Интересное равенство с двойными суммами
Это равенство интересно тем, что выражения слева и справа отличаются верхними пределами суммирования. Слева стоят бесконечные суммы, справа — конечные. Тем не менее, эти выражения равны при любых действительных x и целых неотрицательных n.
Докажем это.
Начнём с выражения:
Представим in в виде суммы нисходящих степеней:
где i[j]=i (i-1)(i-2)…(i-j+1), а Sn, j — числа Стирлинга второго рода.
Поменяем справа суммы местам:
Получим:
Перенесём экспоненту в левую часть, а справа подставим выражение для чисел Стирлинга:
Слева представим экспоненту в виде ряда, а справа снова переставим суммы:
Сделав справа замену j — i на j получим окончательный результат:
Другие равенства можно посмотреть здесь.
