Гипотеза Коллатца как фейл мировой математики
/Sandbox 23.12.2024/
21.10.2024 на сайте Academia.edu опубликована статья «A new inherent approach to solving the Collatz 3n+1 problem and its analogues» [1]. Вторая ссылка для тех, кому проще читать по-русски «Новый внутренне присущий подход к решению проблемы Коллатца 3n+1 и ее аналогов» [2].
Английская версия исходно предназначалась для платформы препринтов arXiv, но там предложили сначала опубликоваться в реферируемом математическом журнале. Попытки зайти на другие платформы HAL, Qeios и ResearchGate разбились о требование наличия аффилиации, которой у независимого исследователя нет.
Процесс отнял почти два месяца — больше, чем само исследование от идеи до текста. В итоге статья оказалась на свободной от «фейсконтроля» площадке Academia. Думаю, прочитать ее будет полезно всем интересующимся гипотезой Коллатца. Эксклюзивно для Хабра этот короткий текст, резюмирующий содержание и смысл публикации.
Состояние дел
Гипотеза Коллатца (проблема 3n+1) была высказана впервые более 80 лет назад. Формулируется она просто: берем любое натуральное число, если оно четное, делим на 2 пока делится, а если нечетное, умножаем на 3 и прибавляем 1, над полученным числом повторяем те же действия. Какое бы начальное число мы ни взяли, в итоге всегда получается 1. Гипотезу не удавалось ни доказать, ни опровергнуть, несмотря на огромное число работ и использование самых разнообразных подходов.
При этом представления об исследуемом объекте »3n+1» и его аналогах «an±b» обычно ограничивались суждением, что данная числовая последовательность либо сходится (тогда гипотеза верна), либо расходится или зацикливается (тогда гипотеза неверна). Более глубокое понимание не предлагалось. Все основные более-менее надежно установленные факты (о сходимости 3n+1, о существовании нетривиальных циклов) были получены эмпирически, расчетным путем.
Затянувшееся отсутствие решения простой на вид задачи от профессионального математического сообщества привело к популярности гипотезы и массе любительских «доказательств». Такое состояние крайне дискомфортно для всех, не говоря уже о гигантском количестве потраченных ресурсов всех видов.
Что изменилось
В статье предложен новый подход, состоящий в наложении рекурсивного алгоритма Коллатца на таблицу разложения всех натуральных чисел по степеням двойки. Удивительно, что математики прошли мимо настолько очевидной идеи. Проблема сразу упростилась, так как эта конструкция гарантирует сходимость алгоритма при условии односвязности сети всех чисел с единственным корнем.
Но данное условие может быть нарушено по ряду причин: отсутствие корня, лишние корни, циклы, распад сети. В статье описаны методы диагностики этих нарушений. После чего кандидатами на сходимость по Коллатцу осталась только часть алгоритмов. Кандидатами, потому что последняя причина (распад сети) — не такая очевидная. В простейшем случае 1n+1 односвязность доказывается легко, в случае же 3n+1 и далее — это действительно сложно.
Однако, и здесь появился просвет. Стало понятно, что окончательное доказательство должно быть по рекурренции с завершением либо сторонним по отношению к алгоритму Коллатца. От его мучительных поисков автора избавило обнаружение статьи, где как раз такого рода (верное, по моей оценке) доказательство представил независимый исследователь Leszek Mazurek в мае 2021 года [3].
Интересующихся подробностями отсылаю к своей статье. Всего 15 страниц намеренно понятно для всех написанного текста с минимумом формул, нарушая традицию не оставлять никаких следов, по которым читатель мог бы догадаться, как был получен математический результат.
В заключение само-цитата: «Подводя итог: с гипотезой Коллатца, если не всё, то многое уже достаточно понятно. Полагаю, пришло время переосмыслить как саму эту нерешенную проблему, так и длинную запутанную историю попыток ее решения.»
[1] https://www.academia.edu/124810891
[2] https://www.academia.edu/126375432
[3] https://www.researchgate.net/publication/351347153
/Update 25.12.2024/
Предупреждение: это не пиар, а вынужденная мера. Решил дать частичный «инсайд» (но «инсайт» тоже бы подошло) из своей статьи. По просьбе юзера, сомневающегося, выпускать ли мой материал (выше) из Песочницы.
На Хабре можно найти несколько публикаций, посвященных циклам у алгоритмов подобных 3n+1. Пример — статья Tzimie «Замахнемся на гипотезу Коллатца», иллюстрированная красивыми фракталами.
В научной статье «Новый внутренне присущий подход к решению проблемы Коллатца 3n+1 и ее аналогов» [1, 2] содержится исчерпывающее объяснение причин возникновения циклов, каких видов они бывают, и почему они редки. У Tzimie циклы — это нечто вычислимое, но непонятное. На самом деле, они — всего лишь проявление целочисленных решений простых систем линейных уравнений (для быстрого подтверждения см. Дополнение 30.09.2024 в указанной статье).
Так что, ничего «мистического» в циклах Коллатца нет. Надеюсь, пролил свет (истины) на вопрос, интриговавший многих. И это не всё, в полной версии есть еще немало интересного (ссылки даны). По моему не слишком субъективному мнению, получилась статья mustread, как для профессионалов, так и любителей гипотезы Коллатца.
