Город без пробок02.10.2019 15:35

Глава вторая.
(ссылка на первую главу)

Искусство проектирования дорожных сетей

Транспортные проблемы города глазами человека из «Computer Science»

Если бы мне порекомендовали статью с названием «Искусство проектирования дорожных сетей», я бы тот час поинтересовался, как много дорожных сетей было построено с участием ее автора. Должен признаться, моя профессиональная деятельность лежала далеко от дорожного строительства и была последнее время связанна с проектированием микропроцессоров, где я, в том числе, занимался ресурсоемкостью коммутации данных. Так получилось, что мой стол тогда стоял как раз напротив панорамного окна, открывавшего прекрасный вид на длинный участок Волгоградского шоссе и части ТТК с их нескончаемыми пробками с утра до вечера, от горизонта до горизонта. И тут, в один из дней меня вдруг осенило: «Черт возьми, ведь сложности процесса коммутации данных, с которыми я борюсь на кристалле, точь в точь должны быть похожи на те трудности, с которыми сталкивается поток автомобилей внутри паутины уличных дорог». Вероятно, именно взгляд со стороны и применение нетрадиционных для исследуемой области методов дали мне шанс разобраться в причине возникновения пробок и выработать рекомендации, как преодолеть их проблему на практике.
Итак, в чем же заключается новизна подхода?
Исторически так сложилось, что главным назначением дорог считается предоставляемая ими возможность быстро перемещаться на большие расстояния (между Римом и провинциями). Подобное суждение вполне оправдано, когда речь идет о сети междугородних шоссе федерального уровня: города, которые они соединяют, выглядят на атласе маленькими редкими точками, а большинство путешествующих между этими городами машин, проезжает свой путь никуда не сворачивая.
Однако, стоит только перелистнуть несколько страниц и открыть подробную карту какого-нибудь крупного города, как картина тут же меняется: одних только адресов, где может быть начато, или завершено путешествие, оказывается уже порядка десяти тысяч, все они расположены довольно плотно и на сравнительно небольшой по размерам территории. Одновременно на улицах такого города в движении могут находится сразу сотни тысяч автомобилей, причем, цель каждого из них — не просто заполнить и без того не пустующие дороги, а переместить человека или груз из точки с конкретным адресом »X» в точку с конкретным адресом »Y». Все вместе это означает, что городская транспортная система должна быть приспособлена к эффективному решению задачи множественной параллельной адресации. Тем самым, функции городской транспортной системы становятся даже в большей степени подобны работе телефонной или компьютерной сети, чем сети дорог междугороднего сообщения.
Рассматривать дорожную сеть, как коммутационную схему для hardware-девелопера или инженера в сфере технологий передачи информации — вполне естественный способ рассуждать о задаче, а вот в среде людей, занятых исследованиями проблем транспорта, подобная точка зрения является, насколько мне известно, новой.

Теория коммутации сигналов — узкая инженерная наука и одной ее будет, конечно, недостаточно, чтобы спланировать отдельную улицу, дорожную развязку или предсказать поведение потока машин на прямолинейном изолированном участке шоссе. К счастью, перечисленные вопросы на сегодняшний день хорошо исследованы, а разработанные для их решения методики уже успешно вошли в обиход. Теория коммутации, в свою очередь, позволяет архитектору избавиться от риска, когда все элементы дорожной сети выполнены идеально, а город все равно приходит в состояние транспортного коллапса. Этот риск существует из-за того, что выполнение множественной параллельной адресации является ресурсоемкой
времязатратной задачей, залогом эффективного решения которой служит даже не столько ширина улиц и удобство транспортных развязок, сколько грамотный выбор того, какую именно коммутационную схему будет реализовывать предполагаемая дорожная сеть.
Из настоящей работы, например, Вы узнаете, почему транспортные сети «артериального» типа, до сих пор еще часто применяемые в современных городах, являются «плохими» и с ростом населения обязательно ведут к возникновению пробок. Другой интересный результат, хорошо согласующийся с наблюдениями, объясняет, почему одним только расширением дорог, если до этого все пробки возникали исключительно в окрестности развязок, вряд ли как-то получится улучшить ситуацию даже при условии, что число машин в городе останется прежним.

