Метрическая триангуляция (теория)03.10.2024 12:30

В геометрии для описания параметров геометрических фигур в обычной Евклидовой геометрии используются такие параметры, как длина и угол. Но как только мы переходим из плоскости нашей Евклидовой геометрии в другие модели описания точек в пространстве, то замечаем, что для описания параметр длины описывается через понятия метрики или нормы. И именно метрические параметры дают нам более общие связи, хотя для их описания применяются более сложные модели.

В геодезии очень важной моделью определения местоположения в пространстве является метод триангуляции, который использует как метрические параметры, так и угловые параметры. Но можем ли мы описать положение точки с помощью только метрических параметров?

Начнем с описание задачи:

Есть у нас метрические параметры треугольника (стороны) a, b, c. Есть у нас расстояния от точки до вершин f, e, g. Опишите связь между метрическими координатами точек между собой

Рисунок условия

Предварительный анализ

Рассмотрим задачу с точки зрения Геометрических Мест Точек (ГМТ). В классической задаче геометрии про пересечении двух окружностей можем точно сказать, что ГМТ находящихся на расстоянии f и g от точек A и B — это точки пересечения окружностей (A, f) и (B, g), а это всего 2 точки, симметричные относительно соединяющей центры прямой. Ещё одна метрическая координата задает в случае треугольника положение точки однозначно. Но это также говорит о том, что существует формула, связывающая все 3 метрические координаты.

рисунок ГМТ точекс с метрическими координатами f,g,h

рисунок ГМТ точекс с метрическими координатами f, g, h

Теперь стоит выбрать стратегию решения. Варианты такие:

Через формулу Герона и сумму площадей
Через теорему Ван-Обеля и теорему Стюарта
Через косинуса суммы углов и теоремы косинусов
через задачу о пересечении окружностей

Описание решения будет по 3-му пункту. По остальным пунктам готов поделиться описанием в комментариях.

Вспомогательная лемма

$\text{Формула косинуса суммы углов:}\\ cos^2(\alpha) +cos^2(\beta) + cos^2(\gamma) - 2cos(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma) = 1$

Начнем решение с известной нам формулы:

$cos(\gamma) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

Перенесем косинусы на левую часть, а синусы на правую. Преобразуем синусы:

$sin(\alpha)sin(\beta) = \sqrt{(1 - cos^2(\alpha))(1 - cos^2(\beta))}$

или:

$\sqrt{1 - cos^2(\alpha) - cos^2(\beta) + cos^2(\alpha)cos^2(\beta)}$

Как видим здесь есть радикал. Значит придется обе части возводить в квадрат. Посмотрим что происходит с косинусами:

$(cos(\alpha)cos(\beta) - cos(\gamma))^2 = cos^2(\alpha)cos^2(\beta) + cos^2(\gamma) - 2cos(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma)$

Приравнивая обе части мы получаем формулу выше.

P.S.: Нам важно в этой формуле то, что исходная формула косинуса суммы углов работает и в этой формуле, не смотря на то, что и другое соотношение работает в этой формуле

Основная задача

Теперь применим теорему косинусов. Для упрощения восприятие формул квадраты длин заменим на заглавные буквы (в дальнейшем убедимся, что строчных букв не останется):

$\frac{(H + F - B)^2}{4FH} + \frac{(G + H - A)^2}{4GH} + \frac{(F + G - C)^2}{4FG} -\\ -\frac{(G + H - A)(H + F - B)(F + G - C)}{4FGH} = 1$

Теперь приводим к общему знаменателю:

$G(H + F -B)^2 + F(G + H - A)^2 + H(F +G - C)^2 = \\ =(G + H - A)(H + F - B)(F + G - C) + 4FGH$

И раскрываем скобки и группируем:

$[(G + F)H^2 + (G + H)F^2 + (F + H) G^2+ 6GFH] + [GB^2 + FA^2 + HC^2] - \\ - 2AF(G + H) - 2BG(H + F) - 2CH(F+G) = \\ = [(F + G)H^2 + (G +H)F^2 + (H + F)G^2 + 2FGH] - A(H + F)(F + G) -\\- B(G +H)(F +G) - C(G +H)(H + F) + AB(F + G) + AC(H + F) + \\+ BC(G + H) - ABC + 4 FGH$

Как видим одночлены 3-ей степени сокращаются и остается многочлен 3-ей степени (если A, B и C — константы). Теперь надо представить многочлен в каноническом виде:

$[AF^2 + (A^2 - AB - AC)F] + [BG^2 + (B^2 - AB - BC)G] + \\ + [CH^2 + (C^2 - AC - BC)H] + (A - C - B)HG + (C - A - B)FG +\\+ (B - A - C)HF + ABC = 0$

Теперь для упрощения попробуем заменить константы:

$X = B + C - A \\ Y = A + C - B \\ Z = A + B - C$

И обратная замена:

$A = \frac{Y + Z}{2} \\ B = \frac{Z + X}{2} \\ C = \frac{X + Y}{2}$

Теперь можем посмотреть что получится (умножив обе части на 8):

$[4(Y + Z)F^2 - 4X(Y + Z)F] + [4(Z + X)G^2 - 4Y(Z + X)G] + \\ + [4(X + Y)H^2 - 4Z(X+ Y)H] - 8XHG -8ZFG - 8YFH +\\ + (X+Y)(Y + Z)(Z + X) = 0$

Теперь раскроем скобки и сгруппируем для того, чтобы получить сумму квадратов:

$4Y(F - H)^2 + 4X(H - G)^2 + 4Z(G - F)^2 - \\ - 4X(Y + Z)F - 4Y(Z + X)G - 4Z(X + Y)H - \\ -3(Y + Z) X^2 - 3(Z + X)Y^2 - 3(X+Y)Z^2 + 2XYZ = 0$

Или преобразуем так:

$4Y(F - H)^2 + 4X(H - G)^2 + 4Z(G - F)^2 + 6XYZ =\\ = 4X(Y + Z)F + 4Y(Z + X)G + 4Z(X + Y)H + 3(X+Y)(Y + Z)(Z + X)$

И пока это наиболее красивый вариант в представлении зависимости. Возможно можно ещё больше упростить, если подобрать такую формулу для зависимости косинусов углов треугольника.

P.S. Эта формула работает и для точек снаружи треугольника. Почему? Рисунок объяснит визуально, а с формулой попробуйте разобраться):

рисунок для двух одинаково соответствующего выражению выше