Космология. Подробный разбор решения Фридмана09.07.2020 17:17

Habritants! Когда в процессе моего ознакомления с темой решения уравнений общей теории относительности для метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера выяснилось, что единого транспарентного материала на эту тему на русском языке нет, я решил запостить разбор в виде статьи, заодно ещё раз самому лучше вникнув в тему.
Всем желающим найти собственное решение уравнений общей теории относительности Эйнштейна или просто лучше понять бытие посвящается.

В статье «О кривизне пространства» , в которой Фридман впервые приводит решение ОТО для нестационарной Вселенной, Александр Александрович указывает лишь метрику в виде интервала и уравнения-результат, справедливо полагая само решение не заслуживающей внимания рутиной.
Но в поисках «вариаций на тему» рутина горит как кокс. Поэтому — в путь.

Для понимания материала необходимы знания алгебры: понятие о производных в большей степени; тензорная — в меньшей.

Метрика

Рассмотрим получение метрики FLRW, которая по сути является основанием решения Фридмана, начав с упрощённого случая. Полностью и достаточно подробно, но без пояснений, хорошо описано здесь (pdf).
I. Представим одномерное пространство $\psi$ , с протянутой внутри него осью $x'$ , равномерно искривлённым:

Можно сказать, что пространство $\psi$ является одномерной гиперповерхностью постоянной кривизны в двухмерном пространстве (x, y).
Зададим произвольную точку $A(x')$ в пространстве $\psi$ , тогда с одной стороны, длина перемещения из точки A в любую сторону пространства $\psi$ определяется формулой (1):

$dl^2=dx^2+dy^2$

где $x, y$ — координаты в декартовой системе координат, смещённой относительно $\psi$ , то есть имеющей начало O вне рассматриваемого пространства.
С другой же стороны, кривизна $\psi$ характеризуется радиусом R, который задан формулой (2):

$R^2=x^2+y^2$

Продифференцируем (2), чтобы получить взаимозависимость скоростей изменения координат $x$ и $y$ : $0=xdx+ydy$ . Или:

$dy=-\frac{xdx}{y}$

Заметки на полях. Форма зависимости $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ замечательно резонирует с отношением из доказательства Харди теоремы Пифагора: $\frac{dc}{da}=\frac{a}{с}$ (a — катет, c — гипотенуза).
В нашем случае катеты нелинейно перерастают друг в друга при постоянной гипотенузе.

Подставляем $dy$ отсюда в (1), и выражаем $y$ через $R$ : $dl^2=dx^2+dy^2=dx^2+\frac{x^2dx^2}{y^2}=dx^2+\frac{x^2dx^2}{R^2-x^2}$
$\frac{dl^2}{dx^2}=1+\frac{x^2}{R^2-x^2}=\frac{R^2}{R^2-x^2}$
Получим:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-\frac{x^2}{R^2}}$

Если пространство плоское ( $R \rightarrow ∞$ ) $\frac{dl^2}{dx^2}=1$ . Как если бы перед $x^2$ был ноль.
Если пространство положительной кривизны, у длины появляется отклонение, зависящее от $R$ . Множитель перед $x^2$ в этом случае $k=1$ .
Для отрицательной кривизны знак множителя надо изменить на отрицательный ( $k=-1$ ). Можно представить все три случая так:

$\frac{dl^2}{dx^2}=\frac{1}{1-k\frac{x^2}{R^2}}$

Чем дальше мы движемся в таком пространстве $\psi$ при неизменном радиусе кривизны $R$ , тем хуже (проходим всё меньшее расстояние) у нас будет это получаться в сферическом пространстве, без изменений в плоском, и лучше (большее расстояние) в гиперболическом.

