Некоторые задачи школьной математики. Часть II02.03.2019 20:32

Часть I. Дроби
Часть II. Модули

В данной статье рассматривается метод оценок диапазона принимаемых значений и связь этого метода с задачами, содержащими модуль.

При решении некоторых задач необходимо рассматривать диапазон, в пределах которого может находиться искомая величина.

Рассмотрим метод оценок при решении неравенств.

Предположим, что цена за одну единицу товара может колебаться в пределах от 5 до 10 RUB. Дать оценку сверху означает определить максимальное значение, которое может принимать искомая величина. Для двух единиц товара, цена за который не превышает 10 оценка сверху составит 10+10=20.

Рассмотрим задачу из задачника профильной направленности М.И. Башмакова
37. Известны оценки для переменных $ x $ и $ y: 0<x<5, 2<y<3.$

Дайте оценки сверху для следующих выражений:
1. $ 2x+3y $
2. $ xy $

Указание к решению задач 5 и 6

Для оценки дробных выражений необходимо воспользоваться следующим свойством числовых неравенств:

Если и оба числа положительны, то
6.

8.
9.

Ответы

Вообще, анализ бесконечно малых величин использует критерий оценки. Понятие модуля как окрестности лежит в самом определении предела.

$\left|x_{n}-a\right|<\varepsilon$

Рассмотрим пример из «Курса дифференциального и интегрального исчисления» 363(6)

Легко установить расходимость ряда

$\sum \frac{ 1 }{\sqrt{n} } = 1+\frac{ 1 }{\sqrt{2}}+ \frac{ 1 }{\sqrt{3}} + ... + \frac{ 1 }{\sqrt{n}} + ...$

В самом деле, так как члены его убывают, то n-я частичная сумма
$$ 1+\frac{ 1 }{\sqrt{2}}+...+ \frac{ 1 }{\sqrt{n}}>n\cdot\frac{ 1 }{\sqrt{n}}= \sqrt{n} $» /> и растёт до бесконечности вместе с <img src=$ .
Для того, чтобы доказать, что $1+\frac{ 1 }{\sqrt{2}}+...+ \frac{ 1 }{\sqrt{n}}$ действительно больше $\sqrt{n}$ , нужно произвести оценку снизу данного выражения. Получим систему неравенств

$$ \left\{\!\begin{aligned} & \frac{ 1 }{\sqrt{n-1}} > \frac{ 1 }{\sqrt{n}} \\ & \frac{ 1 }{\sqrt{n-2}} > \frac{ 1 }{\sqrt{n}} \\ & \frac{ 1 }{\sqrt{n-3}} > \frac{ 1 }{\sqrt{n}} \\ & … \end{aligned}\right. $» /> Произведя сложение всех неравенств данной системы, получим <img src=$ -я частичная сумма гармонического ряда

$$ 1+\frac{ 1 }{2}+ \frac{ 1 }{3} + ... + \frac{ 1 }{n} > n\cdot\frac{ 1 }{n} =1 $» /> Вернёмся к задаче 38. Вычислить сумму («Задачи для детей от 5 до 15 лет») <img src=$

(с ошибкой не более 1% от ответа)

Оценка сверху суммы ряда $\frac{ n }{ n+1 }$ даёт число 1.

Отбросим первое слагаемое $\frac{ 1 }{ 1\cdot2 }$
```
(define series_sum_1
 ( lambda (n)
 (if (= n 0) 0 
 (+ (/ 1.0 (* (+ n 1.0 )(+ n 2.0))) (series_sum_1(- n 1.0)))
 ) ) )
(writeln (series_sum_1 10))
(writeln (series_sum_1 100))
(writeln (series_sum_1 1000))
(writeln (series_sum_1 10000))
(writeln (series_sum_1 100000))
(writeln (series_sum_1 1000000))
```
Получим $1 - \frac{ 1 }{ 1\cdot2 } = \frac{ 1 }{ 2}$
0.41666666666666663
0.49019607843137253
0.4990019960079833
0.4999000199960005
0.49999000019998724
0.4999990000019941