Когда я писал эту статью, для меня было важно, чтобы она оказалась понятной самому рядовому архитектору, могла принести пользу через его труд. Я постарался простым языком ввести читателя в вопросы коммутации, развить критерии, позволяющие оценить, насколько хорошо будет справляться с задачей параллельной адресации та или иная дорожная сеть, на модельных примерах показал, как использовать эти знания на практике.
Статья рассчитана на широкий круг читателей, немного знакомых с общеуниверситетским курсом математики, теорией алгоритмов и готовых посвятить ей 1 — 5 дней.

Разделение и слияние автомобильных потоков

Очевидное для многих водителей наблюдение состоит в том, что затруднения движения возникают преимущественно в тех местах дороги, где автомобили по каким-то причинам вынуждены перестраиваться из ряда в ряд. Примерами могут служить развилки, сужения, области примыкания к шоссе съездов и подъездных дорог, участки автострады, где некоторые полосы блокированы аварией или ремонтом полотна.
В этом параграфе будет сделана попытка дать количественное описание происходящих в подобных случаях процессов, а начнем мы с того, что разберемся, как же автомобили перестраиваются из одной полосы движения в другую.

Две стратегии перестроиться в соседний ряд
Движение транспорта вдоль шоссе обладает естественной неравномерностью: кто-то предпочитает ехать чуть быстрее, кто-то — чуть медленнее, между одними машинами расстояние сокращается и становится едва комфортным для вождения, в то время как между другими оно увеличивается настолько, что позволяет встроиться туда автомобилям из соседних полос. Появление подобных зазоров в потоке соседней полосы непосредственно сбоку от случайного водителя может быть частым или не очень. Если же в тот момент, когда ему нужно совершить маневр, зазор отсутствует, водитель может прибегнуть, по крайней мере, к двум стратегия поведения:

Стратегия №1
Несколько подходящих зазоров попросту могут находиться недалеко от его местоположения. Если движение достаточно плотное, то прибавит скорости и догнать нужную брешь — у водителя вряд ли получится, а вот немного замедлит движение и дать соседнему потоку обогнать себя настолько, чтобы поравняться с зазором, который изначально находился позади, — больших хлопот не составит. Издержки у этой стратегии очевидны: сам водитель и едущие позади в его полосе машины теряют какое-то время из-за необходимости снижать скорость.

Стратегия №2
Чтобы ждать, нужно иметь терпение и располагать необходимым для этого количеством времени. Альтернативой может быть попытка выполнить необходимый маневр «здесь» и «сейчас». Согласно этой идее, водитель подает знак находящимся позади него автомобилям той полосы, на которую он собирается переместиться. Те, в свою очередь, в ответ на его сигнал должны немного сбросить скорость и «отпустить» вперед, движущиеся перед ними машины, давая тем самым возможность образоваться в их потоке зазору необходимой величины. Издержки времени в этом случае распределяются между машинами той полосы, куда в итоге перестроился водитель.

В реальной жизни задействованными оказываются обе стратегии одновременно: сначала водитель притормаживает, дожидаясь сравнительно большой бреши в потоке соседней полосы, и только уже затем подает сигнал движущимся в ней машинам о своем намерении совершить маневр перестроение.

Безусловно, въезды, съезды и сужения — не единственная причина перестроения из полосы в полосу, о которой стоит помнить, проектируя дороги. Возможность автомобилям с большей скоростью движения обгонять неспешно едущий трафик необходима, чтобы ситуация на шоссе не деградировала до одной большой очереди, ползущей со скоростью самого медленного трактора. Тем не менее, проблема сосуществования на дороге движущегося с разной скоростью транспорта имеет несколько иную природу и может быть отделена от рассматриваемых в этой статье вопросов, поскольку процесс обгона и связанные с ним перестроения не являются для водителя вынужденными действиями, требующими от него какой-либо спешки. Если есть время для ожидания, то по теории вероятности удобный случай выполнить маневр предоставиться водителю сам собой и ему для этого совсем не обязательно мешать движению других автомобилистов.

