NumPy в Python. Часть 3
И снова здравствуйте! Продолжаем наш цикл статей по переводу мана о numpy. Приятного чтения.
Булево сравнение может быть использовано для поэлементного сравнения массивов одинаковых длин. Возвращаемое значение это массив булевых True/False значений:
>>> a = np.array([1, 3, 0], float)
>>> b = np.array([0, 3, 2], float)
>>> a > b
array([ True, False, False], dtype=bool)
>>> a == b
array([False, True, False], dtype=bool)
>>> a <= b
array([False, True, True], dtype=bool)
Результат сравнения может быть сохранен в массиве:
>>> c = a > b
>>> c
array([ True, False, False], dtype=bool)
Массивы могут быть сравнены с одиночным значением:
>>> a = np.array([1, 3, 0], float)
>>> a > 2
array([False, True, False], dtype=bool)
Операторы any и all могут быть использованы для определения истинны ли хотя бы один или все элементы соответственно:
>>> c = np.array([ True, False, False], bool)
>>> any(c)
True
>>> all(c)
False
Комбинированные булевы выражения могут быть применены к массивам по принципу элемент — элемент используя специальные функции logical_and, logical_or и logical_not:
>>> a = np.array([1, 3, 0], float)
>>> np.logical_and(a > 0, a < 3)
array([ True, False, False], dtype=bool)
>>> b = np.array([True, False, True], bool)
>>> np.logical_not(b)
array([False, True, False], dtype=bool)
>>> c = np.array([False, True, False], bool)
>>> np.logical_or(b, c)
array([ True, True, False], dtype=bool)
Функция where создает новый массив из двух других массивов одинаковых длин используя булев фильтр для выбора межу двумя элементами. Базовый синтаксис: where (boolarray,
truearray, falsearray):
>>> a = np.array([1, 3, 0], float)
>>> np.where(a != 0, 1 / a, a)
array([ 1. , 0.33333333, 0. ])
С функцией where так же может быть реализовано «массовое сравнение»:
>>> np.where(a > 0, 3, 2)
array([3, 3, 2])
Некоторые функции дают возможность тестировать значения в массиве. Функция nonzero возвращает кортеж индексов ненулевых значений. Количество элементов в кортеже равно количеству осей в массиве:
>>> a = np.array([[0, 1], [3, 0]], float)
>>> a.nonzero()
(array([0, 1]), array([1, 0]))
Также можно проверить значения на конечность и NaN (not a number):
>>> a = np.array([1, np.NaN, np.Inf], float)
>>> a
array([ 1., NaN, Inf])
>>> np.isnan(a)
array([False, True, False], dtype=bool)
>>> np.isfinite(a)
array([ True, False, False], dtype=bool)
Хотя здесь мы использовали константы numpy чтобы добавить значения NaN и бесконечность, они могут быть результатами применения стандартных математических операций.
Мы уже видели, как и у списков, элементы массива можно получить используя операцию доступа по индексу. Однако, в отличии от списков, массивы также позволяют делать выбор элементов используя другие массивы. Это значит, что мы можем использовать массив для фильтрации специфических подмножеств элементов других массивов.
Булевы массивы могут быть использованы как массивы для фильтрации:
>>> a = np.array([[6, 4], [5, 9]], float)
>>> a >= 6
array([[ True, False],
[False, True]], dtype=bool)
>>> a[a >= 6]
array([ 6., 9.])
Стоит заметить, что когда мы передаем булев массив a>=6 как индекс для операции доступа по индексу массива a, возвращаемый массив будет хранить только True значения. Также мы можем записать массив для фильтрации в переменную:
>>> a = np.array([[6, 4], [5, 9]], float)
>>> sel = (a >= 6)
>>> a[sel]
array([ 6., 9.])
Более замысловатая фильтрация может быть достигнута использованием булевых выражений:
>>> a[np.logical_and(a > 5, a < 9)]
>>> array([ 6.])
В придачу к булеву выбору, также можно использовать целочисленные массивы. В этом случае, целочисленный массив хранит индексы элементов, которые будут взяты из массива. Рассмотрим следующий одномерный пример:
>>> a = np.array([2, 4, 6, 8], float)
>>> b = np.array([0, 0, 1, 3, 2, 1], int)
>>> a[b]
array([ 2., 2., 4., 8., 6., 4.])
Иными словами, когда мы используем b для получения элементов из a, мы берем 0-й, 0-й, 1-й, 3-й, 2-й и 1-й элементы a в этом порядке. Списки также могут быть использованы как массивы для фильтрации:
>>> a = np.array([2, 4, 6, 8], float)
>>> a[[0, 0, 1, 3, 2, 1]]
array([ 2., 2., 4., 8., 6., 4.])
Для многомерных массивов, нам необходимо передать несколько одномерных целочисленных массивов в оператор доступа индексу (Прим. переводчика: в нашем случае индексы это массивы) для каждой оси. Потом каждый из массивов проходит такую последовательность: первый элемент соответствует индексу строки, который является первым элементом массива b, второй элемент соответствует индексу столбца, который является первым элементом массива c и так далее. (Прим. переводчика: первый массив [2, 2] и второй [1, 4], имеем на выходе элементы с индексами [2, 1] и [2, 4]) Пример:
>>> a = np.array([[1, 4], [9, 16]], float)
>>> b = np.array([0, 0, 1, 1, 0], int)
>>> c = np.array([0, 1, 1, 1, 1], int)
>>> a[b,c]
array([ 1., 4., 16., 16., 4.])
