Грациозное падение: динамика снежинок и турбулентность27.12.2023 11:00

Понятие «зимняя сказка» хоть и связано по большей степени с ожиданием рождественско-новогодних праздников, подарков, выходных/каникул, но эстетика этого периода также важна. А важнейшей составляющей этой зимней эстетики является, конечно же, снег. И чтобы на земле образовались достойные санок сугробы снега, маленьким снежинкам приходится преодолеть весьма сложное путешествие через турбулентную атмосферу. Ученые из Американского института физики (Колледж-Парк, США) провели детальное исследование траектории «полета» снежинок. Как именно ученые проводили свои наблюдения, какие данные были получены, и какие выводы сделаны? Ответы на эти вопросы мы найдем в докладе ученых.

Основа исследования

Конечная скорость Vt падающей частицы определяется балансом между силой гравитации и сопротивлением жидкости. До сих пор не разработано всеобъемлющей теории, описывающей, как частицы оседают в осциллирующих или турбулентных потоках, где частицы не обязательно действуют как индикаторы чистой жидкости, а вместо этого могут пересекать траектории лагранжевой жидкости. Численное моделирование и лабораторные эксперименты показывают, что возможны как отрицательные, так и положительные возмущения от конечной скорости, называемые «loitering» и «sweeping» соответственно. Частицы фиксированного размера, падающие в изотропной турбулентности, могут иметь среднюю скорость осаждения ансамбля Vv, во много раз медленнее или быстрее, чем Vt.

Вопрос о том, как турбулентные движения влияют на инерционные частицы, рассматривался в таких разнообразных областях, как формирование планет, отложение пылевидной угольной золы, перенос спор, перенос брендов лесных пожаров и естественное отложение частиц в океанах. Снежинки в турбулентной атмосфере представляют собой особенно сложный пример. Было обнаружено, что прогнозы моделей погоды и климата, траекторий ураганов, продолжительности жизни облаков и динамики атмосферной конвекции имеют сильную чувствительность к представлениям о том, как быстро падают снежинки, но только с учетом распространения в Vt, а не в Vv.

Это кажущееся упущение отчасти связано с проблемой определения того, как частицы осадков с высокой структурной изменчивостью реагируют на воздушные потоки, а также с неоднородной природой атмосферных потоков. В неподвижном воздухе скорость, с которой оседают замороженные частицы осадков модифицируются их турбулентными следами, которые вызывают такие явления, как флаттер, спиральное движение и дрейф. Если добавить к этому осложнение, связанное с тем, что атмосфера турбулентна, то есть лишь несколько наблюдательных исследований, которые могут дать хоть какую-то информацию. Те, кто исследовал проблему, сделали это, визуализировав прохождение снежинки сквозь световой покров. Они пришли к выводу, что в динамике частиц доминируют размашистые движения, а не барражирование. Однако примечательно, что оценка инерционных свойств снежинок была ограничена отсутствием одновременных измерений плотности и массы снежинок.

Интенсивность турбулентности и взаимодействие между турбулентностью и инерционными частицами обычно определяются с использованием двух безразмерных параметров:

• турбулентное число Рейнольдса-Тейлора на микромасштабе Rλ = u'λ/ν, где u' — среднеквадратическая (rms от root-mean-squared) скорость вдоль ветра, а λ — масштаб турбулентности Тейлора;
• число Стокса St = τp/τη, где τp и τη — временной масштаб реакции частицы и колмогоровский масштаб времени соответственно.

Масштаб времени осаждения частиц определяется выражением τp = Vt/g, где Vt учитывает нелинейное сопротивление, связанное с числами Рейнольдса частиц, превышающими единицу, а g — ускорение свободного падения. Колмогоровский масштаб времени определяется из τη = (ν/ε)½, где ν — кинематическая вязкость, ε — скорость диссипации кинетической энергии турбулентности.

Двумя дополнительными безразмерными параметрами являются модифицированная версия числа Стокса Sν = Vt/u' и коэффициент плотности β = 3pf/(pf + 2ps), где pf и ps — плотности окружающего воздуха и снежинок соответственно.

