимизациях не входят в тему этого руководства. Давайте пока просто изучать приёмы, а оптимизировать их вам придётся самим уже под конкретную задачу.
Ответим на вопрос о том, какого размера может быть переменная n, чтобы данный трюк правильно работал для неё. Коль скоро мы берём остаток от деления на 15, такая переменная не может иметь размер больше 14 бит, в противном случае придётся применить ветвление, как мы делали это раньше. Но для 14 бит приём работает, если добавить к 14-ти битам один нолик, чтобы все биты встали на свои позиции. Теперь я буду считать, что вы в целом усвоили суть приёма и сможете сами без труда подобрать множитель для тиражирования и маску для обнуления ненужных битов. Покажу сразу готовый результат.
u8 CountOnes3_x64 (u14 n) { // Это не опечатка (и не должно работать)!
return (n*0x200040008001llu & 0x111111111111111llu) % 15;
}
Эта программа выше показывает, как мог бы выглядеть код, будь у вас переменная размером 14 бит без знака. Этот же код будет работать с переменной в 15 бит, но при условии, что максимум лишь 14 из них равные единице, либо если случай, когда n=0×7FFF мы разберём отдельно. Это всё нужно понимать для того, чтобы написать правильный код для переменной типа u16. Идея в том, чтобы сначала «откусить» младший бит, посчитать биты в оставшемся 15-ти битовом числе, а затем обратно прибавить «откушенный» бит.
static u8 CountOnes3_x64 (u16 n) {
u8 leastBit = n&1; // Берём младший бит.
n >>= 1; // Оставляем только 15 бит исходного числа.
if (n == 0) return leastBit; // Если получился 0, значит ответом будет младший бит.
if (n == 0x7FFF) return leastBit + 15; // Единственный случай, когда ответ 15+младший бит.
return leastBit + (n*0x200040008001llu & 0x111111111111111llu) % 15; // Ответ (максимум 14+младший бит).
}
Для n размером 32 бита приходится колдовать уже с более серьёзным лицом… Во-первых, ответ влезает только в 6 бит, но можно рассмотреть отдельный случай, когда n=232–1 и спокойно делать расчёты в полях размером 5 бит. Это экономит место и разрешает нам разбить 32-битовое поле числа n на 3 части по 12 бит в каждой (да, последнее поле будет не полным). Поскольку 12⋅5=60, мы можем тиражировать одно 12-битовое поле 5 раз, подобрав множитель, а затем сложить 5-битовые блоки, взяв остаток от деления на 31. Сделать это нужно 3 раза для каждого поля. Суммируя итог, получаем такой код:
static u8 CountOnes3_x64 ( u32 n ) {
if (n == 0) return 0;
if (n + 1 == 0) return 32;
u64 res = (n&0xFFF)*0x1001001001001llu & 0x84210842108421llu;
res += ((n&0xFFF000)>>12)*0x1001001001001llu & 0x84210842108421llu;
res += (n>>24)*0x1001001001001llu & 0x84210842108421llu;
res %= 0x1F;
if (res == 0) return 31;
return res;
}
Здесь точно также можно было вместо трех ветвлений взять 3 остатка от деления, но я выбрал ветвистый вариант, на моём процессоре он будет работать лучше.
Для n размером 64 бита мне не удалось придумать подходящего заклинания, в котором было бы не так много умножений и сложений. Получалось либо 6, либо 7, а это слишком много для такой задачи. Другой вариант — выход в 128-битовую арифметику, а это уже не пойми каким «откатом» для нас обернётся, неподготовленного мага может и к стенке отшвырнуть :)
Давайте лучше посмотрим на время работы.
| Режим | u8 | u16 | u32 | u64 |
|---|---|---|---|---|
| x86 | 39,78 | 60,48 | 146,78 | --- |
| x64 | 6,78 | 12,28 | 31,12 | --- |
Очевидным выводом из этой таблицы будет то, что 64-х битовая арифметика плохо воспринимается в 32-х битовом режиме исполнения, хотя в целом-то алгоритм неплох. Если вспомнить скорость алгоритма предподсчёта в режиме x64 для однобайтовой таблицы для случая u32 (24,79 с), то получим, что данный алгоритм отстаёт всего лишь на 25%, а это повод к соревнованию, воплощённому в следующем разделе.
