Линейная алгебра кватернионов28.10.2021 03:16

Разбирал для себя кватернионный аппарат с точки зрения линейной алгебры с оглядкой на возможность его применения в теориях относительности. Над второй частью ещё работаю, а законспектированный инструментарий решил опубликовать отдельно.

0. Обозначения.
1. Пространство кватернионов.
2. Пространство октонионов.
3. Мнимое подпространство кватернионов.
4. Редуцирование произведение кватернионов.
5. Место редуцированного произведения в алгебре кватернионов.
6. Интраскалярное и компланарное произведения кватернионов.
7. Произведение кватернионов как сумма билинейных отображений.
8. Норма пространства кватернионов.
9. Форма интраскалярного умножения.
10. Поворот базиса во мнимом пространстве.
11. Поворот элементов во мнимом пространстве.
12. Вещественно-мнимый поворот.
13. Масштабирование.
14. Красивая картинка для статьи.

0. Обозначения

Примем следующие обозначения:

$\begin{array}{ccl} \mathbf{q} & \in & \mathbb{H} , \\ -1 & = & \imath \jmath k = \imath^2 = \jmath^2 = k^2 , \\ -\hat{h}^2 & = & \hat{\imath} \hat{ \jmath } \hat{ k } = \hat{ \imath }^2 = \hat{ \jmath }^2 = \hat{ k }^2 : \\ \mathbf{q} & = & x^0 \hat{h} + x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k} \\ & = & x^0 \hat{h} + \vec{q} \\ & = & x^0 + \vec{q} \\ & = & x^0 \hat{h} + q \hat{q} \\ & = & | \mathbf{q} | ( \cos \angle_q + \hat{q} \sin \angle_q ) \\ & = & | \mathbf{q} | \ e^{\angle_q \hat{q}} \\ & = & | \mathbf{q} | \ \hat{\mathbf{q}} \\ & = & [ x^0, \vec{q} ] , \\ \vec{q} & = & q\hat{q} \\ & = & | \mathbf{q} | \ ( \sin \angle_q ) \ \hat{q} , \\ | \mathbf{q} | & = & \sqrt{ (x^0)^2 + (x^1)^2 + (x^2)^2 + (x^3)^2 } , \\ \hat{\mathbf{q}} & = & \{ \mathbf{q} \in \mathbb{H} | \ | \mathbf{q} | = 1 \} \\ & = & \cos \angle_q + \hat{q} \sin \angle_q , \\ { \mathbf{q} }^* & = & \{ \mathbf{q} \in \mathbb{H} | \ x^0 = 0 \} \\ & = & q \hat{q}, \quad \mathbf{q}^* \in \Im \\ & = & [ 0, \vec{q} ] , \\ \hat{q} & = & \{ \mathbf{q} \in \mathbb{H} | \ | \mathbf{q} | = 1 , \ x^0 = 0, \} \\ & = & \hat{\mathbf{q}}^*, \quad \hat{q} \in \Im \\ \overline{ \mathbf{q} } & = & x^0 \hat{h} - x^1 \hat{\imath} - x^2 \hat{\jmath} - x^3 \hat{k} \\ & = & x^0 - \vec{q} \\ & = & | \mathbf{q} | \ e^{- \angle_q \hat{q}} \\ \end{array}$

$\mathbf{q}$ — «болдед кью», кватернион.
$\hat{h}, \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$ — единичные векторы ортонормированного базиса кватернионного пространства.
$ x^0 .. x^4 $ — вещественные числа, координаты в кватернионном пространстве.
$\vec{q}$ — мнимая часть кватерниона, вектор во мнимом подпространстве кватернионного пространства.
$\hat{q}$ — единичный вектор мнимой части кватерниона, единичный вектор во мнимом подпространстве кватернионного пространства.
$ q $ — вещественное число, «длина» вектора мнимой части кватерниона (в кавычках, потому что в общем случае q может быть и отрицательным в отличие от длины-нормы).
$\hat{\mathbf{q}}$ — единичный кватернион.
$| \mathbf{q} |$ — модуль кватерниона.
$\angle_q = \xi$ — аргумент кватерниона.
${ \mathbf{q} }^*$ — чистый кватернион (без вещественной составляющей).
$\| \mathbf{q} \|$ — норма в кватернионном пространстве.
$\overline{ \mathbf{q} }$ — сопряжённый кватернион.

1.1. Пространство кватернионов

Рассмотрим множество $\mathbb{H}$ элементов вида $\{a + b\imath + c \jmath + d k \}$ — кватернионы — в качестве векторного пространства над полем $\mathbb{R}$ вещественных чисел.

Множество кватернионов является векторным пространством над полем вещественных чисел.

Размерность вещественного пространства $\mathbb{H}$ равна четырём. Очевидным базисом является тройка мнимых векторов $(\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k})$ и вещественный вектор, назовём его $\hat{h}$ .
Итого получается $\mathbb{H} \simeq \mathbb{R}^4 (\hat{h}, \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k})$ .