II. Расширим пространство $\psi$ до трёхмерного (x, y, z). Будем подразумевать, что радиус его кривизны $R$ одинаков в каждой точке, как если бы оно было поверхностью 3-сферы — все три оси скручены подобно оси $x'$ , образуя 3-сферу радиуса $R$ . Произведём те же операции, что для одномерного варианта, чтобы получить уравнение для перемещения в трёхмерном пространстве (3):

Подробно вывод пространственной составляющей в декартовых координатах

$dl^2=dx^2+dy^2+dz^2+\color{red}{\frac{(xdx+ydy+zdz)^2}{R^2-(x^2+y^2+z^2)}}$

Красным — «кривая» часть, отличающая метрику FRW от плоской метрики пространства Минковского.
В таком представлении хорошо видно, что последнее «кривое» слагаемое по осям совсем никак впрямую не разнести, что, в свою очередь, приведёт к появлению недиагональных членов метрического тензора, а это значительно усложнит дальнейшие вычисления (или сделает невозможными, я не пробовал).
Поэтому надо искать обходной путь. Необходимо найти такое координатное представление, чтобы кривизна могла быть выражена отдельно для каждого базисного вектора.
Сферические координаты здесь отлично подходят для раздельного представления кривизны, потому что вторая и третья координата являются углами, и зависимы от кривизны линейно, вместо квадратичной зависимости декартовых координат. Что при первой координате качественно идентичной декартовым всё же даёт возможность выразить кривизну удобным образом (4), так что вся она «сворачивается» в знаменатель множителя при первой координате в виде составляющей $-kr^2$ :

Подробно переход к сферическим координатам и получение представления

$dl^2=\color{red}{\frac{1}{1-k\frac{r^2}{R^2}}}dr^2+\color{green}{r^2}d\theta^2+\color{blue}{r^2\sin^2\theta} d\phi^2$

где
$dr$ — линейная координата (первая),
$d\theta, d\phi$ — угловые координаты (вторая и третья),
$k=-1,0,1$ ;
и получается, что члены метрического тензора, выделенные цветом (по очереди — красный, зелёный, синий):
$\gamma_{11}=\left( 1-k\frac{r^2}{R^2} \right)^{-1}$
$\gamma_{22}=r^2$
$\gamma_{33}=r^2\sin^2\theta$
это диагональные члены метрического тензора.

III. Всё? Нет.
Произведём замену первой координаты $r$ , выразив её через радиус кривизны: $r=Rx$ ; $dr=Rdx$ .
Подставим в (4), и получим сопутствующие координаты с сопутствующим расстоянием $x$ , что удобно для расширяющейся Вселенной и изменяющегося $R$ (5):

$dl^2=R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$

Заметки на полях. Последнюю замену , чисто математически можно интерпретировать как переход к углу (sic!) размера , при этом — дуга длины . Это важно. Я вернусь к этому в одной из следующих статей.

$\gamma_{11}=R^2/(1-kx^2)$
$\gamma_{22}=R^2x^2$
$\gamma_{33}=R^2x^2\sin^2\theta$

И вот он наш метрический тензор:

$$display$$\gamma_{ij}=\left[ \matrix{\gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right]=\left[ \matrix{\frac{R^2}{1-kx^2}&0&0\cr0&R^2x^2&0\cr0&0&R^2x^2\sin^2\theta} \right]$$display$$

Тензор пространства-времени

Соберём нашу метрику пространства в интервал, добавив время в (5):

$ds^2=-dt^2+dl^2=\color{magenta}{-1}\cdot dt^2+R^2 \left[ \color{red}{\frac{1}{1-kx^2}}dx^2+\color{green}{x^2}d\theta^2+\color{blue}{x^2\sin^2\theta} d\phi^2 \right]$

Здесь предполагается, что за время $dt$ по оси $t$ точка A перемещается в пространстве $\psi$ на $dl$ . Размерность оси времени равна $c$ (скорость света), при которой $ds^2=0$ (светоподобный интервал равен нулю).
Получим тензор пространства-времени:

$$display$$g_{\mu\nu} = \left[ \matrix{-1&0&0&0\cr 0& \gamma_{11}&\gamma_{12}&\gamma_{13}\cr 0 &\gamma_{21}&\gamma_{22}&\gamma_{23}\cr 0&\gamma_{31}&\gamma_{32}&\gamma_{33}} \right] = \left[ \matrix{\color{magenta}{-1}&0&0&0\cr 0& \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}}&0&0\cr 0 &0&\color{green}{R^2x^2}&0\cr 0&0&0&\color{blue}{R^2x^2\sin^2 \theta}} \right]$$display$$