Замена взятия остатка на умножение и сдвиг
Недостаток операции взятия остатка всем очевиден. Это деление, а деление — это долго. Разумеется, современные компиляторы знают алхимию и умеют заменять деление на умножение со сдвигом, а чтобы получить остаток, нужно вычесть из делимого частное, умноженное на делитель. Тем не менее, это всё равно долго! Оказывается, что в древних свитках заклинателей кода сохранился один интересный способ оптимизации предыдущего алгоритма. Мы можем суммировать k-битовые блоки не взятием остатка от деления, а ещё одним умножением на маску, с помощью которой обнуляли лишние биты в блоках. Вот как это выглядит для n размером в 1 байт.
Для начала снова тиражируем байт трижды и удаляем по два старших бита у каждого 3-битового блока с помощью уже пройденной выше формулы 0×010101⋅n & 0×249249.
Каждый трёхбитовый блок я для удобства обозначил заглавной латинской буквой. Теперь умножаем полученный результат на ту же самую маску 0×249249. Маска содержит единичный бит в каждой 3-й позиции, поэтому такое умножение эквивалентно сложению числа самого с собой 8 раз, каждый раз со сдвигом на 3 бита:
Что мы видим? Биты с 21 по 23 и дают нам нужную сумму! При этом переполнения в каком-либо из блоков справа невозможно, так как там ни в одном блоке не будет числа, большего 7. Проблема лишь в том, что если наша сумма равна 8, мы получим 0, но это не страшно, ведь этот единственный случай можно рассмотреть отдельно.
u8 CountOnes3_x64_m (u8 n) {
if (n == 0xFF) return 8;
return ((u64(0x010101*n & 0x249249) * 0x249249) >> 21) & 0x7;
}
По сути, мы взяли код из предыдущего раздела и заменили в нём взятие остатка от деления на 7 на умножение, сдвиг и побитовое «И» в конце. При этом вместо 3-х ветвлений осталось лишь одно.
Чтобы составить аналогичную программу для 16 бит, нам нужно взять код из предыдущего раздела, в котором показано как это делается с помощью взятия остатка от деления на 15 и заменить данную процедуру умножением. При этом нетрудно заметить то, какие условия можно убрать из кода.
u8 CountOnes3_x64_m (u16 n) {
u8 leastBit = n&1; // Берём младший бит
n >>= 1; // Оставляем только 15 бит.
return leastBit
+ (( (n*0x200040008001llu & 0x111111111111111llu)*0x111111111111111llu
>> 56) & 0xF); // Ответ (максимум 15 + младший бит).
}
Для 32-х бит мы делаем то же самое: берём код из предыдущего раздела и, порисовав немного на бумаге, соображаем, каким будет сдвиг, если заменить остаток на умножение.
u8 CountOnes3_x64_m ( u32 n ) {
if (n+1 == 0) return 32;
u64 res = (n&0xFFF)*0x1001001001001llu & 0x84210842108421llu;
res += ((n&0xFFF000)>>12)*0x1001001001001llu & 0x84210842108421llu;
res += (n>>24)*0x1001001001001llu & 0x84210842108421llu;
return (res*0x84210842108421llu >> 55) & 0x1F;
}
Для 64-х бит я тоже не смог придумать чего-то такого, чтобы не заставляло бы мой процессор выполнять роль печки.
| Режим | u8 | u16 | u32 | u64 |
|---|---|---|---|---|
| x86 | 12,66 | 42,37 | 99,90 | --- |
| x64 | 3,54 | 4,51 | 18,35 | --- |
Приятно удивили результаты для режима x64. Как и ожидалось, мы обогнали предподсчёт с однобайтовой таблицей для случая u32. Можно ли вообще обогнать предподсчёт? Хороший вопрос :)
Параллельное суммирование
Пожалуй, это самый распространённый трюк, который очень часто повторяют друг за другом не вполне опытные заклинатели, не понимая, как он точно работает.
Начнём с 1 байта. Байт состоит из 4-х полей по 2 бита, сначала просуммируем биты в этих полях, произнеся что-то вроде:
n = (n>>1)&0x55 + (n&0x55);
Вот пояснительная картинка к данной операции (по-прежнему, обозначаем биты одного байта первыми латинскими буквами):
Одно из побитовых «И» оставляет только младшие биты каждого двухбитового блока, второе оставляет старшие биты, но сдвигает их на позиции, соответствующие младшим битам. В результате суммирования получаем сумму смежных битов в каждом двухбитовом блоке (последняя строка на картинке выше).
