Как приготовить формулу Стирлинга
Все мы любим кошек. Многие даже умеют их готовить. Если у нас есть пятьдесят кошек и пятьдесят печек, то вариантов — сколько может быть комбинаций распихать кошек по печкам — будет факториал от пятидесяти.
Все мы знаем что такое факториал. Мы знаем, что вариантов куда запихать первую кошку будет 50, а у второй уже 49, и значит количество рассчитываемых вариантов на второй кошке будет 50×49 = 2450. Пока мы дойдём до последней кошки то все числа от 50 до 2 будут уже перемножены. И у нас останется одна свободная печка, куда мы последнюю кошку и запихнём.
И пока печки не включены, можно немного подумать, вдруг какой-нибудь из других 30414093201713378043612608166064768844377641568960511999999999999 вариантов расстановки был бы получше.
Умножать столько раз, каков сам аргумент, и каждый раз — на другое число, может быть утомительно. И точно дольше по сравнению с простым возведением в степень. В справочниках существует загадочная формула Стирлинга, которая помогает подсчитать количество вариантов как раз с этой особенностью — не с полной точностью, но зато через возведение в степень.
Я расскажу как в отсутствие справочника можно приготовить формулу Стирлинга в домашних условиях.
Для этого нам понадобится две вещи:
Разложение логарифма.
И
Особенное соотношение двух переменных.
Которое может быть получено из обыкновенного равенства:
Сначала мы применяем логарифм к соотношению и закатываем всё в одну строку.
Затем применяем разложение.
Важно разделить чётные и нечётные элементы.
Парочка сумм в центре растворится, а оставшаяся парочка, наоборот, усилится.
Аккуратно выносим из суммы.
И заменяем его на .
Переносим коэффициент влево, и убираем добавленный в самом начале логарифм, с помощью экспоненты.
Теперь нужно так же аккуратно вынести из суммы вариант с и перенести его влево.
А теперь очень необычная операция: перемножаем сразу все варианты для аргумента .
Всё это закладываем в калькулятор и считаем до появления числа .
После того как достали из калькулятора ждём пока верхний предел остынет, и справа появится коэффициент расхождения.
Теперь по рецепту следует раскрыть произведение через все элементы.
Здесь можно заметить, что для каждой пары соседних множителей числитель левой дроби и знаменатель правой дроби одинаковые, а значит могли бы быть полностью сокращены, если бы степени не отличались. А так как на единицу отличаются, то от каждой дроби остаётся знаменатель, и в результате в общем знаменателе появляется факториал.
Теперь добавим, только это будет совсем другой , он будет равен .
Всё почти готово, последние шаги. Числитель и знаменатель в левой слева части надо оба умножить на . И обе части равенства поделить на .
Вот и всё, если выразить факториал через остальное, то получится
Или
Формула Стирлинга готова. Пользуйтесь.
Сравним результаты.
30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
30363445939381558207983726752112093959052599802286296951906806786,885…
Различие менее 0,17%. Отлично. А с увеличением аргумента точность только возрастает.
Коэффициент расхождения можно принять , будет ещё точнее.
30414051682613860804997032963365614115651020801956774113493318131,530…
Различие меньше 0,00014%.
Итак, считаю, формула даёт качественное приближение, будет полезной для приготовления самых различных любимых блюд. Вкусного вам вечера!