Мелодия и золотое сечение
В мелодии, которая звучит в ролике, реализована простая идея: длительность каждой ноты в паре с длительностью соседней ноты, прошедшей или будущей, образуют пропорцию золотого сечения.
Золотое сечение это соотношение двух величин, равное 1,61803398875… или коротко 1,618. Все значения, которые будут приведены в статье, округлены до трёх знаков после запятой. Золотое сечение обозначается буквой Ф.
Мелодия состоит из нот гармонической последовательности C-Em-F-CG. Первый такт это До мажор. Второй такт это Ми минор, за исключением ноты Ля. Третий такт это Фа мажор. И четвёртый такт это соединение двух аккордов До мажор и Соль мажор.
Мелодия цикличная, разрешается в первую ноту, поэтому её можно изобразить в виде окружности, где двадцать четыре дуги это длительности нот:
Заглавные буквы это ноты: C — До, D — Ре, E — Ми, F — Фа, G — Соль, A — Ля, H — Си. Мелодия располагается на двух октавах. Ноты нижней октавы обозначены буквами с точкой.
Длительность первой ноты мелодии находится в нижнем левом углу квадрата. Начало первой ноты и начало цикла выделено буквой С (нота До). Сама мелодия записана в тональности До мажор. Мелодия читается слева направо, против часовой стрелки. О квадрате, который изображён на рисунке, я расскажу позже, в конце статьи. Будет кое-что интересное.
Обозначения длительностей представлены на следующей картинке:
Здесь мелодия изображена как пиано ролл c изображением клавиш и длительностей напротив нот, которые последовательно звучат в мелодии:
Итак, длительности нот:
a = 1 секунда
b = a/Ф (0,618)
c = b/Ф (0,382)
Таких нот в мелодии 8, 12 и 4. Длительность мелодии равна 8a+12b+4c или 16,944 секунды.
Если это значение разделить на 4, то получим длительность такта 4,236. Это золотое сечение в третьей степени. Длительности любых шести нот мелодии, звучащих друг за другом, в сумме равны Ф в кубе.
Мелодия, как я уже упомянул, цикличная, разрешается в первую ноту. Первая и последняя ноты цикла соединяются в пропорции золотого сечения. Длительность мелодии плюс первая нота в сумме равны 17,944. Это золотое сечение в шестой степени.
Степени золотого сечения
Первые 2 ноты это Ф. Первые 3 ноты — Ф в квадрате. Первые 6 нот — Ф в кубе. Первые 9 нот — Ф в 4-й степени. Первые 15 нот — Ф в 5-й степени. Первые 25 нот (с учетом цикличности) — Ф в 6-й степени. Первые 41 нота (с учетом цикличности) — Ф в 7-й степени.
Возводить в степень можно и в обратном направлении. Первая и последняя ноты это Ф. Первая и последние 3 ноты — Ф в квадрате. Первая и последние 5 нот — Ф в кубе. Первая и последние 9 нот — Ф в 4-й степени. Первая и последние 15 нот — Ф в 5-й степени. Первая и последние 24 ноты — Ф в 6-й степени. Первая и последние 40 нот — Ф в 7-й степени.
19 циклов ≈ Ф12. 341 цикл ≈ Ф18. 6119 циклов ≈ Ф24. И т.д.
Золотые сечения
Цепочки из длительностей нот образуют между собой более тридцати различных комбинаций золотых сечений:
a/b=Ф
b/c=Ф
(a+b)/a=Ф
(b+c)/b=Ф
(2b+c)/a=Ф
(2a+b)/(2b+c)=Ф
(2a+2b)/(a+b+c)=Ф
(2a+2b+c)/(a+2b)=Ф
(2a+3b+c)/(2a+b)=Ф
(3a+3b+c)/(a+3b+c)=Ф
(3a+4b+c)/(2a+2b+c)=Ф
(4a+4b+c)/(2a+3b+c)=Ф
(4a+5b+c)/(2a+3b+2c)=Ф
(4a+5b+2c)/(2a+4b+c)=Ф
(4a+6b+2c)/(3a+3b+c)=Ф
(5a+6b+2c)/(3a+4b+c)=Ф
(5a+7b+2c)/(3a+4b+2c)=Ф
(6a+7b+2c)/(3a+5b+2c)=Ф
(6a+8b+3c)/(4a+5b+c)=Ф
(6a+9b+3c)/(4a+5b+2c)=Ф
(7a+9b+3c)/(4a+6b+2c)=Ф
(8a+10b+3c)/(4a+7b+3c)=Ф
(8a+11b+4c)/(5a+7b+2c)=Ф
(9a+12b+4c)/(5a+8b+3c)=Ф
(10a+13b+4c)/(6a+8b+3c)=Ф
(10a+14b+5c)/(6a+9b+3c)=Ф
(11a+15b+5c)/(7a+9b+3c)=Ф
(12a+17b+6c)/(8a+10b+3c)=Ф
(13a+18b+6c)/(8a+11b+4c)=Ф
(14a+20b+7c)/(9a+12b+4c)=Ф
(16a+23b+8c)/(10a+14b+5c)=Ф
В комбинациях обнаружилась интересная особенность
Если взять любое число, целое или дробное, положительное или отрицательное, и прибавить его одновременно:
а) к первому и пятому числу
б) ко второму и шестому числу
в) к первому, второму, пятому и шестому числу
то результат не изменится. Будет число Ф.