Специальная функция take доступна для выполнения выборки с целочисленными массивами. Это работает также как и использования оператора взятия по индексу:
>>> a = np.array([2, 4, 6, 8], float)
>>> b = np.array([0, 0, 1, 3, 2, 1], int)
>>> a.take(b)
array([ 2., 2., 4., 8., 6., 4.])
Функция take также предоставляет аргумент axis (ось) для взятия подсекции многомерного массива вдоль какой-либо оси. (Прим. переводчика: по строкам или столбцам (для двумерных массивов)).
>>> a = np.array([[0, 1], [2, 3]], float)
>>> b = np.array([0, 0, 1], int)
>>> a.take(b, axis=0)
array([[ 0., 1.],
[ 0., 1.],
[ 2., 3.]])
>>> a.take(b, axis=1)
array([[ 0., 0., 1.],
[ 2., 2., 3.]])
В противоположность к функции take есть функция put, которая будет брать значения из исходного массива и записывать их на специфические индексы в другом put-массиве.
>>> a = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5], float)
>>> b = np.array([9, 8, 7], float)
>>> a.put([0, 3], b)
>>> a
array([ 9., 1., 2., 8., 4., 5.])
Заметим, что значение 7 из исходного массива b не было использовано, так как только 2 индекса [0, 3] указаны. Исходный массив будет повторен если необходимо в случае не соответствия длин:
>>> a = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5], float)
>>> a.put([0, 3], 5)
>>> a
array([ 5., 1., 2., 5., 4., 5.])
NumPy обеспечивает много функций для работы с векторами и матрицами. Функция dot возвращает скалярное произведение векторов:
>>> a = np.array([1, 2, 3], float)
>>> b = np.array([0, 1, 1], float)
>>> np.dot(a, b)
5.0
Функция dot также может умножать матрицы:
>>> a = np.array([[0, 1], [2, 3]], float)
>>> b = np.array([2, 3], float)
>>> c = np.array([[1, 1], [4, 0]], float)
>>> a
array([[ 0., 1.],
[ 2., 3.]])
>>> np.dot(b, a)
array([ 6., 11.])
>>> np.dot(a, b)
array([ 3., 13.])
>>> np.dot(a, c)
array([[ 4., 0.],
[ 14., 2.]])
>>> np.dot(c, a)
array([[ 2., 4.],
[ 0., 4.]])
Также можно получить скалярное, тензорное и внешнее произведение матриц и векторов. Заметим, что для векторов внешнее и скалярное произведение совпадает.
>>> a = np.array([1, 4, 0], float)
>>> b = np.array([2, 2, 1], float)
>>> np.outer(a, b)
array([[ 2., 2., 1.],
[ 8., 8., 4.],
[ 0., 0., 0.]])
>>> np.inner(a, b)
10.0
>>> np.cross(a, b)
array([ 4., -1., -6.])
NumPy также предоставляет набор встроенных функций и методов для работы с линейной алгеброй. Это всё можно найти в под-модуле linalg. Этими модулями также можно оперировать с вырожденными и невырожденными матрицами. Определитель матрицы ищется таким образом:
>>> a = np.array([[4, 2, 0], [9, 3, 7], [1, 2, 1]], float)
>>> a
array([[ 4., 2., 0.],
[ 9., 3., 7.],
[ 1., 2., 1.]])
>>> np.linalg.det(a)
-53.999999999999993
Также можно найти собственный вектор и собственное значение матрицы:
>>> vals, vecs = np.linalg.eig(a)
>>> vals
array([ 9. , 2.44948974, -2.44948974])
>>> vecs
array([[-0.3538921 , -0.56786837, 0.27843404],
[-0.88473024, 0.44024287, -0.89787873],
[-0.30333608, 0.69549388, 0.34101066]])
Невырожденная матрица может быть найдена так:
>>> b = np.linalg.inv(a)
>>> b
array([[ 0.14814815, 0.07407407, -0.25925926],
[ 0.2037037 , -0.14814815, 0.51851852],
[-0.27777778, 0.11111111, 0.11111111]])
>>> np.dot(a, b)
array([[ 1.00000000e+00, 5.55111512e-17, 2.22044605e-16],
[ 0.00000000e+00, 1.00000000e+00, 5.55111512e-16],
[ 1.11022302e-16, 0.00000000e+00, 1.00000000e+00]])
Одиночное разложение (аналог диагонализации не квадратной матрицы) может быть достигнут так:
>>> a = np.array([[1, 3,4], [5, 2, 3]], float)
>>> U, s, Vh = np.linalg.svd(a)
>>> U
array([[-0.6113829 , -0.79133492],
[-0.79133492, 0.6113829 ]])
>>> s
array([ 7.46791327, 2.86884495])
>>> Vh
array([[-0.61169129, -0.45753324, -0.64536587],
[ 0.78971838, -0.40129005, -0.46401635],
[-0.046676 , -0.79349205, 0.60678804]])
Заканчиваем третью часть. Удачи и до скорого!