В рассматриваемом нами сегодня труде ученые представили экспериментальное исследование лагранжевой динамики вертикального ускорения, экстремального ускорения, эксцесса и статистики дисперсии ускорения для широкого диапазона измеренных размеров и плотностей снежинок при атмосферной турбулентности с числами Рейнольдса, охватывающими диапазон 400–67000 и средние по ансамблю числа Стокса от 0.12 до 3.5.

Эксперимент и анализ данных

Для проведения данного исследования ученые использовали новое устройство, разработанное для прямого измерения массы, размера и плотности гидрометеора — дисдрометр дифференциальной излучательной визуализации (DEID от Differential Emissivity Imaging Disdrometer).

Изображение №1

В ходе серии полевых экспериментов, проведенных в высокогорном районе штата Юта в период с октября 2020 года по апрель 2021 года, DEID был развернут наряду с измерениями температуры воздуха, относительной влажности и турбулентности и помещен непосредственно под систему отслеживания частиц, состоящую из лазерного светового листа и однообъективной зеркальной камеры. Все измерения проводились на номинальной высоте 2 м над уровнем снежного покрова (1a), а схема экспериментальной установки показана на 1b.

Система слежения за частицами представляла собой лазерную пластину с объемом выборки 10×18х7 см, ориентированную перпендикулярно углу обзора зеркальной камеры Nikon D850.

Отслеживание снежинок осуществлялось с использованием метода отслеживания скорости частиц (PTV от particle tracking velocimetry) для измерения вертикальных скоростей частиц Vv в лазерном луче для концентраций от 1500 до 2800 м³ (8a) и полосовой скорости частиц (PSV от particle streak velocimetry) для концентраций от 710 до 1460 м³, что также показано на 8a.

Камера записывала изображения размером 1920×1080 пикселей с пространственным разрешением 160 мкм/пиксель со скоростью 120 кадров в секунду внутри вертикального лазерного листа, созданного с использованием трех диодных лазеров мощностью 10 Вт, 520 нм и коллиматорной линзы. Угол распространения лазерного луча ≈6.8° позволил получить световой лист почти постоянной толщины ≈7 см во всей области интереса. Объектив Nikon AF-S VR Micro–Nikkor 105mm f/2.8G IF-ED с одним фокусным расстоянием позволял добиться глубины резкости, превышающей толщину лазерного листа.

Вертикальные скорости частиц Vv и ускорения av были измерены внутри лазерного листа, которые впоследствии можно было сравнить со свойствами турбулентности, полученными на основе измерений звукового анемометра, и оценками конечных скоростей частиц в неподвижном воздухе Vt, полученными на основе микрофизических измерений DEID и известных аэродинамических формул.

Классификация поведения снежинок

Изображения снежинок, полученные системой отслеживания частиц и DEID, используются вместе для классификации типа снежинок в соответствии с методом, изложенным в соответствии с международной классификацией сезонного снега на земле. Математически SDI определяется как отношение площади снежинки, непосредственно измеренной с помощью DEID (As) к площади расплавления сферической капли воды Aw той же массы:

SDI = As / Aw

Площадь оплавления сферической капли оценивается по массе снежинки как:

Aw = (9π / 16)⅓ (m / pw)2/3

где m — масса снежинки, а pw — плотность жидкой воды, принимаемая равной 1000 кг/м³.

SDI, равный единице, соответствует сферической капле дождя, а более высокие значения SDI указывают на более сложную структуру снежинки и, следовательно, на более низкую плотность снежинок.

Результаты исследования

В ходе всего исследования рассматривалось десять тематических исследований, каждое продолжительностью от 3 до 15 минут, охватывающих общую выборку из 533 000 частиц снежинок. Как суммировано в таблице №1, измерения охватывают особенно широкий диапазон мгновенных турбулентных и микрофизических условий по сравнению с предыдущими исследованиями взаимодействий между частицами и турбулентностью: в первую очередь три порядка величины среднего Rλ и три порядка величины St со значениями Rλ от 400 до 67000 и значения St от 0.01 до 12.00, а также первые прямые измерения плотности снежинок от 9 до 285 кг/м³.