Символы Кристоффеля второго рода

Для расчёта тензора кривизны нам необходимо определить символы Кристоффеля (коэффициенты связности).
I. Всё начинается с того, что некая точка (частица) движется в отсутствии сторонних сил (ускорение равно нулю) в декартовых координатах $x^i=(x,y,z)$ :

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2} = 0$

где $x^i=|i=1,2,3|=x,y,z$ .
Однако, если перейти к сферическим координатам $(x,y,z) \rightarrow (r,\theta,\phi)$ , это простое тождество впрямую работать уже не будет.
Необходимо сначала цивилизованно перейти к координатам $x'^j=(r,\theta,\phi)$ :

$\frac{\partial x^i}{\partial t} = \color{red}{\left( \frac{\partial x^i}{\partial x'^j} \right)} \frac{\partial x'^j}{\partial t}$

Красным — члены матрицы трансформации (якобианы):

$$display$$\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}=\left (\matrix{\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\cr\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&-r\sin\theta\cos\phi\cr\cos\theta&-r\sin\theta&0} \right)$$display$$

Осталось продифференцировать ещё раз по времени:

$\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial x^i}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left( \color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j} } \frac{\partial x'^j}{\partial t}\right)$

Получим:

$\frac{\partial^2 x^i}{\partial t^2}=\color{red}{\frac{\partial x^i}{\partial x'^j}}\frac{\partial^2 x'^j}{\partial t^2}+\frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k}\frac{\partial x'^j}{\partial t} \frac{\partial x'^k}{\partial t}=0$

Таким образом, получается условие отсутствия ускорения в сферических координатах. Мы можем лишь привести его к более удобному виду. В левом слагаемом якобиан остаётся нетронутым из-за прелести дифференцирования по частям, в правом слагаемом от якобиана берётся производная.
Видно, что если мы домножим последнее представление на инвертированный якобиан, мы «освободим» ускорение по одной из координат (зелёным), приведя его к виду исходного в декартовых:

$\color{green}{\frac{\partial^2 x'^l}{\partial t^2}} + \color{magenta}{\left[ \left( \left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^l \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^j \partial x'^k} \right]}\frac{\partial x'^j}{\partial t}\frac{\partial x'^k}{\partial t} = 0$

И вот та монструозная маджента, получившаяся в правом слагаемом в качестве множителя при производных координат $x'^j,x'^k$ , и есть символ Кристоффеля второго рода (6):

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\left (\left\{ \frac{\partial x}{\partial x'}\right\}^{-1}\right)_i^\color{red}{l} \frac{\partial^2 x^i}{\partial x'^\color{green}{j} \partial x'^\color{blue}{k}}$$display$$

То есть символы Кристоффеля характеризуют метрику в том, насколько её форма искажает значение по каждой из координат при переносе некоторой точки относительно начала координат.
Ещё проще, символы Кристоффеля — это множители базисных векторов, соответствующие их переносу в пространстве, заданном метрикой.

II. Несомненный плюс предыдущего способа представления коэффициентов связности в том, что он одновременно даёт понятие об уравнении геодезической. Но, возможно, кому-то будет понятнее вариант представления символов Кристоффеля через дифференцирование базисных векторов. Очень понятно расписано в книге Ю.А. Аменадзе «Теория упругости» (pdf, параграф 4).
Дело в том, что изменение метрики от точки к точке означает изменение базисных векторов в этих точках. Удобно выразить изменение базисного вектора через его производную.
Так как в криволинейной системе координат базисные векторы являются функциями, аргументом которых является положение точки, то и производные взятые прямо по координатам будут отличны от нуля (7):

