Как с помощью школьных формул по физике я вычислил разгон автомобиля BMW M5 Competition

Немного теории.

Для начала разберемся с тем, что такое лошадиные силы и устроим небольшой экскурс в школьную физику.

1 л.с. — это мощность, затрачиваемая при вертикальном подъёме груза массой 75 кг со скоростью 1 м/с.

F = mg = 75\text{ кг} \cdot 9.8\text{ Н/кг} = 735 \text{ Н} - \text{сила тяжести груза}

Как известно, мощность показывает, какую работу совершает тело в единицу времени:

P = \dfrac{A}{t}

Работа равна произведению силы на перемещение: A = F*S. Учитывая, что скорость V=S/t, получим:

P = F\cdot \dfrac{S}{t} = F\cdot V = 73text{ Н} \cdot 1 \text{ м/с} = 735 \text{ Вт}

Получаем формулу для перевода лошадиных сил в принятую в международной системе СИ единицу измерения мощности — Ватт:

1 \text{ л.с.} = 735 \text{ Вт}

Перейдем к основной части, а именно — к техническим характеристикам автомобиля.

Некоторые характеристики и расчёты будут приводиться приближенно, поскольку мы не претендуем на умопомрачительную точность расчетов, важнее понять физику и математику процесса.

m = 2 тонны = 2000 кг — масса автомобиля (масса авто 1940 кг, считаем что в ней водитель массой 60 кг и больше ничего/никого).
P = 670 л.с. (по паспорту 625 л.с., но реально мощность выше — измерено на динамометрическом стенде в ролике DSC OFF https://www.youtube.com/watch? v=ysg0Depmyjc. В этой статье мы ещё обратимся к замерам отсюда.)
Разгон 0–100 км/ч: 3.2–3.3 с (по паспорту, замерам)
Разгон 100–200 км/ч: 7.5–7.6 с (по паспорту, замерам)

Мощность двигателя генерируется на маховике, потом через сцепление передается в КПП, далее через дифференциалы, привода, карданный вал передается на колёса. В результате эти механизмы поглощают часть мощности и итоговая мощность, поставляемая к колесам, оказывается меньше на 18–28%. Именно мощность на колесах определяет динамические характеристики автомобиля.

У меня нет сомнений в гениальности инженеров БМВ, но, для начала, возьмем для удобства потери мощности 20%.

Вернемся к нашим физическим баранам. Для вычисления разгона нам нужно связать мощность со скоростью и временем разгона. Для этого воспользуемся вторым законом Ньютона:

F = ma, \text{где } F - сила, m - \text{масса тела}, \\a - \text{ускорение, сообщаемое силой } F \text{ телу массой }m.\\a = (V-V_0)/t - ускорение - \text{изменение скорости за время } t.\\S = x_0 + V_0\cdot t + \dfrac{at^2}{2} - \text{путь, пройденный телом за время }t, \\x_0 - \text{начальная координата}, V_0 - \text{начальная скорость}, a - ускорение. \\ \text{Для удобства будем считать }x_0 = 0.\text{ Для разгона }0-100 \dfrac{км}{ч}: V_0 = 0.

Вооружившись этими знаниями, получим конечную формулу:

P = \dfrac{FS}{t}=\dfrac{ma\cdot S}{t} = \dfrac{ma \cdot \dfrac{at^2}{2}}{t} = \dfrac{ma^2t}{2} = \dfrac{m\left(\dfrac{V-V_0}{t}\right)^2 t}{2}=\dfrac{m(\Delta V)^2}{2t}

Выражая отсюда t, получим итоговую формулу для вычисления разгона:

t = \dfrac{m(\Delta V)^2}{2P}

На самом деле в паспорте автомобиля указывается максимальная мощность, достигаемая двигателем при определенном числе оборотов. Ниже приведена зависимость мощности двигателя от числа оборотов (синяя линия). Строго говоря, параметры этой кривой зависят от номера передачи, так что для определенности скажем, что график для 5й передачи.

image-loader.svg

Главное, что мы должны усвоить из этого графика — мощность автомобиля не постоянна во время движения, а увеличивается по мере роста оборотов двигателя.

