Нелинейные дифференциальные уравнения, дискретность пространства-времени и эпсилон произведение07.03.2020 03:41

Всё содержание этой статьи является следствием решения задачи уровня первого года институтского курса математического анализа.

Здесь мы вводим новое произведение для решетчатых функций (мы будем называть его эпсилон-умножением), что дает нам возможность увидеть интересную связь между интегрально-дифференциальными уравнениями (в том числе и нелинейными) и рекуррентными соотношениями. Это позволяет с необычного ракурса взглянуть на некоторые методы их решения.

Но, что мне показалось особенно интересным, это то, что новое произведение также позволяет нам «порассуждать» о таких фундаментальных вещах, как непрерывность пространства-времени. Это рассуждение, конечно, нужно рассматривать, скорее, как интеллектуальное упражнение.

Мне показалось, что этот математический ребус или, если хотите, небольшое математическое путешествие на уровне знаний первого-второго курса технического ВУЗа может заинтересовать читателей Хабра, интересующихся математикой.

Замечание
вы не увидите никаких ссылок и, вообще, всё это результат размышлений отдельно взятого человека

возможно (и даже скорее всего), всё это и не ново, и, возможно, некоторые термины, которые я использую не соответствуют математической традиции, но так как это не научная публикация, здесь нет претензии на новизну и всё это довольно просто, то это терминологическое отличие, на мой взгляд, не является чем-то действительно важным

Краткое изложение

В этой статье речь будет идти о двух типах функций (определенных в области действительных чисел): аналитических и решетчатых.

Замечание 1
Точнее речь будет идти об аналитических справа от нуля функциях, которые мы будем обозначать заглавными буквами и о решетчатых функциях, определенных на множестве целых неотрицательных чисел (), для обозначения которых мы будем использовать строчные буквы . Множество таких решетчатых функций мы будем обозначать как $A^\epsilon$ . Точные определения этих функций будут приведены ниже в данной статье

Замечание 2
Иногда, в примерах мы будем расширять наш подход и на область комплексных чисел. Строго говоря, это должно быть обосновано. Но я опускаю это обоснование (как и доказательства некоторых других утверждений), чтобы не перегружать и так длинную статью

Мы установим взаимно однозначное соответствие между функциями из этих двух классов. Мы также введем новые операции для решетчатых функций. Эти операции будут аналогичны «обычным» операциям над «обычными» функциями. Мы будем отличать эти новые операции добавлением приставки «эпсилон». Так «обычной» производной будет соответствовать эпсилон-производная, обычному произведению — эпсилон-произведение, обычному интегрированию — эпсилон-интегрирование и т.д. При этом, если операция остается неизменной (как в случае суммирования и вычитание) название меняться не будет.

Одна из основных целей введения этих операций проста — сохранить свойства производной произведения функций:

$(F(x)G(x))' = F'(x)G(x) + F(x)G'(x)$

Что в случае решетчатых функций ( $\in A^\epsilon$ ) будет выглядеть как

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} (f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n) = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n + f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} g_n$

где $\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}$ — левый оператор эпсилон-производной
$\overset{\displaystyle\epsilon}{*}$ — эпсилон-умножение

Это позволит нам (по аналогии, например, с преобразованием Лапласа) ввести новое преобразование, которое мы будем называть эпсилон-преобразованием. Это даст нам возможность преобразовывать в общем случае нелинейные интегрально-дифференциальные уравнения в рекуррентные выражения и решать их (численно или аналитически), соответственно, рекуррентными методами.

Замечание
Также справедливо и обратное: мы получаем возможность решать рекуррентные соотношения методами интегрально-дифференциальных уравнений

Важным фактом при этом является то, что при стремлении шага решетчатой функции к нулю ( $\epsilon \to 0$ ), все наши эпсилон-функции, эпсилон-операции и рекуррентные уравнения стремятся к «обычным» функциям (аналитическим справа от нуля), обычным операциям между ними и обычным интегрально-дифференциальным уравнениям.