Теперь сложим парами числа, находящиеся в двухбитовых полях, помещая результат в 2 четырёхбитовых поля:
n = (n>>2)&0x33 + (n&0x33);
Нижеследующая картинка поясняет результат. Привожу её теперь без лишних слов:
Наконец, сложим два числа в четырёхбитовых полях:
n = (n>>4)&0x0F + (n&0x0F);
Действуя по аналогии, можно распространить приём на любое число бит, равное степени двойки. Число строк заклинания равно двоичному логарифму от числа бит. Уловив идею, взгляните вскользь на 4 функции, записанных ниже, чтобы убедиться в правильности своего понимания.
u8 CountOnes4 (u8 n) {
n = ((n>>1) & 0x55) + (n & 0x55);
n = ((n>>2) & 0x33) + (n & 0x33);
n = ((n>>4) & 0x0F) + (n & 0x0F);
return n;
}
u8 CountOnes4 (u16 n) {
n = ((n>>1) & 0x5555) + (n & 0x5555);
n = ((n>>2) & 0x3333) + (n & 0x3333);
n = ((n>>4) & 0x0F0F) + (n & 0x0F0F);
n = ((n>>8) & 0x00FF) + (n & 0x00FF);
return n;
}
u8 CountOnes4 (u32 n) {
n = ((n>>1) & 0x55555555) + (n & 0x55555555);
n = ((n>>2) & 0x33333333) + (n & 0x33333333);
n = ((n>>4) & 0x0F0F0F0F) + (n & 0x0F0F0F0F);
n = ((n>>8) & 0x00FF00FF) + (n & 0x00FF00FF);
n = ((n>>16) & 0x0000FFFF) + (n & 0x0000FFFF);
return n;
}
u8 CountOnes4 (u64 n) {
n = ((n>>1) & 0x5555555555555555llu) + (n & 0x5555555555555555llu);
n = ((n>>2) & 0x3333333333333333llu) + (n & 0x3333333333333333llu);
n = ((n>>4) & 0x0F0F0F0F0F0F0F0Fllu) + (n & 0x0F0F0F0F0F0F0F0Fllu);
n = ((n>>8) & 0x00FF00FF00FF00FFllu) + (n & 0x00FF00FF00FF00FFllu);
n = ((n>>16) & 0x0000FFFF0000FFFFllu) + (n & 0x0000FFFF0000FFFFllu);
n = ((n>>32) & 0x00000000FFFFFFFFllu) + (n & 0x00000000FFFFFFFFllu);
return n;
}
На этом параллельное суммирование не заканчивается. Развить идею позволяет то наблюдение, что в каждой строчке дважды используется одна и та же битовая маска, что как будто наводит на мысль «а нельзя ли как-нибудь только один раз выполнить побитовое «И»?». Можно, но не сразу. Вот что можно сделать, если взять в качестве примера код для u32 (смотрите комментарии).
u8 CountOnes4 (u32 n) {
n = ((n>>1) & 0x55555555) + (n & 0x55555555); // Можно заменить на разность
n = ((n>>2) & 0x33333333) + (n & 0x33333333); // Нельзя исправить
n = ((n>>4) & 0x0F0F0F0F) + (n & 0x0F0F0F0F); // Можно вынести & за скобку
n = ((n>>8) & 0x00FF00FF) + (n & 0x00FF00FF); // Можно вынести & за скобку
n = ((n>>16) & 0x0000FFFF) + (n & 0x0000FFFF); // Можно вообще убрать &
return n; // Неявное обрезание по 8-и младшим битам.
}
В качестве упражнения я бы хотел предложить доказать самостоятельно то, почему нижеследующий код будет точным отображением предыдущего. Для первой строки я даю подсказку, но не смотрите в неё сразу:
Двухбитовый блок ab имеет точное значение 2a+b, значит вычитание сделает его равным…?
u8 CountOnes4_opt (u32 n) {
n -= (n>>1) & 0x55555555;
n = ((n>>2) & 0x33333333 ) + (n & 0x33333333);
n = ((n>>4) + n) & 0x0F0F0F0F;
n = ((n>>8) + n) & 0x00FF00FF;
n = ((n>>16) + n);
return n;
}
Аналогичные варианты оптимизации возможны и для остальных типов данных.
