Maxima — Tips&Tricks, или собираем по крохам инфо, как на ней работать
Человеческая память для меня загадка. Являясь обладателем слабой памяти с детства, вечно забываю о некоторых нюансах окружающего меня мира. Тем не менее, эти данные должны быть под рукой. И когда не хватает блокнота, на помощь приходят текстовые файлы. Один из таких файлов содержит небольшую сборку повседневных и обыденных команд Maximа.Я думаю, всем из нас известна данная система компьютерной алгебры. Она не является конкурентом Wolfram Mathematica, но она обладает именно тем функционалом, который я требую от математического софта. Если говорить проще и доступнее — считать можно на всём, от палочек до суперкомпьютеров, и далеко не всегда задачи инженерной практики целиком переносятся с бумаги в программный код. Одним из примеров, который я честно говоря, еле-еле застал, является сегодня забытая поделка нашего конверсионного производства — цельнометаллический бытовой вакуумный гражданский термос, который выпускался ранее ещё в СССР на Урале. Чтобы наладить его производство институт, в котором я учусь, де-факто вручную на счётных машинках высчитал все необходимые параметры рабочего оборудования. Поэтому лицензия на Mathematica — не показатель и не ценз пригодности к практике. Считать, повторюсь, можно на всём.
От слов к делу. Ниже разбиты на категории те моменты в документации Maxima, которые желательно знать для начинающего пользователя данной СКА.
Общий функционал** или ^ — возведение в степень;% — последняя ячейка вывода;_ — последняя ячейка ввода;%th (n) — возвращает n-ю с конца ячейку вывода.$ — глушение вывода результата; kill (all) — очистить сеанс; describe (name) или? name — помощь по конкретным словам; example (name) — пример использования; demo () — выполняет программы из демонстрационных файлов, поставляемых с системой;'выражение — предотвращает вычисление выражения;''выражение — аналог ev (принудительное вычисление выражения); num (%) — числитель дроби; denom (%) — знаменатель дроби; coeff (n, x,3) — возвращает коэффициент при переменной в заданной степени; depends ([m, y],[x, z]) — устанавливает зависимость m (x, z) и y (x, z); second (y = 14) — извлечёт 14; subst — подстановка одного выражения в другое; changevar (%, x — 3 — y, y, x); — замена переменных в выражении;%, y=x-3 — обратная подстановка; float (%) — преобразовать к вещественной форме; nouns (%) — раскрывает вообще все несовершённые формы — и производные в том числе; eval — напротив, проводит дополнительно ещё один процесс вычисления. в выражения тоже могут входить некоторые символы, которые тоже могут иметь свои значения; и такая цепочка «вложенных значений» может продолжаться сколь угодно глубоко. Один вызов функции ev (без опции eval) опускается по этой цепочке в глубину на один уровень: noeval блокирует сам этап вычисления как таковой; т.е. её можно использовать для того, чтобы применить к выражению другие опции функции ev, не перевычисляя его; lhs (eq) — rhs (eq) — левая и правая части некоторого выражения; eliminate ([x+y+z=1, x+y=2, x+z=3],[z]) — исключить из системы уравнений переменную или несколько переменных, то есть уменьшить размерность системы; gcd (420,1176) — НОД; mod (x, y) — остаток от деления x на y со знаком x; signum (x) — вернёт +1 если x >0, -1 если x max/min; log (x) — НАТУРАЛЬНЫЙ логарифм («ln (x)»); floor (4.445) — округление вниз; ceiling (4.445) — округление вверх; listofvars (%) превращает исходное выражение в список содержащихся в нем переменных; numer: true (или numeric: true) — проведение расчётов только с плавающей точкой, а не с рациональными числами; bindtest — запрещает использовать символ в выражениях до присвоения ему значения; batch () загружает Maxima-файл с расширением .mac или .mc (от первоначального названия программы — Macsyma) и выполняет содержащиеся в нем выражения.batchload (), подгружает пакетный файл «молча»: все назначенные в нем функции и переменные становятся доступны, но результаты не видны, и весь хранимый ввод-вывод, включая значения символов % и _ и результаты, возвращаемые функцией %th (), остается тем же, что и до вызова.file_search_maxima — переменная, содержащая каталоги пользовательских файлов и файлов самой СКА;~/.maxima — стандартный каталог системы; file_search_lisp и file_search_demo — функции для поиска соответствующих файлов; load () — обертка над двумя функциями загрузки файлов, просто короче; loadfile () -загружает файл с исходным кодом Lisp (парна к save ()); stringout ()- выгружает в файл любые выражения и функции Maxima; declare () — внести факт в базу фактов; facts (name) или facts () — узнать текущее состояние базы; remove () — удалить свойства из базы; assume () — в качестве аргументов принимает в любом количестве самые обыкновенные равенства и неравенства в логической форме, то есть не «a=b», «a#b», а «equal (a, b)», «not equal (a, b)». Из логических операторов допускается также использование and (по сути assume (x>0 and x0, xb and aПроизводные, пределы, ряды… diff (выражение) — находит полный дифференциал выражения, который является суммой всех частныхпроизводных по переменным выражения; diff (выражение, переменная) — находит частную производную первого порядка; diff (выражение, переменная, N) — находит частную производную N-го порядка; diff (выражение, х_1, N_1, х_2, N_2, …) —находит сумму частных производных; derivlist (x, y, …, v) — производные относительно переменных, заданных в качестве аргументов, а также полные дифференциалы (так как они не зависят ни от каких переменных); integrate (%, x) — интегрирование; romberg (cos (sin (x+1)), x, 0, 1) — численное интегрирование методом Ромберга; limit ((x^2 — 1)/(x^2 + 1), x, inf) — вычисление пределов; limit ((x^2 — 1)/(x^2 + 1), x, minf); limit (tan (x), x, %pi/2, plus) — предел справа; limit (tan (x), x, %pi/2, minus) — слева; tlimit (…) — попытка найти предел с поднятым флагом tlimswitch (см. ниже); sum (i, i, 1, 100) — сумма ряда; product — произведение ряда (синтаксис аналогично sum); sum (1/x^2, x, 1, inf), simpsum=true; — чтобы выполнить суммирование, нужно указать опцию «simpsum=true»; sumcontract (sum1+sum2) — сокращение сум; taylor (sin (x), x, 0, 8) — ряды; niceindices (powerseries (sin (x), x, 0)) — ряды с упрощением; Упрощения simp: false — отключить принудительное упрощение «на лету»; ratdenomdivide — по умолчанию системная переменная имеет значение «true». В этом случае каждая дробь, в которой числитель является суммой, раскладывается на сумму дробей с одинаковым знаменателем. Если же присвоить этой опции значения «false», то тогда все дроби с одинаковым знаменателем будут объединены в одну дробь с числителем в виде суммы числителей начальных дробей; expand () — раскрыть скобки, упростить; distrib () — expand (), но только на один уровень в глубину; combine () — функция, собирающая воедино дроби с одинаковыми знаменателями; trigsimp (%) — тригонометрические упрощения через основное тригонометрическое тождество; trigrat (%) — аналогично, посильнее; trigreduсe (%) — преобразовать тригонометрические выражения в канонические конечные тригонометрические ряды (Fourier sums) [преобразует тригонометрическое выражение как сумма слагаемых, каждое из которых содержит один синус или косинус]; trigexpand (%) — «раскрывает» аргументы тригонометрических функций, согласно правилам тригонометрических функций от суммы углов; partfrac (%) — разложение на простые дроби; ratsimp (%) — быстро упростить сумму рациональных выражений; fullratsimp (выражение) — последовательно применяет к выражению функцию ratsimp, а также некоторые нерациональные преобразования и повторяет эти действия в цикле до тех пор, пока выражение не перестанет в процессе преобразования изменяться (медленнее, зато дает более надежный результат); ratexpand (%) — приводит дроби к общему знаменателю; radcan (%) — «сократить» экспоненты с логарифмами, перейдя к каноническому радикалу [упрощение показательных, логарифмических и степенных (с рациональными степенями) функций]; factor — максимально сворачивает выражение в скобки; factorsum () — если многочлен не может быть представлен в виде произведения нескольких сомножителей, его можно попытаться преобразовать в сумму таких произведений;0. Также имеются такие функции как: atensimp, foursimp, fullratsimp, logarc, rootscontract, scsimp, simplify_sum, vectorsimp.1. После ratexpand () и в числителе, и в знаменателе дроби все скобки будут раскрыты, в случае же rat () слагаемые, где имеются, например, две переменные, будут сгруппированы, и одна из них будет вынесена за скобки.2. expand раскрывает скобки на всех уровнях вложенности, а ratexpand раскрывает рациональное выражение только первого уровня, при этом подвыражения, которые не являются рациональными, не обрабатываются;3. ratexpand приводит дроби-слагаемые к общему знаменателю, а expand этого не делает;4. На expand не влияет системная опция ratdenomdivide;5. expand не преобразует в рациональные числа конечную десятичную запись независимо от значения системной опции keepfloat.6. maxposex и maxnegex — переменные, управляющие раскрытием возведения в целую степень — максимальные положительный и отрицательный показатель степени, которые