1.2. Пространство октонионов

Сразу упомянем ещё одно пространство $\mathbb{O}$ октонионов (октав, см. Алгебра Кэли).
Аналогичное пространству кватернионов — линейное пространство над полем вещественных чисел, снабжённое согласованной операцией умножения, оно отличается от $\mathbb{H}$ количеством мнимых единиц (в нём их семь), а следовательно, и размерностью — восемь (удвоенное относительно пространства кватернионов, см. процедура Кэли-Диксона).
Последнее отличие от кватернионов — ослабление свойства ассоциативности умножения (альтернативность умножения).
В этом несложно убедиться, выбрав тройку разных единиц из таблицы умножения октав (совсем разных — не кватернионную), и перемножив их в разном порядке:

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} \mathbf{e}_\mu \circ \mathbf{e}_\nu & \mathbf{h} & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} & \mathbf{ l } & \mathbf{m} & \mathbf{n} & \mathbf{o} \\ \hline \mathbf{h} & 1 & \imath & \jmath & k & \ell & m & n & o \\ \hline \mathbf{i} & \imath & -1 & k & - \jmath & m & -\ell & -o & n \\ \hline \mathbf{j} & \jmath & -k & -1 & \imath & n & o & -\ell & -m \\ \hline \mathbf{k} & k & \jmath & -\imath & -1 & o & -n & m & -\ell \\ \hline \mathbf{l} & \ell & -m & -n & -o & -1 & \imath & \jmath & k \\ \hline \mathbf{m} & m & \ell & -o & n & -\imath & -1 & -k & \jmath \\ \hline \mathbf{n} & n & o & \ell & -m & -\jmath & k & -1 & -\imath \\ \hline \mathbf{o} & o & -n & m & \ell & -k & -\jmath & \imath & -1 \\ \end{array}$

$\underline { ( \jmath \circ \ell ) \circ m } = n \circ m = k \ne \underline{ \jmath \circ (\ell \circ m ) } = \jmath \circ \imath = -k$

Обозначения мнимых единиц будем использовать в соответствии с таблицей выше, а обозначения операций — аналогично кватернионам ( $\mathbf{o}$ — «болдед о», октонион и т.д.).

1.3. Мнимое подпространство кватернионов

Обратимся теперь к подмножеству элементов $\Im = \{ b\imath + c \jmath + d k \} = \{\mathbf{q} \in \mathbb{H} \ | \ \mathbf{q} + \bar{\mathbf{q}} = 0 \}$ $\Im = \mathbb{R}^3 (\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}) \in \mathbb{R}^4 (\hat{h}, \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k})$ образуемому множеством чистых кватернионов (без вещественной части).

Подмножество чистых кватернионов образует вещественное векторное подпространство пространства кватернионов.

Для подмножества $\Im$ выполняется:

$\begin{array}{cccl} 1) & ] \ \mathbf{q}_1 & = & x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k}; \\ & \mathbf{q}_2 & = & y^1 \hat{\imath} + y^2 \hat{\jmath} + y^3 \hat{k} : \\ & \mathbf{q}_1 + \mathbf{q}_2 & = & (x^1 + y^1) \hat{\imath} + (x^2 + y^2) \hat{\jmath} + (x^3 + y^3) \hat{k}; \\ & & = & \mathbf{q}_3 \in \Im ; \\ 2) & \lambda \mathbf{q}_1 & \in & \Im, \qquad \forall \lambda \in \mathbb{R} ; \\ \end{array}$

Следовательно, подмножество $\Im \in \mathbb{H}$ является вещественным векторным подпространством $\mathbb{H}$ .

Операция умножения любых двух элементов подпространства $\Im$ в общем случае возвращает вектор пространства $\mathbb{H}$ с отрицательным скалярным произведением исходных векторов в вещественной части и векторным произведением во мнимой:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1 & = & x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k} \\ & & = & 0 + \vec{q}_1, \\ & \mathbf{q}_2 & = & y^1 \hat{\imath} + y^2 \hat{\jmath} + y^3 \hat{k} , \\ & & = & 0 + \vec{q}_2 : \\ & \vec{q}_1, \vec{q}_2 & \in & \Im: \\ & \vec{q}_1 \circ \vec{q}_2 & = & [ - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2, \vec{q}_1 \times \vec{q}_2 ] \\ & & = & [ - (x^1 y^1 + x^2 y^2 + x^3 y^3), (x^2 y^3 - y^2 x^3) \hat{ \imath } + (x^3 y^1 - y^3 x^1) \hat{ \jmath } + (x^1 y^2 - x^2 y^1 ) \hat{ k } ] \end{array}$

Можно сказать, что такая операция возвращает отрицательное скалярное произведение в вещественное подпространство $\Re \in \mathbb{H}$ и векторное произведение во мнимое подпространство $\Im \in \mathbb{H}$ .
Воспользуемся этим, и введём на подпространстве $\Im$ следующее правило называемое скалярным произведением двух элементов:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}^*_1 & = & \vec{q}_1 , \\ & \mathbf{q}^*_2 & = & \vec{q}_2 , \\ & \mathbf{q}^*_1, \mathbf{q}^*_2 & \in & \Im: \\ & ( \mathbf{q}^*_1, \mathbf{q}^*_2 ) & = & \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 \\ & & = & \vec{q}_1 \times \vec{q}_2 - \vec{q}_1 \circ \vec{q}_2 \\ & & = & \vec{q}_2 \cdot \vec{q}_1 \ \in \mathbb{R} \end{array}$

Это и есть скалярное произведение по определению, мы просто задаём его через операции векторного и кватернионного произведений, поэтому все аксиомы для скалярного произведения выполняются, следовательно, подпространство $\Im$ можно считать вещественным евклидовым пространством.
Отсюда же вполне естественно вытекает норма подпространства $\Im$ (во избежание путаницы сразу замечу, что далее в форме для интервала длина «развёрнута» в отрицательную сторону, здесь просто для наглядности приведена привычная положительно определённая норма 3D-пространства):

$\| \vec{q} \| = \sqrt{ \vec{q} \times \vec{q} - \vec{q} \circ \vec{q}} = \sqrt{ 0 - \vec{q}^2} = \sqrt{- \hat{q}^2 |q|^2 } = |q| , \quad \forall \ \vec{q} \in \Im$

Снова же все аксиоматические требования к норме выполняются по определению, и подпространство $\Im^3$ можно считать нормированным, а его норма совпадает с нормой вещественного евклидова пространства $\mathbb{R}^3$ , с которым они изоморфны.
Тем легче нам будет далее представлять пространство $\Im (\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k})$ пространством наблюдателя, а норму в нём — длиной.