Таблица №1

Эффективный диаметр снежинки (Deff) варьировался от 0.5 до 11.9 мм (9a), а соотношение сторон — от 1.0 до 9.3.

Скорость оседания снежинки Vv и конечная скорость Vt находились в пределах от 2.13 до 4.21 м/с и от 0.06 до 3.24 м/с соответственно, а функции распределения вероятностей (PDF от probability distribution function) Vv и Vt для конкретного случая показаны на 9b.

Далее было рассмотрено пять репрезентативных тематических исследований, каждое из которых длится примерно от 3 до 15 минут и охватывает общую выборку из 335000 частиц снежинок.

Таблица №2

Как показано в таблице №2, средние значения каждого параметра включают значения Rλ от 400 до 67000, значения St от 0.12 до 3.51, интегральные масштабы длины Lu от 11 до 198 м и среднюю плотность снежинок от 54 до 87 кг/м³.

Средние скорости осаждения снежинок варьировались от 0.11 до 0.76 м/с, а их средние конечные скорости — от 0.43 до 0.64 м/с.

Диапазон SDI для шести типов снежинок представлен ниже.

Изображение №2

Диапазон SDI для пяти случаев показан в таблице №2, а функция распределения вероятностей представлена на графике ниже.

Изображения №3

Изображения №4

На 4a показаны примеры динамики снежинок в турбулентности. Падающие частицы могут быть невозмущены турбулентными вихрями, когда они плотны с низкими значениями β и высокими значениями St, но могут демонстрировать довольно хаотичные траектории, когда β велико, а St мало (более точно следуя траекториям, связанным с турбулентными вихрями). Скорости осаждения на 4b показывают не только размах, как наблюдалось ранее, но и значительное барражирование.

Крайне асимметричный характер распределения скоростей осаждения относительно конечных скоростей (в неподвижном воздухе) предполагает, что влияние турбулентности на скорости снежинок не просто сводится к нулю. Другими словами, нельзя предполагать, что конечная скорость является удовлетворительным ансамблевым приближением средней скорости осаждения.

Ученые отмечают, что их в первую очередь интересует оценка механизмов, определяющих отклонения от конечной скорости или вертикальных ускорений снежинок. Экспериментально эти ускорения av могут быть рассчитаны по флуктуациям скоростей снежинок, наблюдаемым с помощью отслеживания частиц, рассчитанным здесь путем дифференцирования полинома третьего порядка, подходящего для временных рядов скоростей снежинок, и оцененным в течение продолжительности, эквивалентной временной шкале Колмогорова τη. Колмогоровский временной масштаб колеблется от 0.02 до 0.24 с в зависимости от уровня турбулентности.

Изображения №5

Выше показаны измеренные распределения ускорения, нормированные по среднеквадратичному значению av, rms = ⟨a2v⟩½ для пяти периодов исследования, характеризующихся изменением Rλ от 400 до 67000 и St от 0.12 до 3.50. Распределение близко аппроксимирует лапласиан, а именно экспоненциальное распределение, симметричное относительно 0 м/с2. Наклон показателя по отношению к |av| / av, rms составляет около 3/2 (5a), для всех Rλ и St масштабирование, отмеченное ранее в лагранжевом моделировании при рассмотрении сферических частиц с Reλ ~ Q (100).

В частности, ученые обнаружили, что эквивалентное распределение Лапласа представляет собой другое псевдоускорение (^at), рассчитанное на основе полинома второго порядка, подходящего для эйлеровых флуктуаций средних по ансамблю конечных скоростей снежинок ⟨Vt⟩. То есть ^at — ускорение, рассчитанное по временному ряду усредненных по ансамблю конечных скоростей снежинок, упавших на пластину.