Но тогда, это наводит на фундаментальный вопрос:, а не является ли эпсилон-умножение «истинным» умножением в нашем физическом мире (по крайней мере там, где речь идет о пространстве или о времени)?

Так, например, говоря о времени, при достаточно малом шаге (например, порядка Планковского времени $t_p \sim 10^{-43}$ сек) эпсилон-уравнение Шредингера c $\epsilon\sim t_p$ для временных процессов с характерным временем $t \gg t_p$ (или в области частот с частотами $\omega \ll 1/\epsilon$ ) будет давать тот же результат, что и обычное уравнение Шредингера, но при этом, естественным образом вводится квантование времени.

В принципе, аналогичное рассуждение возможно и для пространства.

Обозначения, используемые в статье

— строчными буквами мы будем обозначать решетчатые функции, определенные на множестве $\{0,\epsilon,2\epsilon,\ldots\}$ , где $\epsilon \in R$ , $$\epsilon>0$» />. В зависимости от контекста <img src=$ (или подобное, например, $g_n,p_n$

) может быть или обозначением самой решетчатой функции или значением этой функции в точке $n\epsilon$

$A^\epsilon$ — множество всех функций $f_n$ определенных выше

$f$ — иногда, для обозначения функции $f_n$ для простоты будем писать просто $f$

$F(x), G(x), ..$ — заглавными буквами мы будем обозначать «обычные» функции. Все подобные функции в данной статье будут аналитическими справа от нуля функциями (определение будет дано ниже в статье)

$\epsilon$ — шаг решетчатой функции: $f_k = f(k\epsilon)$ . В зависимости от контекста $f_n$ может быть или обозначением самой решетчатой функции или значением этой функции в точке $n\epsilon$

$\nabla$ — левый оператор, обозначающий производную дифференцируемой функции: $\nabla F(x) = F ^{'}(x)$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}$ — левый оператор, обозначающий эпсилон-производную решетчатой функции: $\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}{f_n} = f_n^\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$

$\nabla_F$ — левый оператор, введенный для удобства записи некоторых выражений, и обозначающий производную дифференцируемой функции, применяемый только к функции $F(x) $ (или к производной функции $F(x)$ любого порядка) в произведении функций, например,

$\nabla_F(F(x)G(x)) = G(x)\nabla F(x) = G(x) F^{'}(x)$
$\nabla^2_F(F(x)G(x)) = G(x)\nabla^2 F(x) = G(x) F^{''}(x)$

$\overset{\wedge}{I}$ — единичный левый оператор для решетчатой функции: $\overset{\wedge}{I} f_n = f_n$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$ — эпсилон-производная решетчатой функции:

$f_k^\overset{\displaystyle\epsilon}{'} = (f_{k+1} - f_k)/\epsilon$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}_f$ — левый оператор, введенный для удобства записи некоторых выражений, и обозначающий эпсилон-производную решетчатой функции, применяемый только к решетчатой функции $f$ (или эпсилон-производной функции $f$ любого порядка) в произведении (обычном) решетчатых функций, например,

$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}_f{(f_n g_n)} = g_n\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}f_n$
$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla^2}_f{(f_n g_n)} = g_n\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla^2}f_n$

$\overset{\displaystyle\epsilon}{*}$ — эпсилон произведение

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\displaystyle i}}$ — $i$ -ая эпсилон-степень функции $f$ . Так, например, $f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{ 2}} = f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{f}$

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{\displaystyle (i)}}$ — $i$ -ая эпсилон-производная функции $f$ . Так, например, $f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{ (2)}} = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{'})\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$

$\overset{\epsilon}{\rightarrow}$ — эпсилон-преобразование (прямое)

Если $F(x) \overset{\epsilon}{\rightarrow} f_n$ , то $F(x)$ и $f_n$ являются эпсилон-сопряженными, при этом $f_n$ является эпсилон-образом $F(x)$ и $F(x) $ — эпсилон-прообразом $f_n$

$\overset{\epsilon}{\leftarrow}$ — обратное эпсилон-преобразование

Краткая логика статьи

Здесь изложена логическая структура статьи. Кому-то этого будет достаточно для понимания всей статьи и таким образом сохранит его время.