1.4. Редуцированное произведение кватернионов

Вернёмся к кватернионам и посмотрим, как можно ввести скалярное умножение на их пространстве.
Кватернионное произведение в общем виде выглядит следующим образом:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1 & = & [x^0, \vec{q}_1 ] , \\ & \mathbf{q}_2 & = & [y^0, \vec{q}_2 ] : \\ & \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 & = & [ \color{red}{ x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 }, \color{green}{ x^0 \vec{q}_2 + y^0 \vec{q}_1 } + \color{blue}{\vec{q}_1 \times \vec{q}_2} ] \\ & \mathbf{q}_2 \circ \mathbf{q}_1 & = & [ \color{red}{ x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 }, \color{green}{ x^0 \vec{q}_2 + y^0 \vec{q}_1 } + \color{blue}{\vec{q}_2 \times \vec{q}_1} ] \\ \end{array}$

Синим выделена составляющая — векторное произведение — препятствующая установлению свойства коммутативности операции умножения, являющегося первым аксиоматическим требованием к операции скалярного произведения в вещественном евклидовом пространстве.
Зелёным выделена составляющая, наоборот препятствующая выполнению аксиомы $( \mathbf{q}, \mathbf{p} ) = \overline{ ( \mathbf{p}, \mathbf{q} ) }$ для комплексного евклидового пространства.
А красным — скаляр.
Скалярное произведение кватернионов в рамках алгебры кватернионов имеет вид:

$\begin{array}{ccl} \mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{q}_2 & = & \frac{1}{2} \left( \bar{\mathbf{q}}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \bar{\mathbf{q}}_2 \circ \mathbf{q}_1 \right) \\ & = & \frac{1}{2} \left( [x^0, -\vec{q}_1] \circ [y^0, \vec{q}_2] + [y^0, -\vec{q}_1] \circ [x^0, \vec{q}_2] \right) \\ & = & \frac{1}{2} \Big( [x^0 y^0 + \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2, x^0 \vec{q}_2 - y^0 \vec{q}_1 - \vec{q}_1 \times \vec{q}_2 ] + \\ & + & [x^0 y^0 + \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2, y^0 \vec{q}_1 - x^0 \vec{q}_2 - \vec{q}_2 \times \vec{q}_1] \Big) \\ & = & x^0 y^0 + \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 \\ \end{array}$

и, как видно, возвращает вещественное значение, отличающееся от скаляра в кватернионном произведении.
Последовательно разложим кватернионное произведение на составляющие.
Исключим векторное произведение из кватернионного, и назовём представленную операцию, возвращающую элемент из $\mathbb{H}$ , укороченным, редуцированным произведением кватернионов:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1 & = & [x^0, \vec{q}_1 ] , \\ & \mathbf{q}_2 & = & [y^0, \vec{q}_2 ] : \\ & \mathbf{q}_1 \odot \mathbf{q}_2 & = & \frac{1}{2} (\mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \mathbf{q}_2 \circ \mathbf{q}_1 )\\ & & = & [ x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2, x^0 \vec{q}_2 + y^0 \vec{q}_1 ] \\ & & = & \mathbf{q}_2 \odot \mathbf{q}_1 \\ \end{array}$

которое будем обозначать $\odot$ — чуть больше, чем просто скалярное, и чуть меньше, чем кватернионное.

1.5. Место редуцированного произведения в алгебре кватернионов

Из приведённого выше определения можно увидеть сходство между редуцированным произведением и симметричной частью тензора:

$\begin{array}{cccl} & \mathbf{q}_1 \odot \mathbf{q}_2 & = & \frac{1}{2} \left( \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \mathbf{q}_2 \circ \mathbf{q}_1 \right) \\ & U_{(i,j)} & = & \frac{1}{2} \left( U_{ij} + U_{ji} \right) \\ \end{array}$

Равно, как между векторным произведением кватернионов и антисимметричной частью тензора:

$\begin{array}{cccl} & \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 & = & \frac{1}{2} \left( \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 - \mathbf{q}_2 \circ \mathbf{q}_1 \right) \\ & U_{[i,j]} & = & \frac{1}{2} \left( U_{ij} - U_{ji} \right) \\ \end{array}$

Аналогично результату разложения произвольного тензора на симметричную и антисимметричную части, кватернионное произведение произвольных кватернионов может быть исчерпывающе разложено на сумму редуцированного и векторного произведений:

$\begin{array}{cccl} & U_{i,j} & = & U_{(i,j)} + U_{[i,j]} \\ & \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 & = & \mathbf{q}_1 \odot \mathbf{q}_2 + \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 \\ & & = & \mathbf{q}_1 \odot \mathbf{q}_2 - \mathbf{q}_2 \times \mathbf{q}_1 \\ \end{array}$

как на сумму двух билинейных отображений — симметричного (редуцированное произведение) и кососимметричного (векторное произведение).
Редуцированное произведение коммутативно, дистрибутивно по сложению и умножению на вещественный скаляр.