Стоимость одного перемещения
Поведение водителей в действительности может быть очень сложным, но для нас в первую очередь важно, что остается правдоподобным полученный на модельных условиях результат: каждое вынужденное перемещение автомобиля из одной полосы в другую накладывает временной штраф на участников движения.
Давайте теперь оценим, как зависит величина упущенного времени от плотности машин на дороге.
Движение вдоль каждой полосы мы будем считать отдельным потоком. Стараясь оставаться на комфортном удалении от автомобилей, оказавшихся на одной с ними полосе, водители тем самым резервируют за собой в потоке участок некоторой характерной длины d. Пусть в потоке на единицу длины приходится ρ автомобилей. Договоримся называть плотность потока малой, или, то же самое, говорить, что мало ρ, если произведение ρ×d много меньше единицы.
В момент, когда водитель осознает потребность переместиться в соседний ряд, вероятность, что участок величины d, который он собирался там занять, окажется несвободным, при малых ρ будет примерно пропорциональна самой ρ. Если описанное событие действительно осуществится, то в сумме два соперничающих за место автомобиля испытают в результате маневров некоторую задержку средней константной величины δ. Предполагая ρ малой, вероятностью, что их действия в этом момент повлияют на движение других автомобилей, можно пренебречь. Таким образом, в первом порядке малости по ρ потери времени от одного перемещения составят α⋅ρ, где коэффициент α является эмпирически измеримой величиной, зависящей от культуры, погоды, ограничений скорости (и так далее), но остающийся примерно постоянным локально во времени и для данного города в целом.

Интенсивность потерь на участке перед съездом
Уходящим на съезд машинам, прежде чем они доберутся до пандуса (рис 2), приходится, порою даже несколько раз, перестраиваться в соседний ряд справа. Каждый такой маневр затрудняет движение, и в результате на участке перед съездом средняя скорость оказывается заметно ниже, чем на «транзитных» (лишенных съездов, «въездов» и развилок) участках автострады.

рис 2
Пройти какую-то часть пути с меньшей скоростью — оборачивается для водителей (и их пассажиров) дополнительным количеством времени, потраченным на путешествие. Иначе говоря, область шоссе, непосредственно примыкающая к съезду является постоянным генератором временны́х потерь.
Предположим, что средняя скорость машин ν и плотность потока ρ на фронтальной границе этой области одинаковы для всех полос.
Пусть, к тому же, плотность ρ, и мощность потока уходящего на съезд q (среднее количество автомобилей, попадающих на пандус в единицу времени) одновременно малы, а s — обозначает число полос на шоссе. Чтобы попасть на съезд, водитель сделает сделает от 1 до s + 1 маневров перестроения. Если плотность потока на пандусе значительно меньше ρ, то только последний маневр обойдется ему практически «за бесплатно», остальные же — в любом случае вызовут потери величиной α⋅ρ. В среднем придется совершить (0 + 1 + 2 +… + s − 1)/s = (s − 1)/2s «дорогих» маневров.
Учитывая затруднения вызываемые всеми автомобилями, уходящими на съезд, мы можем выписать формулу интенсивности временных потерь:

Iout = q ⋅ αρ ⋅ (s − 1)/2s = (α/2ν) ⋅ q ⋅ (sρν) ⋅ (1 − 1/s)

Величина p = (sρν) — есть ни что иное, как мощность потока всех машин, движущихся по шоссе в рассматриваемом направлении (среднее количество машин, проезжающих мимо столба за единицу времени). Последнее замечание дает нам возможность переписать формулу для I в более симметричном виде:

Iout = (α/2ν) ⋅ pq ⋅ (1 − 1/s)

Интенсивность потерь на участке примыкания подъездной дороги
Ситуация, возникающая на шоссе позади места, где с ним соединяется подъездная дорога, во многом повторяет ситуацию на участке перед съездом, хотя имеются и некоторые отличия.
Пусть небольшой поток автомобилей мощности q через боковой пандус вливается основное движение автострады (рис 3).