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$

Множителем при полученном в результате такого дифференцирования векторе будет символ Кристоффеля второго рода.
Видно, что $\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}$ — это множитель при базисном векторе $inline$\vec{e_\color{red}{x'^l}}$inline$, соответствующий его искривлению при перемещении базисного вектора $inline$\vec{e_\color{green}{x'^j}}$inline$ по оси $\color{blue}{x'^k}$ :
$\color{red}{l}$ — координата базисного вектора, при котором стоит коэффициент;
$\color{green}{j}$ — координата изменяемого базисного вектора;
$\color{blue}{k}$ — координата по которой отслеживается изменение.
То есть для декартовых координат, перенос точки в которых не влияет на размер базисных векторов, все символы будут равны нулю. Это очевидно так же, как и то, что при переносе точки в сферических координатах, величина базисных векторов угловых величин (второй и третьей координат) меняется. В некотором роде, это плата за линейность кривизне.
В метрике FRW, отличной от сферической наличием множителя при первой координате, в результате собственно этой её особенности, перенос базиса вдоль первой координаты также приведёт к его изменению.
Рассчитать коэффициенты связности можно, пользуясь формулой из их определения.

Например

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x'^j}}}{\partial \color{blue}{x'^k}}=\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}\vec{e_\color{red}{x'^l}}$$display$$

При этом:

$|\vec{e_x}|=\sqrt{g_{xx}}=\sqrt{\frac{R^2}{1-kx^2}}=\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}$

Отсюда:

$$display$$\frac{\partial \vec{e_\color{green}{x}}}{\partial \color{blue}{x}}=\frac{\partial}{\partial x} \left (\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}} \right) =\frac{kx}{1-kx^2}\frac{R}{\sqrt{1-kx^2}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}\vec{e_\color{red}{x}}$$display$$

Собственно, маджента и есть нужный коэффициент:

$$display$$\Gamma^\color{red}{l}_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}=\Gamma^\color{red}{x}_{\color{green}{x}\color{blue}{x}}=\color{magenta}{\frac{kx}{1-kx^2}}$$display$$

Фишка в том, что после дифференцирования нужно вынести требуемый базисный вектор, а остальное утрамбовать.

Но не во всех случаях это удобно, поэтому выведем универсальную формулу.

Выразим

… коэффициент связности через члены тензора пространства-времени:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}m}(\partial_\color{green}{j}g_{m\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{m\color{green}{j}}-\partial_mg_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$

Подразумевая, что сокращения следует читать так

III. Теперь уже можно от вопроса теоретического представления переходить к прагматическому вопросу получения коэффициентов.
В нашем случае, когда все члены по несовпадающим индексам равны нулю ( $g^{lm} = |l \neq m| = 0$ ), мы можем ещё немного упростить полученную формулу:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}(\partial_\color{green}{j}g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}+\partial_\color{blue}{k}g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}-\partial_\color{red}{l}g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}})$$display$$

что полностью выглядит так:

$$display$$\Gamma_{\color{green}{j}\color{blue}{k}}^\color{red}{l}=\frac{1}{2}g^{\color{red}{l}\color{red}{l}}\left (\frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{blue}{k}}}{\partial x^\color{green}{j}}+\frac{\partial g_{\color{red}{l}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{blue}{k}}-\frac{\partial g_{\color{blue}{k}\color{green}{j}}}{\partial x^\color{red}{l}} \right)$$display$$

Всё, осталось только внимательно и аккуратно посчитать.

Все нулевые коэффициенты связности метрики FLRW

Все ненулевые коэффициенты связности метрики FLRW

Скомпонуем для наглядности, и можно переходить к заключительной части.