1.6. Интраскалярное и компланарное произведения кватернионов

Чтобы далее разложить редуцированное произведение на составляющие, соответствующие кватернионному произведению, введём интраскалярное произведение кватернионов (intra — «внутрь»: $x^0y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2$ в противопоставление обычному «extra-», экстра- скалярному $x^0y^0 + \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2$ ):

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1 & = & [x^0, \vec{q}_1 ] , \\ & \mathbf{q}_2 & = & [y^0, \vec{q}_2 ] : \\ ] & \mathbf{q}_1 \ast \mathbf{q}_2 & = & \frac{1}{2} ( \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \overline{ \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 } ) \\ & & = & \frac{1}{2} ( \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \mathbf{\bar{q}}_2 \circ \mathbf{\bar{q}}_1 ) \\ & & = & x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 \\ & & = & \mathbf{q}_2 \ast \mathbf{q}_1, \quad \in \mathbb{R} \\ \end{array}$

Сравним таблицы умножения ортов для интра- и экстра- скалярного произведений:

${ \begin{array}{c|c|c|c|c} \mathbf{e}_\mu \ast \mathbf{e}_\nu & \mathbf{h} & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \hline \mathbf{h} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \mathbf{i} & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \hline \mathbf{j} & 0 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \mathbf{k} & 0 &0 & 0 & -1 \\ \end{array} \qquad \begin{array}{c|c|c|c|c} \mathbf{e}_\mu \cdot \mathbf{e}_\nu & \mathbf{h} & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \hline \mathbf{h} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \mathbf{i} & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline \mathbf{j} & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline \mathbf{k} & 0 &0 & 0 & 1 \\ \end{array} }$

Также введём компланарное (по виду создаваемого образа) произведение, дающее симметричный векторный образ:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1 & = & [x^0, \vec{q}_1 ] , \\ & \mathbf{q}_2 & = & [y^0, \vec{q}_2 ] : \\ ] & \mathbf{q}_1 \diamond \mathbf{q}_2 & = & \frac{1}{2} ( \mathbf{q}_2 \circ \mathbf{q}_1 - \overline{ \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 } ) \\ & & = & \frac{1}{2} ( \mathbf{q}_2 \circ \mathbf{q}_1 - \mathbf{\bar{q}}_2 \circ \mathbf{\bar{q}}_1 ) \\ & & = & x^0 \vec{q}_2 + y^0 \vec{q}_1 \\ & & = & \mathbf{q}_2 \diamond \mathbf{q}_1, \quad \in \Im \\ \end{array}$

И тоже выпишем табличку:

$\begin{array}{c|c|c|c|c} \mathbf{e}_\mu \diamond \mathbf{e}_\nu & \mathbf{h} & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \hline \mathbf{h} & 0 & \imath & \jmath & k \\ \hline \mathbf{i} & \imath & 0 & 0 & 0 \\ \hline \mathbf{j} & \jmath & 0 & 0 & 0 \\ \hline \mathbf{k} & k & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}$

Теперь уже само редуцированное произведение, в свою очередь, может быть представлено через сумму интраскалярного и компланарного произведений:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1 & = & [x^0, \vec{q}_1 ] , \\ & \mathbf{q}_2 & = & [y^0, \vec{q}_2 ] : \\ & \mathbf{q}_1 \odot \mathbf{q}_2 & = & \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 - \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 \\ & & = & \mathbf{q}_1 \ast \mathbf{q}_2 + \mathbf{q}_1 \diamond \mathbf{q}_2 \\ & & = & \frac{1}{2} ( \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \overline{ \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 } ) + \frac{1}{2} ( \mathbf{q}_2 \circ \mathbf{q}_1 - \overline{ \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 } ) \\ & & = & \color{red}{ x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 } + \color{green}{ x^0 \vec{q}_2 + y^0 \vec{q}_1 } \\ & & = & [ x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2, x^0 \vec{q}_2 + y^0 \vec{q}_1 ] \\ & & = & \frac{1}{2} (\mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \mathbf{q}_2 \circ \mathbf{q}_1 ) \\ & & = & \mathbf{q}_2 \odot \mathbf{q}_1 \\ \end{array}$

Тогда, наконец, полностью в кватернионном произведении мы могли бы усмотреть три принципиально различных составляющих:

$\begin{array}{cccl} & \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 & = & \color{brown}{ \mathbf{q}_1 \odot \mathbf{q}_2 } + \color{blue}{ \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 } \\ & & = & \color{red}{ \mathbf{q}_1 \ast \mathbf{q}_2 } + \color{green}{ \mathbf{q}_1 \diamond \mathbf{q}_2 } + \color{blue}{ \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 } \\ & & = &\frac{1}{2} \Big[ ( \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \overline{ \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 } ) + ( \mathbf{q}_2 \circ \mathbf{q}_1 - \overline{ \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 } ) + ( \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 - \mathbf{q}_2 \circ \mathbf{q}_1 ) \Big] \\ & & = & x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 + x^0 \vec{q}_2 + y^0 \vec{q}_1 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2 \\ & & = & A + B + C \\ & A & = & \mathbf{q}_1 \ast \mathbf{q}_2 \\ & & = & x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 \\ & B & = & \mathbf{q}_1 \diamond \mathbf{q}_2 \\ & & = & x^0 \vec{q}_2 + y^0 \vec{q}_1 \\ & C & = & \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 \\ & & = & \vec{q}_1 \times \vec{q}_2 \\ \end{array}$

A — скаляр (вещественное число), B — вектор, компланарный исходным в $\Im$ , C — вектор, ортогональный исходным в $\Im$ .