будут раскрываться этой функцией expand (По умолчанию 1000), переназначить можно прямо в функции expand ();7. expop и expon — переменные, задают максимальные положительную и отрицательную степени, которые будут раскрываться автоматически, без вызова функций группы expand (по умолчанию 0, то есть автоматически степени не раскрываются вообще);8. Флаг — halfangles — управляет раскрытием формул половинных углов; Два флага — trigexpandplus и trigexpandtimes — отвечают соответственно за применение формул сумм углов и кратных углов (по умолчанию установлены);9. Флаги trigsign и triginverses — первый принимает традиционные два значения (по умолчанию — true) и регулирует вынос знака за пределы тригонометрической функции. Флаг triginverses — трехзначный, и умолчательное его значение равно all. Он отвечает за обработку сочетаний вида sin (asin (x)) или atan (tan (x)). Значение all позволяет раскрывать эти сочетания в обоих направлениях (напомню, что при этом часть корней будет теряться); значение true оставляет разрешенным раскрытие только вида sin (asin (x)), то есть блокирует вариант с потерями периодических значений;, а случай false запрещает оба направления преобразований;10. Флаг tlimswitch. По умолчанию он тоже выключен, а если его включить, функция limit будет, при невозможности найти предел другими способами, пытаться его найти путем разложения подпредельной функции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки;11. Единственный флаг, имеющий прямое отношение к самой функции diff — это флаг derivabbrev, который влияет на отображение производных в ячейках вывода Maxima. По умолчанию он равен false, и производные обозначаются в виде дробей с буквой d; если же его выставить в true, производные будут отображаться в сокращенном виде, с переменными дифференцирования записанными в виде индексов. 12. solveradcan — флаг, по умолчание false, а выставив этот флаг в true, мы заставим solve применять radcan, что в некоторых случаях может помочь разрешить проблемы, которые без этого ключа приведут к невозможности найти точное решение.Матрицы A: matrix ([1,2],[3,4]); Определитель матрицы. Функция determinant (matrix).Транспонирование матрицы. Функция transpose (matrix).Вычисление обратной матрицы. Функция invert (matrix).Построение характеристического многочлена матрицы. Функция charpoly (matrix, var).Сложение матриц (знак »+»). Почленно складывает все элементы двух матриц.Вычитание (знак »-»). Совершенно аналогичен сложению, но элементы матриц вычитаются.Деление матриц (знак »/»). Деление слабо отличается от сложения, каждый элемент одной матрицы делится на соответствующий элемент другой матрицы.Перемножение матриц почленно (знак »*»). Этот оператор работает также как и сложение: элементы первой матрицы умножаются на соответствующие элементы второй матрицы. Это не то умножениематриц, которое обычно подразумевается в курсе линейной алгебры! Умножение матриц (знак ».», точка).addcol (V1,[9,10]) — добавление столбца к матрице; addrow (V1,[9,10]) — добавление строки к матрице; V1: submatrix (V1, 6,7) — удалить из матрицы V1 6-й и 7-й столбец; submatrix (начальный номер удаляемой строки, конечный номер удаляемой строки; Имяматрицы;) — уменьшение количества строк; M[j, i] — обращения к конкретному элементу массива М; zeromatrix (m, n) — создание нулевой матрицы размерностью m*n; ident (n) — создание единичной квадратной матрицы; diagmatrix (n, x) — создание диагональной квадратной матрицы размерностью n*n; transpose (M) — транспонирование матрицы M; matrix_size (M) — определение количества столбцов и строк матрицы; rank (M) — определение ранга матрицы; mattrace (M) — определение следа (суммы диагональных элементов) квадратной матрицы (* приложению предшествует загрузка пакета для работы с матрицами: load («nchrpl»)); determinant (М) — вычисление определителя (детерминанта) квадратной матрицы; invert (M) -вычисление матрицы, обратной к М.