Этот результат особенно удивителен, учитывая, что априори конечная скорость будет рассматриваться как независимая от локальной турбулентности. Она определяется однозначно пространственной и временной изменчивостью массы, размера и плотности снежинок и, следовательно, в первую очередь является функцией микрофизических процессов роста в облаках наверху. Несмотря на то, что лагранжевы ускорения сводятся к единой кривой распределения, кумулятивное распределение на 5b показывает, что на 10% больше нормализованных ускорений больше единицы для самого высокого Rλ по сравнению с самым низким Rλ. Следовательно, вероятность экстремальных ускорений значительно выше для самых больших чисел Рейнольдса.

Наблюдаемая универсальность математических соотношений, характеризующих временную лагранжеву изменчивость скорости отдельных снежинок и эйлерову конечную изменчивость скорости ансамблей снежинок, согласуется во всем диапазоне измеренных событий турбулентности и снежинок (5a). Как правило, наклон логарифмического графика распределения Лапласа относительно положительного значения |av| / av, rms составляет -1.5 ± 0.05, где нормировка распределения Лапласа масштабируется в зависимости от интенсивности турбулентности как av, rms ∝ Rλ0.64 и av, rms ∝ St0.96 (изображение №6).

Изображения №6

Почти линейное увеличение средних значений av, rms снежинок со средним значением распределения St на 6a, по-видимому, противоречит предыдущим исследованиям, которые показывают, что средние значения av, rms уменьшаются с увеличением St для фиксированного значения Rλ.

Однако стоит отметить, что при расчете St на изображении №6 среднее значение τp меняется гораздо меньше, чем τη, поэтому результаты в первую очередь отражают изменчивость турбулентности через Rλ. Максимум нормированного распределения ускорения слабо зависит от интенсивности турбулентности, увеличиваясь на 2% за три порядка величины Rλ.

Интересным исключением из лапласовского распределения вертикального ускорения является то, что толстые хвосты, охватывающие 1% от общего ансамбля, по-видимому, связаны с особенно пористыми гидрометеорами, которые занимают нижние 1% распределения плотности, а именно 12.9 кг/м³ или β = 0.102. Максимальное лагранжево ускорение снежинки (экстремальное av), измеренное в ходе этого исследования, составило ошеломляющие 142 м/с2, что в 15 раз превышает среднеквадратичное значение и в 14 раз превышает ускорение свободного падения. Хотя диаметр частиц этой снежинки (1.85 мм) был ничем не примечателен, плотность связанной с ней снежинки имела невысокое значение — 12.7 кг /м³. Для измеренного ансамбля снежинок экстремальные значения av масштабировались как 0.27Rλ0.56 (6b). Наблюдения показывают, что такие экстремальные ускорения возникают, когда снежинки с низкой плотностью попадают в вихрь, а затем выбрасываются наружу (4a).

Отклонения от распределений Гаусса и Лапласа ранее были связаны с прерывистым ускорением частиц. Из-за турбулентности возникают необычно редкие, но значимые события ускорения частиц. Их частоту можно математически представить неравномерностью распределения ускорений или эксцессом K = ⟨a4v⟩ / ⟨a2v⟩2, или четвертым моментом нормированного распределения ускорения. K = 3 для распределения Гаусса и K = 6 для распределения Лапласа. Для снежинок было замечено, что плоскостность монотонно масштабируется с турбулентностью, но очень слабо. В частности, плоскостность колеблется от 5 до 12, следуя функциональным формам K = 1.95Rλ0.16 и K = 9.02St0.25 (6c).

В качестве ориентира трассеры жидкости с большими значениями β имеют значения K, которые на порядок больше, поскольку реакция на турбулентность сильнее. В идеализированных лабораторных экспериментах K = 4Rλ0.41 для жидкостных трассеров и K = 6Rλ0.29 для микропузырьков. Численное моделирование показывает, что тяжелые сферические частицы с большими значениями St медленнее реагируют на изменения потока жидкости, чем околожидкостные трассеры. Они не могут достичь чрезвычайно высоких ускорений из-за инерционной фильтрации. Значения K по-прежнему слабо масштабируются с интенсивностью турбулентности, но сохраняют значение, близкое к значению Лапласа, почти независимое от размера частиц и плотности, по крайней мере, для более слабой турбулентности с Rλ ⪝ 100. Вместо этого они предполагают, что распределение ускорений снежинок как плотных частиц, реагирующих на неидеализированные турбулентные потоки, согласуется с предыдущими численными исследованиями, указывающими на низкую плоскостность. Они еще больше расширяют применимость предположения о близком к Лапласу распределении к частицам неправильной формы и к значениям Rλ, достигающим 67000.