1.7. Произведение кватернионов как сумма билинейных отображений

Если рассматривать кватернион как вектор, описывающий объект в заранее определённом базисе, то множество кватернионов представляет собой просто совокупность таких векторов, приведённых к одному четырёхмерному базису $(\hat{h}, \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k})$ .
В нём каждая из частей кватернионного произведения может быть представлена билинейным отображением, а само кватернионное произведение — их суммой:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1& = & [x^0, \vec{q}_1 ] \\ & & = & x^0 \hat{h} + x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k} , \\ & \mathbf{q}_2 & = & [y^0, \vec{q}_2 ] \\ & & = & y^0 \hat{h} + y^1 \hat{\imath} + y^2 \hat{\jmath} + y^3 \hat{k} : \\ & \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 & = & \mathbf{q}_1 \ast \mathbf{q}_2 + \mathbf{q}_1 \diamond \mathbf{q}_2 + \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 \\ & & = & x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 + x^0 \vec{q}_2 + y^0 \vec{q}_1 + \vec{q}_1 \times \vec{q}_2 \\ & & = & A + B + C \\ & A & = & \mathbf{q}_1 \ast \mathbf{q}_2 \\ & & = & x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 \\ & & = & \sum_{ \mu, \nu =1 }^4 A_{\mu \nu} x^\mu y^\nu \\ & B & = & \mathbf{q}_1 \diamond \mathbf{q}_2 \\ & & = & x^0 \vec{q}_2 + y^0 \vec{q}_1 \\ & & = & \sum_{ \mu, \nu =1 }^4 B_{\mu \nu} x^\mu y^\nu\\ & C & = & \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 \\ & & = & \vec{q}_1 \times \vec{q}_2 \\ & & = & \sum_{ \mu, \nu =1 }^4 C_{\mu \nu} x^\mu y^\nu \\ & \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 & = & \sum_{ \mu, \nu =1 }^4 \left( ( A_{\mu \nu} + B_{\mu \nu} + C_{\mu \nu} ) x^\mu y^\nu \right) \\ & & = & ( A_{\mu \nu} + B_{\mu \nu} + C_{\mu \nu} ) \ x^\mu y^\nu \\ \end{array}$

где $A_{\mu \nu}, \ B_{\mu \nu}, \ C_{\mu \nu}$ — матрицы интраскалярного, компланарного и векторного произведений, а $x^\mu y^\nu$ — «координаты» векторов (вещественные коэффициенты $ a, b, c, d $ кватернионов). В последней строке предполагается суммирование по соглашению Эйнштейна.
Матрицы A, B, C компонент кватернионного произведения будут равны:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1& = & x^0 \hat{h} + x^1 \hat{\imath} + x^2 \hat{\jmath} + x^3 \hat{k} , \\ & \mathbf{q}_2 & = & y^0 \hat{h} + y^1 \hat{\imath} + y^2 \hat{\jmath} + y^3 \hat{k} , \\ & \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 & \in & \mathbb{H} : \\ & \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 & = & ( \mathbf{q}_1 \ast \mathbf{q}_2 ) + ( \mathbf{q}_1 \diamond \mathbf{q}_2 ) + ( \mathbf{q}_1 \times \mathbf{q}_2 ) \\ & & = & ( \color{red}{A_{\mu \nu}} + \color{green}{B_{\mu \nu}} + \color{blue}{C_{\mu \nu}} ) x^\mu y^\nu \\ & & = & (x^0 y^0 \hat{h}^2 + x^1 y^1 \hat{\imath}^2 + x^2 y^2 \hat{\jmath}^2 + x^3 y^3 \hat{k}^2 ) + \\ & & + & (x^0 y^1 \hat{h} \hat{\imath} + x^0 y^2 \hat{h} \hat{\jmath} + x^0 y^3 \hat{h} \hat{k} + x^1 y^0 \hat{\imath} \hat{h} + x^2 y^0 \hat{\jmath} \hat{h} + x^3 y^0 \hat{k} \hat{h} ) + \\ & & + & (x^1 y^2 \hat{\imath} \hat{\jmath} + x^1 y^3 \hat{\imath} \hat{k} + x^2 y^1 \hat{\jmath} \hat{\imath} + x^2 y^3 \hat{\imath} \hat{k} + x^3 y^1 \hat{h} \hat{\imath} + x^3 y^2 \hat{k} \hat{\jmath} ) \\ & & = & \sum_{ \mu, \nu =1 }^4 \color{red}{ \left( \matrix{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 } \right) } x^\mu y^\nu + \\ & & + & \sum_{ \mu, \nu =1 }^4 \color{green}{ \left( \matrix{ 0 & \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ \hat{\imath} & 0 & 0 & 0 \\ \hat{\jmath} & 0 & 0 & 0 \\ \hat{k} & 0 & 0 & 0 } \right) } x^\mu y^\nu + \\ & & + & \sum_{ \mu, \nu =1 }^4 \color{blue}{ \left( \matrix{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \hat{k} & -\hat{\jmath} \\ 0 & -\hat{k} & 0 & \hat{\imath} \\ 0 & \hat{\jmath} & -\hat{\imath} & 0 } \right) } x^\mu y^\nu \\ \end{array}$

Не сложно убедиться, что каждая из матриц описывает билинейное отображение (A, B, C), то есть для каждой операции выполняются следующие соотношения:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3 & \in & \mathbb{H} , \\ & \mathbf{F} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) & = & \mathbf{A} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) \lor \mathbf{B} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) \lor \mathbf{C} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) : \\ & \mathbf{F} ( \mathbf{q}_1 + \mathbf{q}_2 , \mathbf{q}_3 ) & = & \mathbf{F} ( \mathbf{q}_1 , \mathbf{q}_3 ) + \mathbf{F} (\mathbf{q}_2 , \mathbf{q}_3 ) , \\ & \mathbf{F} (\mathbf{q}_1 , \mathbf{q}_2 + \mathbf{q}_3 ) & = & \mathbf{F} ( \mathbf{q}_1 , \mathbf{q}_2 ) + \mathbf{F} ( \mathbf{q}_1 , \mathbf{q}_3 ) , \\ & \mathbf{F} ( \lambda \mathbf{q}_1 , \mathbf{q}_2 ) & = & \lambda \mathbf{F} ( \mathbf{q}_1 , \mathbf{q}_2 ) , \\ & \mathbf{F} ( \mathbf{q}_1 , \lambda \mathbf{q}_2 ) & = & \lambda \mathbf{F} ( \mathbf{q}_1 , \mathbf{q}_2 ) , \qquad \forall \lambda \in \mathbb{R} \\ \end{array}$