Пример: ((16+N)a+23b+8c)/(10a+(14+N)b+5c)=Ф, где N — любое число
Можно взять два разных числа. Одно прибавить к первому и пятому числу, другое — ко второму и шестому числу. Результат также не изменится.
Эта особенность относится ко всем комбинациям. Единственное, комбинации в начале списка необходимо преобразовать. Например, a/b=Ф в изменённом виде (1a+0b+0c)/(0a+1b+0c)=Ф.
Симметрия
Если взять вторую ноту любого такта, то с учётом цикличности длительности слева и справа от выбранной ноты будут симметричны друг другу.
… b | c | b | a | b | a | b | c | b …
Тоже самое относится и к пятой ноте.
… a | b | a | b | c | b | a | b | a …
В мелодии есть ещё один вид симметрии. Возьмём любую пару соседних нот. Длительности нот, равноудаленные от этой пары, будут между собой в пропорции золотого сечения.
Нота кульминации
Самая высокая нота мелодии, нота Соль во втором такте, находится на золотом сечении мелодии (b/a=Ф), причём это сечение делит длительность ноты также в пропорции золотого сечения.
Мелодия становится устойчивой при повторении цикла. Интервал между двумя нотами кульминации и интервал между последней нотой кульминации и окончанием повторения образуют между собой золотое сечение (b/c=Ф). Интервал между второй нотой кульминации и окончанием повторения и интервал между началом мелодии и первой нотой кульминации образуют золотое сечение (c/a=Ф).
Пары нот одной высоты
В мелодии есть несколько пар нот одной высоты. Начало мелодии — две ноты До (с учётом цикличности). Середина мелодии — ноты Ля. Ноты Ми в четвертом такте. И конец мелодии — ноты До (с учётом цикличности).
Соединения нот обозначим буквами А, Б, В, Г. Получится три интервала: АБ=8,472, БВ=5,236, ВГ=3,236, которые в сумме дают длительность мелодии. Эти интервалы образуют между собой золотые сечения:
АБ/БВ=Ф
АВ/АБ=Ф
БВ/ВГ=Ф
БГ/БВ=Ф
Золотое сечение и число Пи
Если мелодию повторить три раза, то длительность составит 12Ф3 или 50,832 секунды. Это 10ФП. Отклонение 0,00078. Можно получить формулу соотношения:
6Ф2 ≈ 5П или П ≈ 1,2*Ф2
Если длительность цикла разделить на 3,3333, то получим произведение золотого сечения и числа Пи.
Вариант №2
Если взять, а = 1/Ф (0,618) и всё пересчитать, то длительность мелодии составит 10,472 секунды. При делении на 4 длительность такта будет равна золотому сечению в квадрате. При трёхкратном повторении мелодии будет 10П. При делении цикла на 3,3333 просто число Пи.
Второй вариант можно послушать здесь:
В начале статьи я обещал рассказать что-то интересное о квадрате, изображённом на рисунке с окружностью. Выполняю обещание. Для удобства повторю изображение без обозначения нот.
Мелодия не только «круглая», но и «квадратная». Повторяющиеся структуры, кратные четырём тактам, музыканты называют «квадратом». Мелодия четырёхтактная. Квадрат нарисован таким образом, что, пересекая окружность, образует в углах квадрата четыре дуги, равные длительностям первой ноты каждого из четырёх тактов. Угол дуги в градусах — 90/Ф3 или 21,246.
Оставим на рисунке только окружность и квадрат. Сдвинем квадрат так, чтобы низ квадрата совпал с нижней точкой окружности.
Вроде бы нет ничего интересного.
А теперь на этом изображении разместим рисунок Леонардо да Винчи «Витрувианский человек»:
Окружности и квадраты двух рисунков совпали.
Если взять длину дуги первой ноты 1/Ф2 и всё пересчитать, то длина окружности составит 4Ф. В квадрат будет вписан человек среднего роста 1,70.
По мнению исследователей, рисунок да Винчи был создан, как иллюстрация к трактату Луки Пачоли »Божественная пропорция», где итальянский математик рассказывает о золотом сечении.