$$display$$\Gamma^t = \left (\matrix{\Gamma_{tt}^t & \Gamma_{tx}^t&\Gamma_{t\theta}^t & \Gamma_{t\phi}^t \cr \Gamma_{x t}^t & \Gamma_{xx}^t&\Gamma_{x\theta}^t & \Gamma_{x\phi}^t \cr \Gamma_{\theta t}^t & \Gamma_{\theta x}^t & \Gamma_{\theta\theta}^t & \Gamma_{\theta\phi}^t \cr \Gamma_{\phi t}^t & \Gamma_{\phi x}^t&\Gamma_{\phi\theta}^t & \Gamma_{\phi\phi}^t} \right) = \left (\matrix{0&0&0&0 \cr 0&\frac{RR'}{1-kx^2}&0&0 \cr 0&0&x^2RR'&0 \cr 0&0&0& x^2\sin^2\theta^2RR'} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^x=\left (\matrix{\Gamma_{tt}^x & \Gamma_{t x}^x & \Gamma_{t\theta}^x & \Gamma_{t\phi}^x \cr \Gamma_{x t}^x & \Gamma_{x x}^x & \Gamma_{x \theta}^x & \Gamma_{x \phi}^x \cr \Gamma_{\theta t}^x & \Gamma_{\theta x}^x&\Gamma_{\theta\theta}^x & \Gamma_{\theta\phi}^x \cr \Gamma_{\phi t}^x &\Gamma_{\phi x}^x & \Gamma_{\phi\theta}^x & \Gamma_{\phi\phi}^x} \right) = \left (\matrix{ 0&\frac{R'}{R}&0&0\cr\frac{R'}{R}&\frac{kx}{1-kx^2}&0&0\cr0&0&-x (1-kx^2)&0\cr0&0&0&-x\sin^2\theta (1-kx^2)} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^\theta=\left (\matrix{\Gamma_{tt}^\theta & \Gamma_{t x}^\theta & \Gamma_{t\theta}^\theta & \Gamma_{t\phi}^\theta \cr \Gamma_{x t}^\theta & \Gamma_{x x}^\theta & \Gamma_{x \theta}^\theta & \Gamma_{x \phi}^\theta\cr\Gamma_{\theta t}^\theta & \Gamma_{\theta x}^\theta & \Gamma_{\theta\theta}^\theta & \Gamma_{\theta\phi}^\theta \cr \Gamma_{\phi t}^\theta & \Gamma_{\phi x}^\theta & \Gamma_{\phi\theta}^\theta & \Gamma_{\phi\phi}^\theta} \right) = \left (\matrix{0&0&\frac{R'}{R}&0 \cr 0&0&x^{-1}&0 \cr \frac{R'}{R}&x^{-1}&0&0 \cr 0&0&0&-\sin\theta\cos\theta} \right)$$display$$

$$display$$\Gamma^\phi = \left (\matrix{\Gamma_{tt}^\phi &\Gamma_{t x}^\phi & \Gamma_{t\theta}^\phi & \Gamma_{t\phi}^\phi \cr \Gamma_{x t}^\phi & \Gamma_{x x}^\phi & \Gamma_{x \theta}^\phi & \Gamma_{x \phi}^\phi \cr \Gamma_{\theta t}^\phi & \Gamma_{\theta x}^\phi & \Gamma_{\theta\theta}^\phi & \Gamma_{\theta\phi}^\phi \cr \Gamma_{\phi t}^\phi & \Gamma_{\phi x}^\phi & \Gamma_{\phi\theta}^\phi & \Gamma_{\phi\phi}^\phi} \right) = \left (\matrix{0&0&0&\frac{R'}{R} \cr 0&0&0&x^{-1} \cr 0&0&0&\tan^{-1}\theta \cr\frac{R'}{R}&x^{-1}&\tan^{-1}\theta&0} \right)$$display$$

Тензор кривизны, его свёртка и свёртка свёртки

Тензор Риччи, с которого начинается математическая формулировка уравнений ОТО, является свёрткой тензора кривизны Римана. Скаляр кривизны, присутствующий во втором слагаемом левой части — это уже свёртка тензора Риччи.
То есть всё, что нам нужно — это вычислить компоненты тензора Римана.
I. Компоненты тензора Римана.
Вооружимся формулой расчёта членов тензора кривизны через коэффициенты связности:

$R_{i j k}^l = \frac{\partial \Gamma_{i k}^l}{\partial x^j} + \frac{\partial \Gamma_{j k}^l}{\partial x^i} + \sum_{p=1}^n \left( \Gamma_{i k}^p \Gamma_{j p}^l - \Gamma_{j k}^p \Gamma_{i p}^l \right)$