Мы будем рассматривать решетчатые функции , …, определенные на множестве $\{0,\epsilon,2\epsilon,\ldots\}$ , где $\epsilon \in R$ , $$\epsilon>0$» />. <blockquote>ЗамечаниеПри этом <img src=$ может быть любым положительным действительным числом. Поэтому иногда в примерах, в тех случаях, когда мы не используем стремление $\epsilon \to 0$ , мы принимаем для простоты $\epsilon = 1$
Назовем эпсилон дифференцированием следующий левый оператор:
$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}{f_n} = (f_{n+1} - f_n)/\epsilon$ , где $\epsilon$ — шаг решетчатой функции
Введем новое произведение, которое будем называть эпсилон-произведением и обозначать как $f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*} g_n$ .
Здесь три эквивалентные формулы для эпсилон-произведения:
$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=(\epsilon({{\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}}_{f}}+{{\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}}_{g}})+{\overset{\wedge}{I}})^k (f g)|_0$
$p_k = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j=0}^{k}C_{k}^{j}\sum_{i=0}^{j}C_{j}^{i}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(i)}}}|_0{g^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(j-i)}}}|_0$
$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j+i+l=k}C_k^{j,i}f_ig_j(-1)^{l}$
где $C_{k}^{j,i}$ — биномиальный коэффициент Ньютона: $C_{k}^{j,i}=\displaystyle\frac{k!}{j!i!l!}$ , ()
Его основные свойства:
Вводим эпсилон-ряд Тейлора. Он будет аналогичен обычному ряду Тейлора, но произведение, возведение в степень и производные должны быть заменены на эпсилон-произведение, эпсилон-степень и эпсилон-производные:
$f_k=f_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}{f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}}}_0+\ldots+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(k)}}}_0$
Введение эпсилон-ряда Тейлора позволяет нам ввести эпсилон-функции, аналогичные аналитическим функциям (например, эпсилон-тригонометрические функции). Для этого потребуем, чтобы эпсилон-производные в нуле (всех порядков) для этих эпсилон-функций равнялись производным в нуле (справа) для обычных функций. Для обозначения эпсилон-функции мы будем добавлять приставку $\epsilon$ . Так, например, для эпсилон-экспоненты получим:
$\epsilon exp(k\epsilon)=1+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!} +\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}+\ldots+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}$
Введем понятие эпсилон преобразования. Суть этого преобразования заключается в замене всех операций (производная, умножение, возведение в степень) на эпсилон-операции, а всех функций на эпсилон-функции. При данном преобразовании тождества будут сохраняться. Так, например, для эпсилон-тригонометрических функций все тождества будут аналогичны обычным тригонометрическим тождествам. Например,
$\epsilon cos^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}(k\epsilon) +\epsilon sin^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}(k\epsilon) = 1$
Если эпсилон преобразование обозначить через $\overset{\displaystyle\epsilon}{\rightarrow}$ , то этот факт можно записать, как
$\overset{\displaystyle\epsilon}{\rightarrow}$ $\epsilon cos^{\overset{\displaystyle \epsilon}{2}}(k\epsilon) +\epsilon sin^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}(k\epsilon) = 1$
Эпсилон-функцию мы также будем называть эпсилон-образом. Так эпсилон-косинус является эпсилон-образом косинуса. При этом сам косинус является эпсилон-прообразом для эпсилон-косинуса. При этом эти две функции (например, эпсилон-косинус и косинус) являются эпсилон-сопряженными.