Обыкновенные дифференциальные уравнения 1)ode2(уравнение, функция, переменная). Функцией обычно является у, а переменной — х; Помимо решения дифференциального уравнения в общем виде, можно решать уравнения с начальными условиями (краевая задача). Для этого необходимо решить уравнение в общем виде при помощи функцииode2, а затем воспользоваться одной из функций поиска начальных условий: ic1(решение, точка х, значение у в точке х) —для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка с начальным условием; ic2(решение, точка х, значение у в точке х, значение y' в точке х) — для решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с начальным условием; bc2(решение, точка х1, значение у в точке х1, точка х2, значение у в точке х2) — для решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с начальными условиями в виде двух точек;2)desolve (дифференциальное уравнение, переменная); Если осуществляется решение системы дифференциальных уравнений или есть несколько переменных, то уравнение и/или переменные подаются в виде списка: desolve ([список уравнений], [переменная1, переменная2,…]); Так же как и для предыдущего варианта, для обозначения производных в дифференциальных уравнениях используется функция diff, которая имеет вид 'diff (f (x), x); atvalue (функция, переменная = точка, значение в точке) — начальные значения.Графики plot2d (sin (x), [x,0,6]); plot2d (sin (x), [x,0,1], [y,0,1]); plot2d ([parametric, realpart (W (%i*t)), imagpart (W (%i*t))], [t,0,100], [nticks,1000])$Параметрические графики строятся так:[parametric, x (t), y (t)]. Поэтому из приведенной формулы были подставлены параметрические функции. Далее, [t,0,100] — это диапазон точек, в котором рисовать годограф. Тут у каждого получается по-разному, ясно, что кривая уходит либо в 0, либо в бесконечность, тут главное не переборщить. Рекомендуется поиграться с диапазоном значений t, чтобы определить откуда и куда движется кривая. Данный пример берёт начало в точке [-1, 0] и стремится к [0, 0]. [nticks,1000] — этот параметр задает число точек для интерполяции графика. Чем их больше — тем более гладким будет выглядеть график и больше времени потребуется на его построение.Графики в полярных координатах — применяется функция draw2d со следующими аргументами: user_preamble = «set grid polar», // построение в полярных координатах; nticks = n, // n — число точек; xrange = [dx1, dx2], // диапазон изменения x; yrange = [dy1, dy2], // диапазон изменения y; color = red, // цвет; line_width = k, // ширина линии, которой строится график; title = «общее название графика», polar (функция, переменная, нижняя_граница _переменной, верхняя_граница_переменной) // функция построения графика; Обязательными являются первый и последний аргументы функции. Первый инициирует построение графика в полярных координатах, последний (polar) — это функция, по которой строится график.plot3d (((x — 10)/5)*((y — 10)/5),[x, 0,20],[y, 0,20]) — трехмерная (3D) графика; Редактирование трехмерного графика осуществляется так же, как и двумерного.Трехмерная поверхность может быть заменена градиентным переходом цветов. Для этого следует применить опцию «set view map».Программирование (подробнее в документации) for, while, until и т.д. Примеры: for i in s dofor k:1 thru b:3 dofor переменная: начало step шаг thru конец do выражениеfor переменная: начало step шаг while условие do выражениеfor переменная: начало step шаг unless условие do выражениеЗадание функции: f1(x, y):=x+y;_-=============================-_########## ДРУГОЕ #############.================================.
Русское обозначение — в Maxima: arccos — acosarcsin — asinarctg — atanch — coshsh — sinhctg — cotln — logtg — tan
Символы греческого алфавита: Gamma; Theta; Psi и т.д.
Обработка данных:1)load (descriptive)$ /*загрузить расширение*/a:[1,2,3,4]; mean (a); /*=5/2 среднее*/var (a); /*=5/4 дисперсия*/std (a); /*=?5/2 среднеквадратичное отклонение*/mean (средняя арифметическая); median (медиана); variance (дисперсия); deviation (среднее квадратичное отклонение);2)a:[1.0,2.0,3.0,4.0]; for i in a do ldisp (sin (i)/i);
Вычисление производных по всем переменным, входящим в выражение: eq: x*l/k; /*исходное выражение*/res: 0$ for i in listofvars (eq) do res: res + (diff (eq, i) * concat («d»,(i)))^2$
Для большей точности существует специальная функция bfloat () (big float, большой float), а также переменная ffprec — за число знаков после запятой. То есть для повышения/понижения точности нужно присвоить переменной fpprec другое числовое значение и воспользоваться функцией bfloat () вместо float (). Нужно, чтобы переменная numer равнялась false.
По умолчанию Maxima работает в системе МКС: метр-килограмм-секунда:2*m;2*cm; setunits ([centigram, inch, minute]) — аргументами которой являются три базовых единицы измерения: веса, длины и времени; setunits ([kg, m, s]); convert (inch,[sm]); — перевод единиц измерения;
stringout (»/Users/myusername/file1maxima.mc», INPUT); To save all your work as a «tape» that can be replayed later, all your input can be saved to a file.
batch (»/Users/myusername/file1maxima.mc»); Loading the saved file: the saved file can also be loaded directly, although the exact numbering of lines will change from the original calculation.