При этом $\mathbf{A} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) \in \mathbb{R}$ , cледовательно, отображение $\mathbf{A}: \mathbb{H} \times \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{R}$ в базисе $(\hat{h}, \hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k})$ является симметричной, невырожденной, билинейной формой.
Оба оставшихся отображения создают образы, которые являются векторами во мнимом подпространстве $\Im \in \mathbb{H}$ :

$\mathbf{B} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) \in \Im \ \Rightarrow \mathbf{B}: \mathbb{H} \times \mathbb{H} \rightarrow \Im \\ \mathbf{C} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) \in \Im \ \Rightarrow \mathbf{C}: \mathbb{H} \times \mathbb{H} \rightarrow \Im$

Отображение, задаваемое квадратичной формой, будем называть собственным отображением элемента и для краткости указывать только один вектор в скобках, таким образом $\mathbf{A} ( \mathbf{q} )$ — собственное вещественное отображение элемента $\mathbf{q}$ , $\mathbf{B} ( \mathbf{q} )$ — собственное мнимое отображение, их сумма — полное собственное отображение элемента.

1.8. Норма пространства кватернионов

Стандартной нормой пространства кватернионов, как известно, является модуль:

$\| \mathbf{q} \| = | \mathbf{q} | = \sqrt{\mathbf{q} \overline{ \mathbf{q}} }$

В основании этой нормы лежит также билинейная форма, обозначим её E, и определим:

$\mathbf{E} ( \mathbf{q}_1 , \mathbf{q}_2 ) = \frac{1}{2} ( \overline{\mathbf{q}}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \overline{ \mathbf{q}}_2 \circ \mathbf{q}_1 ) = x^0 y^0 + x^1 y^1 + x^2 y^2 +x^3 y^3$

Она полярна квадратичной форме вида:

$\mathbf{E} ( \mathbf{q}, \mathbf{q} ) = \overline{\mathbf{q}} \circ \mathbf{q} = x^0 x^0 + x^1 x^1 + x^2 x^2 +x^3 x^3 = | \mathbf{q} |^2$

Если вводить норму на пространстве через форму E, то скалярным свойством всякого вектора в пространстве будет его модуль. Наличие модуля в смысле нормы вектора позволяет представлять произвольный элемент в виде произведения скалярной величины на единичный кватернион:

$\mathbf{q} = | \mathbf{q} | \hat{\mathbf{q}}$

Для пространства $\mathbb{H}$ с заданной на нём нормой в виде экстраскалярного произведения выполняются все аксиомы, необходимые, чтобы считать пространство евклидовым:

$$ \begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1 & = & [x^0, \vec{q}_1 ] , \\ & \mathbf{q}_2 & = & [y^0, \vec{q}_2 ] , \\ & \mathbf{q}_3 & = & [z^0, \vec{q}_3 ] : \\ 1^\circ. & ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2) & = & \mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{q}_2 \\ & & = & [ x^0 y^0 + \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 ] \\ & & = & ( \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_1) \qquad \in \mathbb{R}. \\ 2^\circ. & ( \mathbf{q}_1 + \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3 ) & = & ( [ x^0 + y^0 , \vec{q}_1 + \vec{q}_2] , [ z^0 , \vec{q}_3] ) \\ & & = & x^0 z^0 + y^0 z^0 + \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_3 + \vec{q}_2 \cdot \vec{q}_3 \\ & & = & (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_3) + (\mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3) \qquad \in \mathbb{R}. \\ 3^\circ. & (\lambda \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2) & = & ( \lambda [x^0, \vec{q}_1] , [y^0, \vec{q}_2] ) \\ & & = & [ \lambda x^0 y^0 + \lambda \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 ] \\ & & = & \lambda [ x^0 y^0 + \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 ] \\ & & = & \lambda ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) \qquad \forall \ \lambda \in \mathbb{R}. \\ 4^\circ. & ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_1 ) & = & ( x^0 )^2 + ( \vec{q}_1 )^2 \\ & & > & 0 \qquad \forall \ \mathbf{q}_1 \ne 0. \end{array} $» /> В евклидовом пространстве любую билинейную форму можно всегда выразить через некоторый линейный оператор следующим образом: <img src=$

Для случая билинейной формы самого эсктраскалярного произведения как нормы получается $\mathbf{U} = 1$ :

$\mathbf{E} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) = ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 )$

Данная норма ставит в соответствие любому произвольному элементу множества кватернионов скалярную величину, что позволяет ввести деление как умножение на обратный элемент. Существование единственного обратного элемента для каждого кватерниона и отсутствие нетривиальных делителей нуля у формы E делает кватернионы алгеброй с делением.