Соответственно, обратное эпсилон-преобразование — это преобразование обратное (прямому) эпсилон-преобразованию. Будем обозначать его, как $\overset{\displaystyle\epsilon}{\leftarrow}$ .
Таким образом, через прямые и обратные эпсилон-преобразования мы устанавливаем соответствие между дифференциальными уравнениями (ДУ) (в том числе и нелинейными) и рекуррентными соотношениями (РС).
Теперь для решения нелинейных дифференциальных уравнений мы можем применить следующую схему:
ДУ $\overset{\displaystyle\epsilon}{\rightarrow}$ РС $\rightarrow$ (решение РС) $\overset{\displaystyle\epsilon}{\leftarrow}$ (решение ДУ)
То есть, мы делаем эпсилон-преобразование исходного ДУ, получаем РC, решаем его и делаем обратное эпсилон-преобразование, получая таким образом решение дифференциального уравнения. Важно понимать, что таким образом будут найдены лишь решения, являющиеся функциями, аналитическими справа от нуля. Это тот же подход, что применяется при решении, например, линейных дифференциальных уравнений с помощью преобразований Лапласа.
Аналогично, рекуррентные уравнения можно привести к дифференциальным и решать их соответствующими методами. В этом случае мы имеем следующую схему:
РC $\overset{\displaystyle\epsilon}{\leftarrow}$ ДУ $\rightarrow$ (решение ДУ) $\overset{\displaystyle\epsilon}{ \rightarrow}$ (решение РC)
Также легко можно ввести и дополнительные операции, и преобразования, например, эпсилон-интегрирование и эпсилон-преобразование Лапласа
В статье приводятся три примера
- решение линейного дифференциального уравнения гармонических колебаний
- решение нелинейного дифференциального уравнения (Бесселя)
- решение линейного рекуррентного уравнения (формула для чисел Фибоначчи)
При стремлении $\epsilon \rightarrow 0$ (шаг решетчатой функции) эпсилон-функции и эпсилон-операторы стремятся к своим прообразам. Так, например, при стремлении $\epsilon \rightarrow 0$ эпсилон произведение стремится к обычному произведению, эпсилон-производная — к обычной производной, … эпсилон-косинус — к обычному косинусу, эпсилон-синус к обычному синусу… Это значит, что обратное эпсилон-преобразование может быть выполнено обычным стремлением $\epsilon \rightarrow 0$ . Этот факт позволяет нам рассматривать дифференциально-интегральные уравнения (в том числе и нелинейные) с решениями аналитическими справа от нуля, как предельный случай рекуррентных уравнений с шагом $\epsilon \rightarrow 0$ .
Это наводит на мысль о том, а не является ли эпсилон-умножение «истинным» умножением (во всяком случае в некоторых случаях) в нашем физическом мире? Так, например, рассмотрим одномерное уравнение Шредингера:
$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) + U(x,t )\Psi(x,t)$
Это уравнение предполагает непрерывность пространства времени и возможность бесконечно малой величины $\Delta x$ и $\Delta t$ (что заложено в том факте, что мы используем дифференцирование), что в случае квантовой механики подразумевает бесконечную энергию, что невозможно.
Но давайте рассмотрим эпсилон-преобразование этого уравнения (заменив производные на эпсилон-производные, функции на решетчатые эпсилон-функции, произведение — на эпсилон-произведение, …). При достаточно малом $\epsilon$ мы получим решения очень близкие к тем, которые мы бы получили при решении изначального уравнения Шредингера. При этом естественным образом вводится дискретность пространства-времени, что устраняет проблему бесконечной энергии.
Это в свою очередь ставит вопрос о том, как можно проверить, а какое же умножение является «истинным» в нашем физическом мире, обычное или эпсилон-умножение? Возможно ли поставить мыслительный или физический эксперимент для ответа на этот вопрос?

