Обмен данными и дифференциальные уравнения15.05.2019 12:19

В одном из проектов, над которыми мне довелось работать, был реализован механизм обмена данными между удалёнными компонентами системы, работавший по следующему сценарию: компонент-источник А на своей стороне подготавливает данные, предназначенные для передачи; компонент-получатель Б периодически открывает сеанс связи и забирает все данные, которые накопил А на момент подключения. Данные, поступающие уже в во время сеанса связи, откладываются до следующего подключения.

В какой-то момент я понял, что передача данных в такой схеме описывается с помощью обыкновенного дифференциального уравнения. Описание модели и выводы, которые удалось получить с её помощью, под катом.
Обозначим $x(t)$ — объем данных в некоторых условных единицах, накопленных для обмена на стороне компонента А к моменту времени $t$ . Пусть пауза между завершением сеанса обмена и началом следующего равна $a_0>0$» /> единиц времени, а для передачи одной единицы данных требуется <img src= единиц данных требуется $a_0 + a_1x(t)$ единиц времени. Скорость передачи данных равна

$\frac{x(t)}{a_0+a_1x(t)}.\quad (1)$

Если скорость накопления данных на стороне А обозначить $f(t)$ , то $x(t)$ является решением дифференциального уравнения:

$\frac{dx}{dt}=-\frac{x}{a_0+a_1x}+f(t).\quad (2)$

Так как неограниченный рост объёма ещё непереданных данных является крайне нежелательной ситуацией, то важной задачей становится получение условий ограниченности решений этого уравнения.

Для простоты будем считать функцию $f(t)$ непрерывной. Пусть

$f(t)=\phi_0 + \phi(t),$

где

$\left|\int_0^t\phi(s)ds\right| \leq K_{\phi} < +\infty$

при всех $t\geq 0$ , а $$\phi_0>0$» /> — постоянная, играющая роль среднего значения. </p> <p>Рассмотрим несколько примеров. Пусть <img src=$ периодическая и её график имеет вид:

В этом случае $\phi_0=1/3$ , $\phi(t) = f(t) - \phi_0$ .
Численно проинтегрировав уравнение (1) для нескольких значений параметров $a_0, a_1$ и начальных значений $x(0)$ , получим следующие графики решений:

Из примеров видно: когда $$1/a_1 > \phi_0$» />, решения ограничены и при различных значениях <img src=$ система стремится к некоторому установившемуся режиму. Чем меньше длительность пауз между сеансами $a_0$ , тем эта сходимость быстрее. При $1/a_1 < \phi_0$ такой сходимости не наблюдается, а решения с течением времени растут. Уменьшение длительности пауз замедляет скорость роста, но тенденция к неограниченному возрастанию $x(t)$ всё равно сохраняется.

В общем случае можно показать, что если $$1/a_1 > \phi_0$» />, то решения уравнения (1) ограничены, а если <img src=$ — будут получаться неограниченные решения. То есть ограниченность решений определяется только соотношением скоростей накопления и извлечения данных. Длительность пауз между сеансами обмена $a_0$ , единственный параметр, которым можно легко управлять, принципиально не влияет на поведение системы. Хотя, как видно из соотношения (1) и примеров, с её увеличением скорость обмена уменьшается.

В итоге анализ модели позволяет сделать следующие выводы. Если скорость обмена оказывается недостаточной, и на стороне источника постоянно растёт объём данных для отправки, то пытаться исправить ситуацию уменьшением пауз между сеансами не имеет смысла. Помочь здесь может только увеличение производительности системы.

С другой стороны, в случае когда сервис обмена постоянно загружает компьютеры в ущерб другим задачам, верным решением будет рекомендовать увеличить в разумных пределах продолжительность пауз: это повлияет только актуальность данных, без риска переполнения источника неотправленными данными.

Подробные выкладки для условий ограниченности решений и некоторые другие вопросы, касающиеся рассмотренной модели, опубликованы в материалах школы-семинара «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» имени Е.В. Воскресенского. Посмотреть и скачать статью можно по этой ссылке.