SIMPSUM: TRUE; sum (k, k, 1, n), simpsum;=> \displaystyle {{n^2+n}\over{2}}product (1/(n^2), n,1,10); Products work in much the same way.
niceindices (powerseries (%e^x, x, 0));=> \displaystyle \sum_{i=0}^{\infty }{{{x^{i}}\over{i!}}}
taylor (%e^x, x, 0, 5);=> \displaystyle 1+x+{{x^2}\over{2}}+{{x^3}\over{6}}+{{x^4}\over{24}}+{{x^5}\over{120 }}+\cdotstrunc (%); Since the output of taylor has special properties, we need to convert it into a polynomial.
load («newton»);=>/sw/share/maxima/5.9.0rc3/share/numeric/newton.macnewton (x^7–5*x^6+4*x^4–5*x^2+x+2,1);=>8.194213634964119B-1
tex (%)- преобразовать выражение к виду TeX;$$\left (x+1\right)^2$$
Преобразовать TeX в PDF:1. Paste the following five lines verbatim into the text editor:\documentclass{article}\pagestyle{empty}\begin{document}\huge\end{document}2. Copy the tex () output line, and paste it between the \huge and \end{document} lines.3. Save the result in text format as: myoutput.txt4. In the terminal window, navigate to the directory where you saved myoutput.txt5. type: pdflatex myoutput.txt6. Hit return — a PDF file called myoutput.pdf containing your typeset equation will now be created in this directory.
load (to_poly_solve); — дополнительные процедуры для решения систем улгебраических уравнений; to_poly_solve ([3*z1+z2+2=0, sqrt (z1)=z2],[z1, z2]);
sol: rk ([rk1, rk2, gamma, w], [gamma, w, fi, tetta], [0, %pi/8, %pi/2, 0], [t, 0, Tmax with_stdout («gamma.txt», for k:1 thru points do print (sol[k][1], sol[k][2])) — пример вывода данных их файла.
А теперь рассмотрим типовой пример использования Maxima в студенческой жизни. Красиво и интересно данный процесс был показан в статье на Хабре ранее. Я в свою очередь только поверну координатные оси в одном уравнении:
F: uxx+2*uxy+cos (x)^2*uyy-ctg (x)*(ux+uy); /*искомое уравнение*/ A: F, uxx=uxx, uxy=0, uyy=0, ux=0, uy=0$ A: A/uxx$ B: F, uxx=0, uxy=uxy, uyy=0, ux=0, uy=0$ B: B/(2*uxy)$ C: F, uxx=0, uxy=0, uyy=uyy, ux=0, uy=0$ C: C/(uyy)$ D: F, uxx=0, uxy=0, uyy=0, ux=ux, uy=0$ D: D/(ux)$ E: F, uxx=0, uxy=0, uyy=0, ux=0, uy=uy$ E: E/(uy)$ print («A = », A)$ print («B = », B)$ print («C = », C)$ print («D = », D)$ print («E = », E)$ delta: B^2-A*C$ print («Delta = », delta)$ /*так как я знаю, что дельта > 0, перехожу сражу к решению гиперболического уравнения */ A*'diff (y, x,1)^2–2*B*'diff (y, x,1)+C=0; 'diff (y, x,1)=(2*B+sqrt ((2*B)^2–4*A*C))/(2*A); ode2(%, y, x); solve (%,%c)$ w1: rhs (%[1])$ print («w1 = », w1)$ 'diff (y, x,1)=(2*B-sqrt ((2*B)^2–4*A*C))/(2*A); ode2(%, y, x); solve (%,%c)$ w2: rhs (%[1])$ print («w2 = », w2)$ ux: un*diff (w2, x)+ue*diff (w1, x); uy: un*diff (w2, y)+ue*diff (w1, y); uxx: un*diff (diff (w2, x), x)+unn*diff (w2, x)^2+2*uen*diff (w1, x)*diff (w2, x)+ue*diff (diff (w1, x), x)+uee*diff (w1, x)^2; uxy: un*diff (diff (w2, x), y)+uen*(diff (w1, x)*diff (w2, y)+diff (w1, y)*diff (w2, x))+unn*diff (w2, x)*diff (w2, y)+ue*diff (diff (w1, x), y)+uee* diff (w1, x)*diff (w1, y); uyy: un*diff (diff (w2, y), y)+unn*diff (w2, y)^2+2*uen*diff (w1, y)*diff (w2, y)+ue*diff (diff (w1, y), y)+uee*diff (w1, y)^2; uy*E+ux*D+uyy*C+2*uxy*B+uxx*A; %, ctg (x)=cos (x)/sin (x); trigrat (%); Результат:2*uen*cos (2*x)-2*uen