рис 3
Пандус имеет лишь конечную протяженность, поэтому все вновь прибывающие автомобили волей-неволей должны будут встроиться в крайний правый ряд шоссе. Как следствие — плотность движения в крайней правой полосе оказывается локально выше, чем в среднем на дороге, поэтому часть находящихся в ней водителей принимает решение перестроиться в менее загруженный соседний ряд слева, что, в свою очередь, ведет к локальному повышению плотности уже и во второй полосе. Такой процесс междуполосной миграции будет длиться до тех пор, пока плотность потоков выравняется по всей ширине автострады. Предполагая среднюю скорость движения ν одинаковой для всех n полос, мы можем ожидать, что по завершению процессов миграции мощность потока в каждой из них увеличится ровно на (1/s)⋅q.
Чтобы посмотреть, во сколько водителям обходятся такие «рокировки», подсчитаем для начала мощности всех миграционных потоков. Поток со стороны пандуса в первую полосу шоссе мы уже знаем: он равен q. Чтобы получить баланс в виде прибавки (1/s)⋅q, поток во вторую полосу со стороны первой должен составлять уже (1 − 1/s)⋅q, со стороны второй в третью — (1 − 2/s)⋅q, со стороны k-той в (k + 1)-ю — (1 − k/s)⋅q. Согласно последней формуле, мощность миграционного потока в крайнюю левую полосу составит (1 − (s − 1)/s)⋅q = (1/s)⋅q, как и велит этому быть здравый смысл.
Поскольку нам известны временной штраф отдельно взятого перестроения и мощности всех миграционных потоков, мы теперь можем вычислить и суммарную интенсивность генерируемых ими потерь:

Iin = αρ⋅q + αρ⋅(1 − 1/s)⋅q + αρ⋅(1 − 2/s)⋅q +… + αρ⋅(1/s)⋅q =

αρq (1 + 2 +… + s)/s =

αρq (s + 1)/2 =

(α/2ν) ⋅ q ⋅ (sρν) ⋅ (1 + 1/s).

Снова вспоминая, что sρν — есть мощность p потока всех машин вдоль шоссе, получаем формулу издержек в ее окончательном виде:

Iin = (α/2ν) ⋅ pq ⋅ (1 + 1/s).

Интенсивность потерь на симметричной развилке
В предыдущих пунктах мы нашли потери от взаимодействия потоков, один из которых был обязательно велик, а другой — обязательно мал. Чтобы продемонстрировать подход к решению задач, когда мощности обоих потоков соизмеримы по величине, рассмотрим другую крайность: развилку, у которой оба «дочерних» направления являются одинаково популярными для водителей (рис 4).

рис 4
Для удобства, автомобили, уходящие на развилке в правую сторону, будем называть «синими», а уходящие в левую — «красными». Изначально автомобили обоих «цветов» движутся вперемешку, рассредоточенные между всеми 2s полосами шоссе. По мере приближения к развязке красные автомобили начинают медленно дрейфовать в сторону левых n полос, а синие — в сторону s правых: между соседними полосами возникают потоки миграции в обоих направлениях. В отличие от примера с подъездной дорогой, эти потоки уже не являются «относительно малыми». К слову, только между двумя центральными полосами происходит вынужденный обмен трафиком, интенсивность которого в любом из направлений (слева направо, или справа налево) равна четверти от мощности всего потока, движущихся по шоссе машин. К счастью, и в этой ситуации есть достаточно хороший способ оценить генерируемые издержки. Сначала заметим, что процесс разделения автомобилей на «красных» и «синих», скорее всего, начинается задолго до развилки и протекает медленно, поэтому, с одной стороны, он должен мало влиять на плотность движения внутри отдельного ряда, а с другой — делать миграционные потоки растянутыми на большие расстояния, давая, тем самым, возможность представить каждый из них, как совокупность большого числа потоков малой мощности (рис 5).