1.9. Форма интраскалярного умножения

Рассмотрим теперь первое из трёх билинейных отображений, составляющих кватернионное произведение. Напомню билинейное отображение A является билинейной формой и задаётся следующим образом:

$\begin{array}{cccl} & \mathbf{A} (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2) & = & \mathbf{q}_1 \ast \mathbf{q}_2 \\ & & = & \frac{1}{2} ( \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \overline{ \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 } ) \\ & & = & x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 \\ & & = & \sum_{ \mu, \nu =1 }^4 A_{\mu \nu} x^\mu y^\nu \\ & & = & \sum_{ \mu, \nu =1 }^4 \left( \matrix{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 } \right) x^\mu y^\nu \end{array}$

Линейный оператор, соответствующий данной билинейной форме, должен соответствовать следующему тождеству:

$\begin{array}{cccl} & \mathbf{A} (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) & = & ( \mathbf{U} \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) \\ & & = & \mathbf{E} ( \mathbf{U}\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) : \\ & \mathbf{A} (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) & = & \frac{1}{2} ( \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \overline{ \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 } ) \\ & & = & \frac{1}{2} ( \overline{ \mathbf{U} \mathbf{q}_1 } \circ \mathbf{q}_2 + \overline{ \mathbf{q}_2 } \circ \mathbf{U} \mathbf{q}_1 ) \end{array}$

Невооружённым взглядом видно, что оператор должен выполнять операцию сопряжения (сопряжение линейно) для целевого вектора (вообще говоря, любого из пары, потому что форма A симметрична): $\mathbf{U} \mathbf{q}_1 = \overline{\mathbf{q}}_1$ .
Таким образом, на поле кватернионов можем утверждать выполнение равенств (1):

$\begin{array}{cccl} & \mathbf{A} (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) & = & \frac{1}{2} ( \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 + \overline{ \mathbf{q}_1 \circ \mathbf{q}_2 } ) , \\ & \mathbf{E} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) & = & \frac{1}{2} ( \overline{ \mathbf{q}_1 } \circ \mathbf{q}_2 + \overline{ \mathbf{q}_2 } \circ \mathbf{q}_1 ) : \\ (1) & \mathbf{A} (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) & = & \mathbf{E} ( \overline{\mathbf{q}}_1, \mathbf{q}_2 ) \\ & & = & \mathbf{E} ( \mathbf{q}_1, \overline{\mathbf{q}}_2 ) \\ \end{array}$

И обратных как результат инволюции сопряжения и симметричности форм:

$\begin{array}{cccl} & \mathbf{E} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) & = & \mathbf{A} ( \overline{\mathbf{q}}_1, \mathbf{q}_2 ) \\ & & = & \mathbf{A} ( \mathbf{q}_1, \overline{\mathbf{q}}_2 ) \\ (1) & \mathbf{q}_1 \ast \mathbf{q}_2 & = & \overline{\mathbf{q}}_1 \cdot \mathbf{q}_2 = \mathbf{q}_1 \cdot \overline{\mathbf{q}}_2 \\ & \mathbf{q}_1 \cdot \mathbf{q}_2 & = & \overline{\mathbf{q}}_1 \ast \mathbf{q}_2 = \mathbf{q}_1 \ast \overline{\mathbf{q}}_2 \\ \end{array}$

Доказывается прямой подстановкой.
Что же нам мешает принять интраскалярное произведение в качестве нормы на пространстве кватернионов (а кто об этом не задумался, глядя на матрицу A?!)?
Во-первых, нарушается четвёртая аксиома о положительности скалярного произведения ненулевых элементов:

$$ \begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1 & = & [x^0, \vec{q}_1 ] , \\ & \mathbf{q}_2 & = & [y^0, \vec{q}_2 ] , \\ & \mathbf{q}_3 & = & [z^0, \vec{q}_3 ] : \\ 1^\circ. & \mathbf{A} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2) & = & \mathbf{q}_1 \ast \mathbf{q}_2 \\ & & = & [ x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 ] \\ & & = & \mathbf{A} ( \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_1) \qquad \in \mathbb{R}. \\ 2^\circ. & \mathbf{A} ( \mathbf{q}_1 + \mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3 ) & = & ( [ x^0 + y^0 , \vec{q}_1 + \vec{q}_2] , [ z^0 , \vec{q}_3] ) \\ & & = & x^0 z^0 + y^0 z^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_3 - \vec{q}_2 \cdot \vec{q}_3 \\ & & = & \mathbf{A} (\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_3) + \mathbf{A} (\mathbf{q}_2, \mathbf{q}_3) \qquad \in \mathbb{R}. \\ 3^\circ. & \mathbf{A}(\lambda \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2) & = & ( \lambda [x^0, \vec{q}_1] , [y^0, \vec{q}_2] ) \\ & & = & [ \lambda x^0 y^0 - \lambda \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 ] \\ & & = & \lambda [ x^0 y^0 - \vec{q}_1 \cdot \vec{q}_2 ] \\ & & = & \lambda \mathbf{A}( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) \qquad \forall \ \lambda \in \mathbb{R}. \\ 4^\circ. & \mathbf{A} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_1 ) & = & ( x^0 )^2 - ( \vec{q}_1 )^2 \\ & & <=> & 0. \end{array} $» /> В результате чего, мы получаем не евклидово, а псевдоевклидово пространство, заданное билинейной формой с сигнатурой, соответствующей пространству Минковского <img src=$ .
Так что эту помеху в интересах физики обошли давно.
Вторым препятствием для введения интраскалярного произведения в качестве нормы является наличие нетривиальных делителей нуля. Действительно, если приравнять результат действия формы на два произвольных элемента нулю:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{q}_1 & = & |\mathbf{q}_1| ( \cos\xi + \hat{q}_1 \sin\xi ) , \\ & \mathbf{q}_2 & = & |\mathbf{q}_2| ( \cos \zeta + \hat{q}_2 \sin\zeta ) , \\ & \mathbf{A} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) & = & |\mathbf{q}_1| |\mathbf{q}_2| ( \cos\xi \ \cos\zeta - \sin\xi \ \sin\zeta \cos\Upsilon ) \\ & & = & 0 : \\ & |\mathbf{q}_1| |\mathbf{q}_2| & \ne & 0 \Rightarrow \\ & \cot\xi \ \cot\zeta & = & \cos\Upsilon \\ \end{array}$