по которой нам потребуются только члены вида $R^\color{red}{l}_{i \color{red}{l} k}$ , а так как наш тензор пространства-времени диагональный, то ненулевыми будут только компоненты вида $R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}}$ :

$$display$$R^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{red}{l} \color{blue}{k}} = \partial_\color{red}{l}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}} — \partial_\color{blue}{k}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} \color{blue}{k}} + \Gamma^p_{\color{blue}{k} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{red}{l} p} — \Gamma^p_{\color{red}{l} \color{blue}{k}}\Gamma^\color{red}{l}_{\color{blue}{k} p}$$display$$

Здесь подразумевается суммирование по правилу Эйнштейна (по $p=t,x,\theta,\phi$ ).

Примеры расчёта компонентов тензора Римана

$R^x_{t x t}=\partial_x\Gamma^x_{t t} -\partial_t\Gamma^x_{x t} + \Gamma^t_{t t}\Gamma^x_{x t} - \Gamma^t_{x t}\Gamma^x_{t t} +\Gamma^x_{t t}\Gamma^x_{x x} - \Gamma^x_{x t}\Gamma^x_{t x} +$

$+ \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^x_{x \theta} - \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^x_{t \theta} + \Gamma^\phi_{t t}\Gamma^x_{x \phi} - \Gamma^\phi_{x t}\Gamma^x_{t \phi} = 0 - \frac{\partial}{\partial t} \frac{R'}{R} + 0 - 0 + 0 +$

$- \left( \frac{R'}{R} \right)^2 + 0 - 0 + 0 - 0 = - \frac{R''}{R} + \left( \frac{R'}{R} \right)^2 - \left( \frac{R'}{R} \right)^2 = - \frac{R''}{R}$

$R^\theta_{t \theta t} = R^\phi_{t\phi t} = - \frac{R''}{R}$

$R^t_{x t x}=\partial_t\Gamma^t_{x x} - \partial_x\Gamma^t_{t x} + \Gamma^t_{x t}\Gamma^t_{t t} - \Gamma^t_{t x}\Gamma^t_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^t_{t x} - \Gamma^x_{t x}\Gamma^t_{x x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^t_{t \theta} - \Gamma^\theta_{t t}\Gamma^t_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^t_{t \phi} - \Gamma^\phi_{t x}\Gamma^t_{x \phi} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{RR'}{1-kx^2} - 0 + 0 - 0 + 0 -$

$- \frac{R'}{R} \cdot \frac{RR'}{1-kx^2} + 0 - 0 + 0 - 0 = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} - \frac{R'^2}{1-kx^2} = \frac{RR''}{1-kx^2}$

$R^\theta_{x \theta x}=\partial_\theta\Gamma^\theta_{x x} -\partial_x\Gamma^\theta_{\theta x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\theta_{\theta t} - \Gamma^t_{\theta x}\Gamma^\theta_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\theta_{\theta x} - \Gamma^x_{\theta x}\Gamma^\theta_{x x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \theta} - \Gamma^\theta_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\theta_{\theta \phi} - \Gamma^\phi_{\theta x}\Gamma^\theta_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} +$

$+\frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 =$

$= x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2}$

$R^\phi_{x \phi x}=\partial_\phi\Gamma^\phi_{x x} -\partial_x\Gamma^\phi_{\phi x} + \Gamma^t_{x x}\Gamma^\phi_{\phi t} - \Gamma^t_{\phi x}\Gamma^\phi_{x t} +\Gamma^x_{x x}\Gamma^\phi_{\phi x} - \Gamma^x_{\phi x}\Gamma^\phi_{\phi x} +$

$+ \Gamma^\theta_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \theta} - \Gamma^\theta_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \theta} + \Gamma^\phi_{x x}\Gamma^\phi_{\phi \phi} - \Gamma^\phi_{\phi x}\Gamma^\phi_{x \phi} = 0 - \frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} +$

$+ \frac{RR'}{1-kx^2} \cdot \frac{R'}{R} - 0 + \frac{kx}{1+kx^2} \cdot x^{-1} - 0 + 0 - x^{-1} \cdot x^{-1} + 0 - 0 =$

$= x^{-2} + \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2} - x^{-2} = \frac{R'^2}{1-kx^2} + \frac{k}{1-kx^2}$

и т.д.