Далее каждый из этих пунктов рассматривается более детально

Решетчатые функции и эпсилон-производная

Решетчатая функция и множество $A^\epsilon$

Решетчатые функции — это функции, определенные на дискретном множестве действительных чисел с постоянным шагом. Мы будем рассматривать только функции, определенные на множестве $\{0,\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,\ldots\}$ , где $\epsilon \in R$ , $$\epsilon>0$» />. Так, например, такой функцией будет <img src=$ , где $k$ — целое неотрицательное число. При этом $\epsilon = 0.1\pi$ . Будем обозначать множество таких функций через $A^\epsilon$ . Все решетчатые функции, которые мы будем рассматривать ниже будут принадлежать этому множеству $A^\epsilon$ .

Пример решетчатой функции $\in A^\epsilon$

Функция $cos(0.1k\pi)$ , где $k \in N_0$ :

Эпсилон-производная

Будем называть эпсилон-производной функции $f \in A^\epsilon$ в $k$ следующую величину:

$f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}_k = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}{f_k} = (f_{k+1} - f_k)/\epsilon$

Соответственно, функцию, значение которой в $k$ для любого $k$ равно эпсилон-производной функции $f_n $ в $k$ , мы будем называть эпсилон-производной функции $f_n$ и обозначать как $f_n\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$ (или просто $f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}$ ).

Очевидно, что функция $f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}\in$ $A^\epsilon$ и поэтому по отношению к ней можно еще раз применить эпсилон дифференцирование, и т.д. Мы будем обозначать символом $^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}$ $n$ -ю $\epsilon$ -производную функции. По индукции легко доказывается, что

$f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(n)}}_k=\displaystyle\frac{1}{\epsilon^n}\sum\limits_{j=0}^{n}C_{n}^{j}f_{k+j}(-1)^{n-j}$

Эпсилон-интегрирование

Процедуру, обратную эпсилон-дифференцированию, назовем соответственно эпсилон-интегрированием. Функцию $g_n\in A^\epsilon$ , значение которой в $k$ для любого $k$

$g_k=\epsilon\sum\limits^{k-1}_{i=0}f_i+C$

будем называть эпсилон-первообразной функции $f$ .

Эпсилон производная произведения

К сожалению, эпсилон-производная не обладает свойствами обычной производной. Так, например, очевидно, что в общем случае

$(f_n g_n)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}} = f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}g_n+g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}f_n +\epsilon f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}} g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}\neq f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}g_n+g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}f_n$

Часть $\epsilon f_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}} g_n^{\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}$ отличает эту «производную» от обычной производной произведения дифференцируемых функций. В случае решения численными методами нелинейных дифференциальных уравнений это дает дополнительную погрешность в вычислениях.

Замечание
Это дополнительное слагаемое приводит также, в частности, к тому, что мы не можем применить обычную формулу Тейлора для разложения решетчатой функции в ряд

Теперь давайте представим, что у нас не было бы этого дополнительного члена. Чтобы нам это могло дать?

По крайней мере, мы могли бы применять некоторые методы решения дифференциальных уравнений для решения рекуррентных уравнений (уравнений с функциями из множества $A^\epsilon$ ). Например, мы имели бы разложение в ряд Тейлора, мы смогли бы пользоваться интегрированием (эпсилон-интегрированием) по частям, применять преобразования (эпсилон-преобразование) Лапласа. Но в действительности все даже интереснее, и этому и посвящена данная статья.

Но как избавиться от этого дополнительного элемента? Мы можем создать, например, другое умножение (эпсилон-умножение).

Базовая задача

Это именно та задача, следствием решения которой и является вся эта статья.

Мы хотим найти такую формулу для эпсилон-произведения $p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k$ , чтобы удовлетворялись следующие требования:

выполнялись бы свойства обычного умножения, такие, как коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, существование единицы (единственной) и нулевого элемента (единственного)
для эпсилон-производной эпсилон-произведения решетчатых функций мы должны иметь ту же формулу, что и для производной произведения (обычных) дифференцируемых функций, то есть
$\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} (f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n) = \overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}g_n + f_n \overset{\displaystyle\epsilon}{*}\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla} g_n$
при стремлении $\epsilon \rightarrow 0$ (шаг решетчатой функции) эпсилон-произведение должно стремиться к обычному произведение , где и соответственно функции, к которым стремятся решетчатые функции и при $\epsilon \rightarrow 0$ , то есть:
$F(x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0, k\epsilon = x} f_k$
$G(x) = \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0, k\epsilon = x} g_k$