где $\Upsilon$ — 3-пространственный угол в $\Im$ между $\hat{q}_1$ и $\hat{q}_2$ , видно, что каждому элементу $\mathbf{q}_1$ с аргументом $\xi$ найдётся множество таких ненулевых векторов $\mathbf{q}_2$ , что их интраскалярное произведение будет равно нулю. То есть все они будут нетривиальными делителями нуля.
Однако, если пристальнее взглянуть на условие обнуления интраскалярного произведения
можно заметить, что $\mathbf{q}_1$ и $\mathbf{q}_2$ качественно различны для произвольного $\Upsilon$ .
Выделим в $\mathbb{H}$ три непересекающихся подпространства:

$\begin{array}{cccl} 1. & \mathbb{T} & \subset& \mathbb{H} : \\ & \mathbf{A} ( \mathbf{q} ) & > & 0 \\ & & \Downarrow & \\ & \mathbf{q} & \in & \mathbb{T} . \\ 2. & \mathbb{S} & \subset& \mathbb{H} : \\ & \mathbf{A} (\mathbf{q}) & < & 0 \\ & & \Downarrow & \\ & \mathbf{q} & \in & \mathbb{S} . \\ 3. & \mathbb{P} & \subset& \mathbb{H} : \\ & \mathbf{A} ( \mathbf{q} ) & = & 0 \\ & & \Downarrow & \\ & \mathbf{q} & \in & \mathbb{P} . \\ \end{array}$

Совокупно $\mathbb{S} + \mathbb{T} + \mathbb{P} = \mathbb{H}$ полностью накрывают множество $\mathbb{H}$ .
Если принять вещественную координату за время, а три мнимые за пространственные координаты, то подпространство $\mathbb{T}$ (time) будет аналогично конусу времениподобных векторов, $\mathbb{S}$ (space) — конусу пространственноподобных векторов, а $\mathbb{P}$ (photon) — световому конусу (граница), принятым в СТО.
Если разобраться с условием обнуления формы двух произвольных элементов, представив его так:

$\begin{array}{cccll} & \cot\xi & = & \cos\Upsilon\ \cot ( \frac{\pi}{2} - \zeta ) : \\ & \xi & \in & [ 0, \frac{\pi}{4} ) \\ & & \Downarrow & \\ & \zeta & \in & [\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4} ) & \cos \Upsilon \in (0, 1] \\ & \zeta & \in & [ -\frac{\pi}{2} , -\frac{\pi}{4} ) & \cos \Upsilon \in [-1, 0) \\ & \zeta & = & \pm \frac{\pi}{4} & \cos \Upsilon = 0 \\ \end{array}$

То, возвращаясь к билинейной форме $\mathbf{A} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 )$ , из приведённого уравнения обнаружим, что $\mathbf{q}_1$ и $\mathbf{q}_2$ всегда относятся к разным подпространствам, кроме пограничного случая:

$\begin{array}{cccl} ] & \mathbf{A} ( \mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2 ) & = & 0 : \\ 1. & \mathbf{q}_1 & \in & \mathbb{T} \\ & & \Downarrow & \\ & \mathbf{q}_2 & \in & \mathbb{S} . \\ 2. & \mathbf{q}_1 & \in & \mathbb{S} \\ & & \Downarrow & \\ & \mathbf{q}_2 & \in & \mathbb{T} . \\ 3. & \mathbf{q}_1 & \in & \mathbb{P} \\ & & \Downarrow & \\ & \mathbf{q}_2 & \in & \mathbb{P} . \\ \end{array}$

Ремарка: уже после написания этой части наткнулся на статью 1946 года мистера А.У. Конуэя, где по такому же принципу вводится понятие обратных относительно 3-конуса тетрад. Кому-то может быть там будет нагляднее.

Таким образом, если мы, исходя из соображений применения формы, считаем, что физических объектов типа $\mathbb{T}$ не существует (скорость больше скорости света) и под этим предлогом исключаем их из рассмотрения, то единственным нулевым случаем формы останется взаимодействие элементов множества $\mathbb{P}$ . Но нулевая норма элементов светового конуса — снова принятая данность теории относительности, то есть и эту преграду уже обошли.
Означает ли это, что форму A можно ввести в качестве нормы на пространстве кватернионов, чтобы получить псевдоевклидово пространство изоморфное пространству Минковского и использовать его для каких-то утилитарных задач?
Ваши ответы в комментариях могут косвенно поспособствовать освоению космоса нашими потомками. А могут не способствовать, смотрите сами.
Далее рассмотрим некоторые инструменты алгебры кватернионов.

1.10. Поворот базиса во мнимом пространстве

Поворот базиса в пространстве кватернионов не очень востребован, хоть, в принципе, возможен. Источников, на которые можно было бы просто дать ссылку, я не нашёл, поэтому разберём этот вопрос.
Вследствие изоморфизма между евклидовым вещественным трёхмерным пространством и мнимым пространством кватерниона переход осуществляется похоже. Представим орты сферической системы координат, подразумевая под базисом $(\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k})$ уже мнимую тройку вместо вещественной:

$\begin{array}{ccl} \mathbf{e}_1 & = & \sin\theta \cos\phi \ \hat{ \imath } + \sin\theta \sin \phi \ \hat{ \jmath } + \cos\theta \ \hat{k} \\ \mathbf{e}_2 & = & \cos \theta \ \cos\phi \ \hat{ \imath } + \cos \theta \ \sin\phi \ \hat{ \jmath } - \sin\theta \ \hat{ k } \\ \mathbf{e}_3 & = & -\sin\phi \ \hat{ \imath } + \cos\phi \ \hat{ \jmath } \\ \end{array}$

Не сложно убедиться, что вне зависимос