О существовании периодических решений в системе Лоренца
Это третий мой топик на Хабре (часть 1 и часть 2), посвященный динамической системе Лоренца. Я продолжаю заниматься исследованием вопроса о существовании периодических решений (циклов) в этой системе. Удалось получить интересный результат при определенном соотношении ее параметров.Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Лоренца
где 
, r и b — некоторые положительные числа, параметры системы.
Докажем, что если 
, то в системе (1) нет периодических решений (исключая, конечно, положения равновесия).
Сделаем замену
где u (t) — некоторая функция от времени.
Продифференцируем (2), получим
В левую часть выражения (3) подставим правую часть третьего уравнения системы (1), а в правую часть (3) — правую часть первого уравнения системы (1), учитывая, что . Получим
Вместо z в (4) подставим выражение (2), откуда имеем уравнение
решением которого является функция
где 
— произвольная постоянная.
Теперь во второе уравнение системы (1) подставим вместо z выражение (2). При этом выразим y из первого уравнения системы (1). Получим
и
Подставив (5) и (6) в (7), имеем
Рассмотрим неавтономный случай, когда 
в уравнении (8). Предположим, что в этом случае уравнение (8) имеет периодическое решение с периодом T. Так как производная периодической функции с периодом T есть периодическая функция с периодом T, то левая часть уравнения (8) является периодической функцией с периодом T. Однако правая часть уравнения (8) непериодична, так как 
не является периодической функцией. Получили противоречие.
Таким образом, при уравнение (8) не имеет периодических решений.
Рассмотрим теперь случай, когда 
. Имеем автономное уравнение второго порядка
у которого по критерию Бендиксона [1, с. 142–143] нет периодических решений, что и доказывает их отсутствие в системе Лоренца при .
Заметим, что в этом случае параметр r может принимать любые значения. Тогда при достаточно больших его значениях в системе Лоренца также будут отсутствовать периодические решения, что кажется весьма неочевидным, поскольку параметр r пропорционален разности температур между нижним и верхним слоем жидкости при свободной конвекции. При увеличении градиента температуры в слое должны возникнуть в жидкости конвективные валы, а здесь жидкость со временем приходит в стационарное состояние (ламинарный режим). Это подтверждается и в численном эксперименте (наблюдались устойчивые фокусы при разных значениях r — рисунок (проекция дуги траектории на плоскость xOy) в начале топика). Скорее всего, это объясняется тем, что система Лоренца достаточно грубо описывает данный процесс, хотя при других соотношениях между и b (r принимает достаточно большое значение) в системе (1) наблюдается устойчивый предельный цикл [2, с. 291–294].
Несмотря на всю простоту, на мой взгляд, данный результат с точки зрения теории дифференциальных уравнений интересен тем, что нелинейная система третьего порядка допустила понижение порядка, что редко бывает, а теория дифференциальных уравнений на плоскости достаточно хорошо проработана.
Рассмотрим другой случай, когда 
. В известной мне литературе он исследуется в линейном приближении. Применим второй метод Ляпунова. Составим функцию Ляпунова
обладающую свойствами: 
для 
при 
и
для 
в силу правых частей уравнений системы (1). Тогда по теореме Барбашина-Красовского [3, с. 248–250] любое решение системы (1)
при 
Более общий случай описан в работе [4] (лемма 1.2), где доказывается отсутствие циклов в системе (1) (предельные режимы — положения равновесия) для
и 
Также отметим, что у системы (1) всегда есть частные решения вида
где 
— произвольная постоянная.
В данном топике был рассмотрен вопрос отсутствия у системы (1) периодических решений. Однако аналитические исследования динамики системы (1) на наличие циклов описаны в литературе, но источников не так много, поскольку многие изучают систему Лоренца численно. Далее приведен список литературы, где удалось найти строгое доказательство существования предельного цикла в системе (1) при больших значениях параметра r [2, 4–8]. В него входит рукопись [4] Виктора Иосифовича Юдовича (неизданная ранее в научных журналах), где подробно освещен этот вопрос.
Литература1. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М.: Едиториал УРСС, 2004.2. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. — М: ЛИБРОКОМ, 2009.3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.4. Юдович В.И. Асимптотика предельных циклов системы Лоренца при больших числах Рэлея // Рукопись деп. в ВИНИТИ, №2611–78. 1978.5. Robbins K.A. Periodic Solutions and Bifurcation Structure at High R in the Lorenz Model // SIAM Journal on Applied Mathematics, 36(3): 457–472, 1979.6. Shimizu T. Analytic Form of the Simplest Limit Cycle in the Lorenz Model // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 97(2): 383–398, 1979. DOI: 10.1016/0378–4371(79)90113–4.7. Покровский Л.А. Решение системы уравнений Лоренца в асимптотическом пределе большого числа Релея. I. Система Лоренца в простейшей квантовой модели лазера и приложение к ней метода усреднения // Теоретическая и математическая физика, 62(2): 272–290, 1985.8. Jibin Li, Jianming Zhang. New Treatment on Bifurcations of Periodic Solutions and Homoclinic Orbits at High r in the Lorenz Equations // SIAM Journal on Applied Mathematics, 53(4): 1059–1071, 1993.