рис 5

Раз речь теперь идет о малых потоках, пусть и в большем количестве, нам ничего не мешает свести рассматриваемую задачу к уже решенным. Мысленно разделим шоссе по центру на две равные части, а затем соединим их между собой большим числом однополосных дорог-перемычек, позволяющих красным машинам перебираться на левую сторону, а синим — на правую (рис 6). В силу очевидной симметрии, при подсчете генерируемых потерь мы можем сосредоточить внимание на машинах какого-нибудь одного цвета, например, синего, а в конце просто удвоить результат.

рис 6

Итак, пусть скорость ν и плотность ρ одинакова для всех полос и остается постоянной на всем участке, где происходит разделение автомобилей по цветам. В этом случае, мощность потока всех машин, движущихся по шоссе составит:

p = 2sρv.

Обозначим, как q1, q2,… qm, потоки синих автомобилей, перемещающиеся по воображаемым перемычкам в правую половину автострады. Предположим, что незадолго до участка разделения в каждой полосе автострады оба цвета представлены с одинаковыми долями в 50%, откуда следует, что в сумме
q1 + q2 +… + qm равны sρv/2, что составляет p/4.
Потери, генерируемые потоком qi, в силу его малости мы можем подсчитать по формуле:

Ii = Iout + Iin = (α/2ν)⋅(p/2)⋅qi(1 − 1/s) + (α/2ν)⋅(p/2)⋅qi(1 + 1/s) = (α /2ν) pqi

Суммируя последнее выражение по всем i, находим потери, генерируемые только синими автомобилями:

Iblue = (α/2ν)⋅p⋅(q1 + q2 +… + qm) = (α/2ν) p2/4.

Полные потери, как уже упоминалось, окажутся вдвое вдвое выше и составят:

Idiv = (α/2ν) p2/2.

Анализ полученных формул
Если мы разделим интенсивность I, то есть, количество времени суммарно теряемое участниками в секунду, на величину бокового потока q, которая по определению равна числу машин, присоединяющихся или покидающих движение на автостраде за одну секунду, то получим средние потери, порождаемые одним таким автомобилем:

iin = Iin/q = (α/2ν) ⋅ p ⋅ (1 + 1/s)

iout = Iout/q = (α/2ν) ⋅ p ⋅ (1 − 1/s)

Пожалуй, самое главное в этих формулах — бросающаяся в глаза прямая пропорциональность между мощностью потока машин на шоссе p и величиной удельных издержек i. Все выглядит так, как будто автомобиль, стремящийся присоединиться, или наоборот — покинуть поток основного движения, наносит тем самым константный ущерб каждому оказавшемуся поблизости водителю.
Второе, интересное и совсем неожиданное наблюдение касается крайне слабого влияния на интенсивность генерируемых потерь количества полос у шоссе непосредственно рядом с развязкой. Как Вы можете заметить, взглянув на формулу для Iout, съезд, вообще, обходится дешевле всего для однополосной дороги (s = 1, iout = 0), а затруднения, вызываемые примыканием подъездной дороги для трехполосного и шестиполосного шоссе отличаются всего лишь на

100% ⋅ [(1 + ⅓) − (1 + 1/6)] / (1 + ⅓) = 12,5%.

Если учесть, что каждый автомобиль, когда либо присоединившийся к движению на автостраде, должен будет в конце концов ее покинуть, то кажется вполне законным при подсчете потерь на развязке вместо iin и iout пользоваться унифицированной величиной

iav = (iin + iin)/2 = (α/2ν) ⋅ p.