Проверить можно в ideone.com здесь
Этот же алгоритм на Python
```
def series_sum(n):
 if n==0:
 return 0
 else:
 return 1.0/((n+1.0)*(n+2.0))+series_sum(n-1.0)
 
print(series_sum(10))
print(series_sum(100))
```
Ссылка на ideone.com
Отбросим два первых слагаемых $\frac{ 1 }{ 1\cdot2 } + \frac{ 1 }{ 2\cdot3 }$
```
(define series_sum_1
 ( lambda (n)
 (if (= n 0) 0 
 (+ (/ 1.0 (* (+ n 2.0) (+ n 3.0))) (series_sum_1(- n 1.0)))
 ) ) )
(series_sum_1 1000000)
```
Получим 0.33333233333632745

Положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд — сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной (а ряд — расходящимся) в противном случае.

Подсчитаем сумму гармонического ряда при увеличении
```
#lang racket
(define series_sum_1
 ( lambda (n)
 (if (= n 0) 0 
 (+ (/ 1.0 n) (series_sum_1(- n 1.0)))
 ) ) )
(series_sum_1 10)
(series_sum_1 100)
(series_sum_1 1000)
(series_sum_1 10000)
(series_sum_1 100000)
(series_sum_1 1000000)
```
Получим:

2.9289682539682538
5.187377517639621
7.485470860550343
9.787606036044348
12.090146129863335
14.392726722864989

Если отбросить много (но не бесконечно много) начальных слагаемых, то сумма ряда также будет увеличиваться (и стремиться к $\infty$ ) при увеличении .
Частичные суммы нарастают безгранично — ряд расходится.

Решите задачу («Начала теории множеств»):

Бизнесмен заключил с чёртом сделку: каждый день он даёт чёрту одну монету, и в обмен получает любой набор монет по своему выбору, но все эти монеты меньшего достоинства (видов монет конечное число). Менять (или получать) деньги в другом месте бизнесмен не может. Когда монет больше не останется, бизнесмен проигрывает.
Докажите, что рано или поздно чёрт выиграет, каков бы ни был начальный набор монет у бизнесмена.

Вернёмся к модулям.
В интегральном исчислении модуль используется в формуле

$\int \frac{1}{x} dx = \int \frac{dx}{x} = ln \left| x \right| + C$

На Хабре была статья Самый натуральный логарифм, в которой рассматривается этот интеграл и на основе его вычисление числа . Напишите, пожалуйста, в комментах как вообще работает эта программа и зачем нужен пустой дефайн вроде » #define o »

Присутствие модуля в формуле $\int \frac{dx}{x} = ln \left| x \right| + C$ обосновывается далее в «Курсе дифференциального и интегрального исчисления»

Если… , то дифференцированием легко убедиться в том, что $\left[ ln (-x) \right]' = \frac{1}{x}$

Физическое приложение интеграла $\int \frac{dx}{x}$

Этот интеграл используется для вычисления разности потенциалов обкладок цилиндрического конденсатора.

«Электричество и магнетизм»:

Разность потенциалов между обкладками находим путем интегрирования:

$\varphi_{1}- \varphi_{2} = \int\limits_{R_{1}}^{R_{2}} E(r) dr = \frac{q}{2 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon l} \int\limits_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{dr}{r} = \frac{q}{2 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon l} ln \frac{R_{2}}{R_{1}}$

( $R_{1}$ и $R_{2}$ — радиусы внутренней и внешней обкладок).
Здесь не используется знак модуля под знаком натурального логарифма $ln \left| \frac{R_{2}}{R_{1}} \right|$ , потому что $R_{1}$ и $R_{2}$ строго положительны и такая форма записи является избыточной.

«Модульное» рисование

С помощью модулей можно рисовать различные фигуры.

Если в программе geogebra написать формулу получим

Можно рисовать более сложные фигуры. Нарисуем, например, «бабочку» в облаке WolframAlpha

$\sum \frac{ \left| x \right| }{n-\left| x \right| }+ \frac{ \left| x+n \right| }{n} + \frac{ \left| x-n \right| }{n}$

ссылка на рисунок

Книги:

«Задачник профильной направленности» М.И. Башмаков
«Начала теории множеств» Н.К. Верещагин, А. Шень
Курс общей физики: в 3-х т. Т. 2. «Электричество и магнетизм» И.В. Савельев

© Habrahabr.ru