II. Компоненты тензора Риччи.
Осталось самое простое, сложить:
$R_{tt} = R^m_{tmt} = R^x_{t x t} + R^\theta_{t \theta t} + R^\phi_{t \phi t} = -3\frac{R''}{R}$
$R_{xx} = R^m_{xmx} = R^t_{x t x} + R^\theta_{x \theta x} + R^\phi_{x \phi x} = \frac{RR''}{1-kx^2} + \frac{2R'^2}{1-kx^2} + \frac{2k}{1-kx^2}$
$R_{\theta\theta} = R^m_{\theta m \theta} = x^2RR''+2x^2R'^2+2x^2k$
$R_{\phi\phi} = R^m_{\phi m \phi} = x^2RR''\sin^2\theta+2x^2R'^2\sin^2\theta+2x^2k\sin^2\theta$
И, затем, выразить пространственные составляющие через соответствующие компоненты тензора пространства-времени:

$R_{xx} = \color{red}{\frac{R^2}{1-kx^2}} \frac{1}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$

$R_{\theta\theta} = \color{green}{R^2x^2} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right)$

$R_{\phi\phi} = \color{blue}{R^2x^2\sin^2\theta} \frac{1}{R^2} \left( RR''+2R'^2+2k \right)$

То есть иначе их можно выразить так:

$R_{ii} = \frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)$

Вид «под скляр» готов.

III. Скалярная кривизна.
Формула скаляра:

$R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

Снова подразумевая суммирование по повторяющимся нижним и верхним индексам. Значит, в нашем случае:

$R = \sum_{i=0}^3 (g^{ii}R_{ii})= \sum_{i=0}^3 \left( g^{ii} \frac{g_{ii}}{R^2}(RR''+2R'^2+2K)\right) = 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2}$

Уравнения общей теории относительности

Математическая формулировка ОТО выглядит так:

$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

где $R_{\mu\nu}$ — тензор Риччи, $g_{\mu\nu}$ — тензор пространства времени, $R$ — скаляр Риччи, $\lambda g_{\mu\nu}$ — «мрачная» лямбда, $\pi, G, c$ — вселенские константы, $T_{\mu\nu}$ — тензор энергии-импульса.

«Тензор материи» $T_{\mu\nu}$ у Фридмана определён скромно:

$$display$$T_{\mu\nu} = \left[ \matrix{c^2\rho &0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0 \cr 0&0&0&0} \right]$$display$$

где $c$ — фундаментальная скорость, $\rho$ — плотность массы «пыли».
Такой подход и даёт два уравнения, полученных Фридманом, которые теперь можем получить и мы, подставив заданное $g_{\mu\nu}$ и расчётные $R_{\mu\nu}$ и $R$ .

Для пространственных координат :
$\frac{g_{ii}}{R^2} \left( RR'' + 2R'^2 + 2k \right)-\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii}$

Что после ряда упрощений даст:
$\frac{R'^2}{R^2} + 2\frac{R''R}{R^2} + \frac{k}{R^2} - \lambda = 0$
Для временной координаты :
$-\frac{3R''}{R} -\frac{1}{2} g_{ii} \left( 6\frac{R''}{R}+6 \frac{R'^2}{R^2} +6\frac{k}{R^2} \right) + \lambda g_{ii} = \frac{8\pi G}{c^4}T_{ii}$

Или после упрощения:
$3 \frac{R'^2}{R^2} + 3\frac{k}{R^2} - \lambda = \frac{8\pi G}{c^2} \rho$

Резюме

Если справа вместо тензора энергии-импульса «пыли» подставить тензор энергии-импульса идеальной жидкости, в результате получатся два немного более сложных, чем в оригинальной статье, независимых уравнения, из которых получаются базовые уравнения современной стандартной космологической модели $\Lambda$ -CDM.
Левая, геометрическая часть решения при этом остаётся неизменной.

Надеюсь, кому-то этот разбор будет полезным. Tschuss!