Ниже приводятся две таблицы: одна для обычного параллельного суммирования, а вторая для оптимизированного.
| Режим | u8 | u16 | u32 | u64 |
|---|---|---|---|---|
| x86 | 7,52 | 14,10 | 21,12 | 62,70 |
| x64 | 8,06 | 11,89 | 21,30 | 22,59 |
| Режим | u8 | u16 | u32 | u64 |
|---|---|---|---|---|
| x86 | 7,18 | 11,89 | 18,86 | 65,00 |
| x64 | 8,09 | 10,27 | 19,20 | 19,20 |
В целом мы видим, что оптимизированный алгоритм работает хорошо, но проигрывает обычному в режиме x86 для u64.
Комбинированный метод
Мы видим, что наилучшие варианты подсчёта единичных битов — это параллельный метод (с оптимизацией) и метод тиражирования с умножением для подсчёта суммы блоков. Мы можем объединить оба метода, получая комбинированный алгоритм.
Первое, что нужно сделать — выполнить первые три строки параллельного алгоритма. Это даст нам точную сумму битов в каждом байте числа. Например, для u32 выполним следующее:
n -= (n>>1) & 0x55555555;
n = ((n>>2) & 0x33333333) + (n & 0x33333333);
n = (((n>>4) + n) & 0x0F0F0F0F );
Теперь наше число n состоит из 4 байт, которые следует рассматривать как 4 числа, сумму которых мы ищем:
Мы можем найти сумму этих 4-х байт, если умножим число n на 0×01010101. Вы теперь хорошо понимаете, что означает такое умножение, для удобства определения позиции, в которой будет находиться ответ, привожу картинку:
Ответ находится в 3-байте (если считать их от 0). Таким образом, комбинированный приём для u32 будет выглядеть так:
u8 CountOnes5 ( u32 n ) {
n -= (n>>1) & 0x55555555;
n = ((n>>2) & 0x33333333 ) + (n & 0x33333333);
n = ((((n>>4) + n) & 0x0F0F0F0F) * 0x01010101) >> 24;
return n; // Здесь происходит неявное обрезание по 8 младшим битам.
}
Он же для u16:
static u8 CountOnes5 (u16 n) {
n -= (n>>1) & 0x5555;
n = ((n>>2) & 0x3333) + (n & 0x3333);
n = ((((n>>4) + n) & 0x0F0F) * 0x0101) >> 8;
return n; // Здесь происходит неявное обрезание по 8 младшим битам.
}
Он же для u64:
u8 CountOnes5 ( u64 n ) {
n -= (n>>1) & 0x5555555555555555llu;
n = ((n>>2) & 0x3333333333333333llu ) + (n & 0x3333333333333333llu);
n = ((((n>>4) + n) & 0x0F0F0F0F0F0F0F0Fllu)
* 0x0101010101010101) >> 56;
return n; // Здесь происходит неявное обрезание по 8 младшим битам.
}
Скорость работы этого метода вы можете посмотреть сразу в итоговой таблице.
Итоговое сравнение
Я предлагаю читателю самостоятельно сделать интересующие его выводы, изучив две нижеследующие таблицы. В них я обозначил название методов, программы к которым мы реализовали, а также пометил прямоугольной рамкой те подходы, которые я считаю наилучшими в каждом конкретном случае. Тех, кто думал, что предподсчёт всегда выигрывает, ожидает небольшой сюрприз для режима x64.
Итоговое сравнения для режима компиляции x86.
Итоговое сравнения для режима компиляции x64.
Замечание
Ни в коем случае не рассматривайте итоговую таблицу как доказательство в пользу того или иного подхода. Поверьте, что на вашем процессоре и с вашим компилятором некоторые числа в такой таблице будут совершенно иными. К сожалению, мы никогда не можем точно сказать, который из алгоритмов окажется лучше в том или ином случае. Под каждую задачу нужно затачивать конкретный метод, а универсального быстрого алгоритма, к сожалению, не существует.
Я изложил те идеи, о которых знаю сам, но это лишь идеи, конкретные реализации которых в разных комбинациях могут быть очень разными. Объединяя эти идеи разными способами, вы можете получать огромное количество разных алгоритмов подсчёта единичных битов, каждый из которых вполне может оказаться хорошим в каком-то своём случае.
Спасибо за внимание. До новых встреч!
UPD: Инструкция POPCNT из SSE4.2 не включена в список тестирования, потому что у меня нет процессора, который поддерживает SSE4.2.