Что касается значений av, rms, то наблюдалось, что снежинки имеют почти линейный масштаб со St, который значительно отклоняется от предыдущих результатов, описывающих av, rms для жидкостных трассеров. Формула Гейзенберга-Яглома широко используется для выражения лагранжевых среднеквадратичных ускорений частиц через ускорение в диссипативном пространственном масштабе, то есть a2η = v-1/2ε3/2. Общее ожидание состоит в том, что a2v, rms = a0a2η. Постоянная Колмогорова a0 представляет собой безразмерную дисперсию ускорения частицы и равна единице для гауссовских флуктуаций. Отклонения от единицы возникают из-за перемежаемости турбулентности и свойств частиц. Здесь значения a0 рассчитываются в течение интервала времени (τf) (10b).

Изображения №7

Выше показано, что для случая St < 1 значения a0 во много раз превышают описанные ранее для флюидных трассеров в изотропной однородной турбулентности. Ученые предположили, что это несоответствие обусловлено гравитационным дрейфом (отношением скорости падения снежинок к характерной скорости колебаний скорости воздуха). При St < 1 присутствуют высокие наблюдаемые отношения скорости оседания снежинок к характерной скорости колебаний воздуха |Vv|/u' > 1, а также для средних скоростей оседания относительно конечных скоростей падения Vv= Vt > 1.

Диаграмма выше также показывает, что для случая более тяжелых частиц со St > 1 (или Sv < 1) a0 уменьшается с Rλ, масштабируясь как a0 ∝ R-1/2λ. Этот результат резко контрастирует с предыдущими экспериментальными и численными работами для частиц жидкости в однородной турбулентности, показавшими, что a0 монотонно увеличивается с Rλ, хотя и только при рассмотрении уровней турбулентности с Rλ < Q (104). Для снежинок в этом режиме числа Стокса гравитационный дрейф слабее и связан с измеренным |Vv|/u' < 0.25 и Vv=Vt < 1.

Изображения №8

При St ~ Q (1) и Rλ > Q (104) более тяжелые частицы начинают отрываться от линий тока жидкости. В результате a0 уменьшается при дальнейшем увеличении Rλ. Стоит отметить, что изменение St происходит только за счет изменения уровней турбулентности, поскольку характерные временные масштабы частиц во всех случаях примерно одинаковы.

Изображения №9

Известно, что константа дисперсии ускорения отклоняется от единицы из-за перемежаемости турбулентности. Результаты опытов показывают, что перемежаемость в лагранжевом ускорении имеет разную тенденцию для значений St ниже и выше единицы, а также для Rλ > Q (104). Как отмечают ученые, данное явление еще не имеет объяснения.

Изображения №10

Таким образом, сильно асимметричные снежинки, оседающие в сложных нерегулярных турбулентных потоках, ведут себя совсем иначе, чем жидкие трассеры, но, тем не менее, подчиняются удивительно простым математическим соотношениям. Они демонстрируют свипирование при St < 1 с высокими постоянными значениями постоянной Колмогорова a0 и зависание при St > 1 с масштабированием a0 как R-1/2λ.

Охватывая изменение турбулентного числа Рейнольдса на три порядка, лагранжевы флуктуации вертикальной скорости имеют универсальное частотное распределение exp [-3av / (2av, rms)], независимое от Rλ, где av, rms масштабируется линейно с St. Другими словами, распределения ускорения снежинки в принципе можно однозначно вывести, зная только меру числа Стокса. Более того, средняя по ансамблю конечная скорость — величина, которая зависит только от массы и формы снежинки — имеет ту же самую статистику колебаний.

Сходство в масштабных соотношениях не наблюдалось бы, если бы свойства частиц были заданы, как, например, при лабораторном или численном моделировании. В полевых измерениях наблюдение стало возможным только благодаря использованию нового дисдрометра, предназначенного для измерения микрофизических свойств снежинок.