Несмотря на отсутствие в формуле для iav явной зависимости от количества полос, нужно помнить, что ее вывод (смотрите предположения для Iin и Iout) существенно опирается на предположение о малой плотности машин на дороге, поэтому вряд ли она даст удовлетворительные результаты, будучи примененной к слишком узкому шоссе со слишком интенсивным движением.

Предварительные выводы
На участках вблизи развязок неизбежно возникают помехи движению, отнимающие у водителей время, снижающие среднюю скорость движения, последнее приводит к росту плотности машин и, как следствие, возможному возникновению дорожных пробок. Временны́е издержки связанные с разделением и слиянием автомобильных потоков мы будем называть коммутационными.
Аналогичного рода потери присутствуют так или иначе в любой коммутационной схеме: будь-то телефонная или компьютерная сеть, многоядерный микропроцессор или почтовая служба доставки.

Когда водитель присоединяется, или, наоборот — покидает движение на шоссе, вносимые его действиями коммутационные издержки оказываются пропорциональны мощности наблюдаемого в это время на шоссе потока машин.

Чтобы снизить коммутационные потери в масштабах всего города, необходимо еще на стадии проектирования тщательно продумать реализуемую в нем дорожную сеть. Чуть позже мы разберем эту задачу подробно, но какие-то очевидные рекомендации можно перечислить уже сейчас:

1) коммутационные потери пропорциональны мощности потока на шоссе — не стоит без надобности укрупнять дороги, два маленьких шоссе в два раза лучше, чем одно большое;

2) коммутационные потери пропорциональны мощности боковых потоков — стоит проектировать сеть так, чтобы в своем путешествии водителю приходилось как можно меньшее число раз сворачивать в сторону;

3) взаимные помехи, которые причиняют друг другу водители основного и бокового потоков, должны в масштабах города стать меньше, если постараться сделать так, чтобы в один поток не объединялись маршруты, перекрывающиеся всего лишь на коротком участке пути.

Экономические предпосылки существования городов.
Модель города с «равномерным доступом»

Пожалуй, первой, с чего стоит начинать любой проект по планированию (или перепланированию) городской транспортной системы — это попытаться определить, в осуществлении какого рода миграций город по настоящему нуждается сейчас и как будут меняться его потребности в будущем.

Подобный анализ можно провести, если сначала разбить город на не слишком крупные, но и не слишком мелкие территориальные зоны, а затем для каждой пары таких зон указать, в каком примерном количестве путешествий в ту и другую сторону нуждаются их жители в те, или иные часы дня. Поместив сделанные предсказания в квадратную таблицу, вы тем самым получите матрицу миграционных потребностей жителей города.
Именно для этой матрицы и стоит потом искать сеть, позволяющую водителям и пассажирам тратить как можно меньше времени на отдельное путешествие и требующую от городских властей по возможности меньших ресурсов на свое возведение.
Когда речь идет об уже существующих городах, то здесь важно не совершить ошибку и не подменить число путешествий, в котором действительно нуждаются люди, на число путешествий, которое исторически установилось под влиянием каких-то преград или трудностей к моменту проведения проектных работ. Наверное, самой яркой иллюстрацией сказанному может служить транспортная сеть Берлина «до» и «после» падения разделительной стены.

В этом параграфе будут затронуты, по большей части, гуманитарные вопросы, в которых я не являюсь специалистом, но считаю, что обсудить их в качестве дилетанта все же правильнее, чем просто обойти проблему стороной.

Чтобы лучше представлять миграционные потребности населения, стоит начать с фундаментального вопроса: «Для чего вообще нужны города и какую полезную функцию они выполняют?».
Давайте постараемся ответить на него не как рядовые жители городов (и сел), а с позиции человека, ответственного за процесс урбанизации в каком-нибудь крупном и развитом государстве. С этой точки зрения, уже не так важно, какие исторические мотивы заставили когда-то стольких людей теснится на крохотном клочке земли, или причины, по которым они продолжают это делать сейчас, важно — какой экономический эффект создают города той, или иной величины и за счет каких механизмов этот эффект достигается.