Эпсилон-умножение

Всем этим свойствам удовлетворяет функция $p_k$ , определяемая как (все три формулы эквивалентны):

$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=(\epsilon({{\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}}_{f}}+{{\overset{\displaystyle\epsilon}{\nabla}}_{g}})+{\overset{\wedge}{I}})^k (f g)|_0$

$p_k = (f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j=0}^{k}C_{k}^{j}\sum_{i=0}^{j}C_{j}^{i}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(i)}}}|_0{g^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(j-i)}}}|_0$

$p_k=(f\displaystyle\overset{\displaystyle\epsilon}{*}{g})_k=\sum_{j+i+l=k}C_k^{j,i}f_ig_j(-1)^{l}$ ,
где $C_{k}^{j,i}$ — биномиальный коэффициент Ньютона: $C_{k}^{j,i}=\displaystyle\frac{k!}{j!i!l!}$ , ( $l+j+i=k$ )

Замечание
Чтобы не перегружать статью мы не будем приводить доказательства, но первые два свойства доказываются легко, последнее — не так очевидно

Чтобы немного освоиться с новым произведением, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. (умножение на число)

Пример 2. (эпсилон степень)

Из определения эпсилон-произведения легко найти эпсилон-степень $f_k = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}$ , которая является эпсилон-аналогом (в следующей главе будет введено определение эпсилон-образа) функции $F(x) = x^i$

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}} = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}=i!C_k^i\epsilon^i$

Таким образом получаем, что эпсилон-аналог (далее будет введено понятие эпсилон-образа) функции $x^i=(k\epsilon)^i$ является функция $i!C_k^i\epsilon^i$

Так, например,

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}} = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}=k(k-1)\epsilon^2$

$x^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}} = (k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}=k(k-1)(k-2)\epsilon^3$

Очевидно, что $(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{i}}$ равна нулю для $i>k$» />Теперь формула для эпсилон-производных эпсилон-степени находится в полном соответствии с обычной производной обычной степени, так например, <img src=

Замечание
В последней формуле пропущено $\epsilon$ , что не является проблемой, т.к. $\epsilon$ может быть любым ( $$\epsilon >0$» />, <img src=$ ), в том числе и 1. Конечно, мы не должны забывать про $\epsilon$ , если исследуется зависимость от него, например, при $\epsilon \to 0$

Эпсилон-ряд Тейлора

Теперь мы имеем полный аналог разложения Тейлора:
$f_k=f_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{1}}}{1!}{f\overset{\displaystyle\epsilon}{'}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{2}}}{2!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(2)}}}_0+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{3}}}{3!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(3)}}}_0+\ldots+\displaystyle\frac{(k\epsilon)^{\overset{\displaystyle\epsilon}{k}}}{k!}{f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(k)}}}_0$

Будем называть этот ряд эпсилон-рядом Tейлора, а само разложение — эпсилон-разложением в ряд Tэйлора.

Эпсилон преобразование

Определение. (Эпсилон преобразование)

Пусть $$\exists x_0 >0$» /> такое, что на множестве <img src=$ ряд Tэйлора функции $F(x)$ в правой окрестности нуля сходится к самой функции. Тогда функцию $F(x)$ мы будем называть аналитической функцией в нуле справа. Тогда функции $F$ и $f\in A^\epsilon$ будем называть эпсилон-сопряженными, если для любого целого или нулевого $i$ $i$ -ая производная справа функции $F$ в нуле равняется $i$ -ой эпсилон-производной функции $f$ в нуле.
$F^{(i)}|_{+0}=f^{\overset{\displaystyle\epsilon}{(i)}}_0, \forall i \in N_0$

Функцию $f$ тогда будем называть эпсилон-образ $F$ или в случае, если эта функция имеет название (например, cos), то будем называть просто эпсилон-'название функции' (например, эпсилон-косинус) и обозначать как $\epsilon$ ''обозначение функции'' ( $\epsilon$ cos). Функцию $F$ будем называть эпсилон-прообраз функции $f$ .