Исследователь снега Укисиро Накая назвал снежные кристаллы, сфотографированные на земле, «письмами с неба», потому что их тонкие структуры несут информацию о колебаниях температуры и влажности выше в облаках, где базальные грани кристаллов и призмы конкурируют за осаждение водяного пара.

Наблюдаемое соответствие между распределениями ускорения и псевдоускорения может просто указывать на аналогичное сообщение. В целом, более быстрые восходящие потоки в облаках приводят к более крупным снежинкам, которые падают с более высокими конечными скоростями, поскольку имеется больше времени для поддержания роста снежинок за счет агрегации и образования переохлажденных облачных капель. В этом смысле, учитывая, что форма распределения ускорения инвариантна относительно уровней турбулентности, кажется возможным, что изменчивость конечной скорости снежинки, измеренная у земли, просто отражает изменчивость турбулентных облаков выше. Остается понять, какой именно механизм приводит к такому изменению.

Для более детального ознакомления с нюансами исследования рекомендую заглянуть в доклад ученых.

Эпилог

Ни катание на санках, ни лепка снеговика невозможны без снега, но для метеорологов и исследователей климатических изменений снег это не просто забава. Дело в том, что определение скорости падения снежинок имеет решающее значение для прогнозирования погодных условий и измерения изменения климата.

Авторы рассмотренного нами сегодня труда установили, что независимо от типа турбулентности или снежинки ускорение подчиняется универсальной статистической закономерности, которую можно описать как экспоненциальное распределение. Авторы исследования отмечают, как быстро выпадают осадки, сильно влияет на продолжительность и траектории штормов, а также на степень облачности, которая может усилить или уменьшить изменение климата. Даже небольшие изменения в модели, представляющей скорость падения снежинок, могут оказать важное влияние как на прогнозирование штормов, так и на то, насколько быстро можно ожидать потепления климата при данном уровне повышенных концентраций парниковых газов.

В ходе своих наблюдений ученые использовали созданное ими устройство, которое с помощью лазеров позволяло собрать информацию о массе, размере и плотности снежинок. Несмотря на сложность системы, команда обнаружила, что ускорение снежинок подчиняется экспоненциальному частотному распределению с показателем, равным трем половинам. Анализируя свои данные, они также обнаружили, что колебания частотного распределения конечной скорости следуют той же схеме. Поскольку размер определяет конечную скорость, возможное объяснение состоит в том, что турбулентность в облаках, влияющая на размер снежинок, связана с турбулентностью, измеренной у земли. Однако коэффициент трех половин остается загадкой.

В будущем ученые намерены продолжить свое исследование, но вместо обычных снежинок они намерены использовать туман из капель нефти, чтобы поближе изучить турбулентность и ее влияние на снежинки.

Немного рекламы

Спасибо, что остаётесь с нами. Вам нравятся наши статьи? Хотите видеть больше интересных материалов? Поддержите нас, оформив заказ или порекомендовав знакомым, облачные VPS для разработчиков от $4.99, уникальный аналог entry-level серверов, который был придуман нами для Вас: Вся правда о VPS (KVM) E5–2697 v3 (6 Cores) 10GB DDR4 480GB SSD 1Gbps от $19 или как правильно делить сервер? (доступны варианты с RAID1 и RAID10, до 24 ядер и до 40GB DDR4).

Dell R730xd в 2 раза дешевле в дата-центре Maincubes Tier IV в Амстердаме? Только у нас 2 х Intel TetraDeca-Core Xeon 2x E5–2697v3 2.6GHz 14C 64GB DDR4 4×960GB SSD 1Gbps 100 ТВ от $199 в Нидерландах! Dell R420 — 2x E5–2430 2.2Ghz 6C 128GB DDR3 2×960GB SSD 1Gbps 100TB — от $99! Читайте о том Как построить инфраструктуру корп. класса c применением серверов Dell R730xd Е5–2650 v4 стоимостью 9000 евро за копейки?

© Habrahabr.ru