Перейдем к расчету разгона от 0 до 100 км/ч. Переведем скорость в м/с:

100 \dfrac{км}{ч} = 28 \dfrac{м}{с}

При разгоне от 0 до 100 км/ч автомобиль практически сразу переключается с первой передачи на вторую, и при достижении около 90 км/ч переключается на третью. Будем считать, что на всём протяжении разгона автомобиль разгоняется на второй передаче, причем максимальная мощность будет меньше 670 л.с., поскольку передача ниже пятой. Возьмём в качестве начальной мощности при 0 км/ч мощность 150 л.с. (при 2000 об/мин), конечную — 600 л.с. (7000 об/мин):

Чтобы не считать сложные интегралы для вычисления средней мощности, скажем следующие слова: учитывая приближенный характер наших расчетов, проскальзывание авто при ускорении, а также сопротивление воздуха (хотя при разгоне от 0 до 100 оно играет не такую большую роль, как при разгоне до 200 км/ч), будем считать, что мощность зависит от скорости линейно, тогда средняя мощность при разгоне от 0 до 100 км/ч составляет:

<P>=\dfrac{150+600}{2}=375 \text{ л.с.}» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/4f3/8ee/41e/4f38ee41ebe52fa4d9f57d8fc948b937.svg» /></p>

<p>Пришло время учесть потери мощности, о которых было сказано ранее, а заодно перевести мощность в кВт (1 кВт = 1000 Вт) для удобства. Потери мощности 20%, значит эффективность 80%=0.8: </p>

<p><img alt=

Теперь подставляем всё в конечную формулу:

t = \dfrac{m(\Delta V)^2}{2P} = \dfrac{2 \cdot 10^3 \text{ кг}\cdot \left(28 \dfrac{м}{с} \right)^2}{2\cdot 220 \cdot 10^3 \text{ Вт}} \simeq 3.6 \text{ с}

Получили довольно близкий к «паспортным» 3.3 с результат, ура! Специально не стал ничего дополнительно подгонять, дабы подчеркнуть приближенный характер расчёта, хотя это было довольно просто сделать, взяв, например, чуть больше мощность.

Теперь, ради интереса и проверки самих себя, вычислим разгон 100–200 км/ч.

С ростом скорости растёт трение воздуха, для движения используются более высокие передачи КПП (3-я, 4-я, 5-я), но при этом уменьшается проскальзывание колес. Так что оставим среднюю мощность 375 л.с.

Так делать конечно же нельзя! После 2-й передачи двигатель работает на «комфортных» для себя оборотах 4000–7000 об/мин, поэтому средняя мощность будет гораздо выше, поскольку выше будет начальная мощность для каждой передачи. Здесь уже не получится считать, что автомобиль едет только на 4-й передаче на всем протяжении разгона, но можно считать, что он проехал одинаковые промежутки времени на 3-й, 4-й и 5-й передаче, и пусть график зависимости мощности от числа оборотов для них одинаков, поэтому построим общую условную кривую зависимости мощности от скорости:

image-loader.svg

Опять же, считаем для простоты зависимость мощности от скорости линейной, тогда получаем среднюю и реальную мощность:

<P>=\dfrac{400+600}{2}=500 \text{ л.с.} \\P = P_{реальная}=500\cdot 735 \text{ Вт} \cdot 0.8 \simeq 300 \text{ кВт}» src=«https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/c6e/93a/92e/c6e93a92e92df0aefbbb60716bfbb3f7.svg» /></p>

<p><em>Тогда итоговое время разгона 100–200 км/ч: </em></p>

<p><img alt=

Время разгона «по паспорту» 7.6 с. И снова мы оказались близко к истине!

P.S. не хочу объяснять, откуда взялось (V^2 — V_0^2), можете повыводить на досуге:)

Ну и в общем-то всё. Приведенные рассуждения и вычисления не претендуют на истину в последней инстанции и большую точность, но показывают, что зная «школьные» формулы по физике, можно решать такие интересные задачки, связанные с жизнью.

© Habrahabr.ru