По моему мнению, главный смысл существования крупных городов — это, с одной стороны, возможность технологичным фирмам находить для себя сотрудников редких профессий, а с другой — возможность людям, овладевшим редкими профессиями, на конкурентных условиях продавать свои услуги заинтересованным в них фирмам. В маленьком (неспециализированном) городе производство многих товаров и услуг либо просто невозможно, либо ставит осуществляющие его технологичные фирмы и их сотрудников в положение обоюдных заложников, не давая ни тем, ни другим каких-либо альтернатив.
Для примера возьмем не самую редкую профессию школьного учителя литературы. По статистике потребность в них составляет: примерно 1 учитель на 1000 человек населения. В обычной школе литературу преподают 3–4 человека. Выбор места работы для учителя литературы можно назвать конкурентным, если в его городе имеется хотя бы 4–5 среднеобразовательных школ, что в пересчете на население составляет примерно 15 тысяч человек.
Люди с инженерной специальностью, по всей видимости, комфортно чувствуют себя на рынке труда в городах, число жителей которых не меньше 100 тысяч. Безусловно, существуют и такие профессии, востребованность которых появляется только в городах с миллионным населением, однако экономический смысл многомиллионных городов для меня пока остается загадкой.

После всего сказанного достаточно мотивированными выглядят две гипотезы (справедливость которых, однако, никак не влияет на истинность основного содержания статьи):

1) самые частые путешествия среднестатистический взрослый человек имеет потребность совершать на расстояния, захватывающие 4–5 наиболее перспективных для него места работы;

2) для значительной части населения, владеющей редкими и наиболее ценными, с экономической точки зрения, профессиями, расстояние наиболее частых путешествий вполне могут быть сопоставимыми с радиусом города.

В качестве усиленного отражения гипотез 1) и 2), в своих примерах я часто буду пользоваться моделью города с «равномерным доступом», предполагающей, что мощность потоков востребованных путешествий одинакова между любыми двумя его кварталами, или, другими словами, — во всех клетках матрицы миграционных потребностей стоит одно и то же положительное число. Если в случайном порядке просматривать записи о путешествиях, совершенных в таком городе за день, то для очередного отмеченного путешествия у всех кварталов будут одинаковые шансы как быть этому путешествию началом, так и служить ему концом, причем никакой зависимости между положением «начальных» и «конечных» кварталов наблюдаться не должно.

Дорожные сети с простейшей топологией

Давайте попытаемся применить описанные в предыдущих параграфах идеи к каким нибудь типам планировок городов, взятым из жизни.
Линейный город
Первые крупные поселения зарождались преимущественно вдоль берегов, на участках тонкой полоски суши между морем и скалами или на пути оживленных дорог, поэтому в процессе разрастания приобретали узкие вытянутые границы. Многие из этих поселений дожили до наших дней, сохранив вытянутую форму и превратившись в современные города (иллюстрация ниже).

(обособленный район Рио-де-Жанейро, автор фото неизвестен)

Зачастую в подобном городе имеется всего одна широкая дорога, вокруг которой он и оказывается построен. Предположим, что каждый квартал (зона территориального деления) порождает поток путешествий единичной мощности, всего таких кварталов — n, а сам город подчиняется миграционной модели «равномерного доступа».

(рис 7)

Попробуем для перечисленных условий найти, как меняется среднее время путешествий и необходимая площадь дорог с ростом n.
Итак, пусть все кварталы имеют одинаковую форму и размеры, а их число увеличивается в λ(лямбда) раз. Очевидно, что

длинна главной дороги увеличивается в λ раз.

В силу принятой модели «равномерного доступа», 50% путешествий, начавшихся в правой половине города, завершаться в его левой половине (ровно как и наоборот), поэтому при росте числа кварталов в λ раз мощность потока, проходящего через середину города, вырастет тоже в λ раз. Аналогичные рассуждения с тем же самым выводом будут справедливы, если вместо середины взять любую точку, делящую город в заданном отношении (1:3, 2:5), из чего следует, что

мощность потока машин вдоль главной дороги увеличивается в λ раз.
необходимое на каждом участке число полос главной дороги увеличивается в λ раз.

Более-менее очевидно, что средняя длина путешествия, а вместе с ней и

чистое время в путешествии, затрачиваемое на преодоление расстояние, увеличивается в λ раз.

Все, что нам осталось — это подсчитать, во сколько раз вырастет время, теряемое из-за коммутационных издержек в одном путешествии. В каждый квартал входит и выходит боковой поток единичной мощности, которые вместе генерируют временны́е потери интенсивностью:

I = Iin + Iout = (α/2ν) p⋅2,

где p — это мощность потока на главной дороге. Мы уже знаем, что количество кварталов и мощность потока на главной дороге растет, как λ, поэтому общие потери времени, генерируемые сетью, увеличиваются в λ² раз. С другой стороны, количество путешествий, порождаемых сетью, между которыми в итоге и распределятся все эти потери, увеличивается в λ раз, откуда получаем, что

чистое время в путешествии, теряемое из-за коммутационных издержек увеличивается в λ раз.

Соберем все результаты в одну табличку:

Линейный топология
Число адресных точек (кварталов) единичной мощности…n
Общая площадь дорог…O (n2)
Чистое время в путешествии,
затрачиваемое на преодоление расстояния…O (n)
Чистое время в путешествии,
теряемое из-за коммутационных издержек…O (n)
Число узлов коммутации…O (n)
Число узлов коммутации с учетом мощности боковых потоков…O (n)

Использованная нотация:»y = O (x)», означает, что величины x и y функционально зависимы, причем когда x неограниченно растет, отношение x/y стремится к конечному не равному нулю числу.
Клеточный город
Второй, достаточно распространенный способ планирования — расположить кварталы в виде прямоугольной матрицы подобно тому, как располагаются порционные кусочки в плитке шоколада.
Такие города договоримся называть «Клеточными».

(Лос-Анджелес, фото: Степанов Слава)

На рисунке 8 изображена схема Клетчатого города, составленного из n (с учетом «половинок») кварталов, образующих вместе правильный квадрат. Друг от друга кварталы отделяются в общей сложности √n дорогами, идущими, условно, с запада на восток, и еще √n дорогами, простирающимися с юга на север. В сумме эти эти дороги образуют √n×√n пересечений, каждое из которых может быть либо выполнено как светофорный перекресток, либо реализовано посредством автомобильного моста и эстакад.

рис 8

Вне зависимости, является ли движение на улицах одно направленным или двусторонним, любое путешествие от точки «A» до точки «B» в клетчатом городе может быть выполнено по маршруту, проходящему не более чем по двум улицам и требующему не более чем одного поворота на пересечении дорог.

Пусть, как и в прошлом примере, каждый квартал порождает поток путешествий единичной мощности, а миграционные потребности населения описываются моделью «равномерного доступа». Вычислим, теперь уже
для Клеточного города, те законы, по которым меняются среднее время путешествие и ресурсозатратность возведения дорожной сети с ростом количества кварталов.
Если число кварталов увеличивается в λ раз, то:

площадь города увеличивается в λ раз, а его линейные размеры при сохранении пропорций —
в √λ,
средняя длина путешествия и чистое время на преодоление расстояния, будучи пропорциональными линейным размерам, увеличиваются в √λ раз,
число улиц и количество примыкающих к одной улице кварталов увеличивается в √λ раз,
мощность потока уличного движения, будучи пропорциональной числу кварталов, с которыми поток «соприкасается» (объяснение этому факту будет дано позднее), увеличивается в
© Habrahabr.ru