FP на Scala: Что такое функтор?17.09.2015 16:18

Специалист, приступающий к изучению функционального программирования, сталкивается как с неоднозначностью и запутанностью терминологии, так и с постоянными ссылками на «серьезную математику».

В этой статье, не используя теорию категорий с одной стороны и эзотерические языковые механизмы Scala с другой стороны, рассмотрены два важнейших понятия

  • ко-вариантный функтор
  • контра-вариантный функтор

которые являются стартовой точкой для понимания всего множества категориальных конструкций, куда можно включить

  • Exponential (Invariant) Functor, BiFunctor, ProFunctor
  • Applicative Functor, Arrow, Monad / Co-Monad
  • Monad Transformers, Kleisli, Natural Transformations


Объяснено происхождение категориальной терминологии, указана роль языковых механизмов в реализации категориальных абстракций и рассмотрено несколько ковариантных (Option, Try, Future, List, Parser) и контравариантных (Ordering, Equiv) функторов из стандартной библиотеки Scala.

Если Вы желаете сильнее погрузиться в мир Scala, математики и функционального программирования — попробуйте онлайн-курс «Scala for Java Developers» (видео + тесты, всего за 25% цены!).


Про языковые механизмы абстракции


Погружение во всякий принципиально новый язык программирования включает изучение:

  1. Языковых механизмов для новых типов абстрагирования.
  2. Типичных идиом/шаблонов, в которых эти типы абстрагирования используется.


Пример: в ООП изучаются понятия класса, экземпляра, наследования, полиморфизма, инкапсуляции, делегирования,… и шаблоны проектирования GoF, в которых все это разнообразие механизмов абстрагирования используется.

На мой взгляд, основная проблема с переходом Java => Scala заключается в том, что программисты не учат новые механизмы абстракции (generics of higher kind, path dependent types, type classes, macroses, ...) так как не понимают к чему их применить.

А не могут начать применять потому, что как только начинает идти речь про «предметы абстрагирования» (функтор, монада, моноид, зависимые типы, ...) — появляются теоретики из современной математики (теория категорий, абстрактная алгебра, математическая логика) и одним махом «опрокидывают все фигуры с доски». С точки зрения программистов математики зачастую ведут себя как фанатики секты Свидетелей Пришествия Категорий/ГомотопическойТеорииТипов/ИсчисленияКонструкций: вместо того, что бы говорить «на нашем языке» и привести конкретные примеры из области программирования, они сыпят терминами из абстрактной математики и отсылают к своим же Священным Текстам.

В этой статье разобраны функторы (ковариантный и контравариантный) без обращения к теории категорий и на основе только базовые возможности Scala. Не используются type classes и generics of higher kind (как это делают, например, авторы библиотек Scalaz: scala.scalaz.Functor + scala.scalaz.Contravariant, Cats: scala.cats.Functor + cats.functor.Contravariant, Algebird: com.twitter.algebird.Functor). Обратите внимание, часто в названиях типов, соответствующих идиомам covariant functor и contravariant functor, используют сокращенные названия — Functor и Contravariant.

Вообще говоря, функциональное программирование на Scala (уровня L2-L3) — это смещение относительно Java в нескольких направлениях (я вижу три). При этом смещение характеризуется одновременно четырьмя «компонентами»:

  1. Новыми шаблонами/идиомами/перлами программирования.
  2. Новыми языковыми механизмами Scala для реализации этих идиом.
  3. Новыми библиотеками Scala с реализацией идиом на основе языковых механизмов.
  4. Новыми разделами математики, которые послужили источником для ключевых идей идиомы.


Надо отметить, что

  • Изучение идиом — обязательно (это и есть «ядро FP»).
  • Изучение языковых механизмов абстракции — требуется в production mode для реализации идиом, приспособленных к повторному использованию.
  • Изучение типичных функциональных библиотек Scala — желательно в production mode для повторного использования уже написанных и отлаженных идиом.
  • Изучение соответствующего раздела математики не является обязательным для понимания или использования идиом.


Как минимум можно выделить «три смещения»: категориальное, алгебраическое, логическое (по названиям разделов математики)

Идиомы FP Механизмы Scala Библиотеки Scala Разделы математики
Covariant functor, applicative functor, monad, arrow Type classes, generics of higher kind Scalaz, Cats Теория Категорий
Dependent pair, dependent function Path dependent types Shapeless Математическая логика
Моноид, группа, поле, кольцо Type classes, generics of higher kind Algebird, Spire Алгебра


Если кратко, то:

  • generics of higher king служат для построения повторно используемой абстракции (например, ковариантного функтора). В ООП, в таком случае, обычно создают тип-предок.
  • type classes служат для «применения абстракции» к Вашему коду (класс пользователя «становится» ковариантным функтором). В ООП, в таком случае, обычно наследуются от предка-абстракции.


Наши примеры не будут использовать generics of higher king + type classes и потому не будут приспособлены к повторному использованию (а «старые добрые трюки ООП» тут не особенно подходят). Но даже не будучи готовыми к повторному использованию наши примеры хорошо продемонстрируют суть идиом.

Про теорию категорий и Haskell


В середине 20-го века возник новый раздел математики — теория категорий (отмечу, что сами математики часто называют его «абстрактная чепуха»). Теория категорий произошла из общих идей/конструкций, которые широко используются во многих фундаментальных разделах математики (теория множеств, топология, функциональный анализ, ...) и в данный момент претендует на место основания/базы всей математики (вытесняя теорию множеств, на которой строили математику с начала 20-го века).

Но если теория множеств акцентирует внимание на самих множествах (элементы, операции над множествами, мощность множества, множества со структурой (упорядоченные множества, частично упорядоченные множества), ...) и отображения множеств (функции из множества в множество) находятся на втором плане, то в теории категорий основой являются категории, а, упрощенно, категория = множество + отображения. Отображение — это синоним функции (точнее, отображение = соответствие элементам области определения элементов области значений без указания непосредственно процедуры «перехода» от аргументов к значениям, отображение = функция заданная таблично, отображение = «внешний интерфейс» функции в смысле f: A => B без указания «внутренней реализации» (тела функции)), и вот тут оказывается, что такой акцент на функциях как таковых очень важен для функционального программирования.

Концентрация на отображениях породила богатые функциональные абстракции (функторы, монады, ...) и эти абстракции были перенесены в языки функционального программирования (наиболее известны реализации в Haskell). Рассвет Scala (2005-2010) смещен на 15 лет относительно рассвета Haskell (1990-1995) и многие вещи просто перенесены уже готовыми из Haskell в Scala. Таким образом, для Scala-программиста важнее разбираться с реализациями в Haskell, как основным источником категориальных абстракций, а не в самой теории категорий. Это связано с тем, что при переносе теория категорий => Haskell были видоизменены, утрачены или добавлены множество важных деталей. Важных для программистов, но второстепенных для математиков.

Вот пример переноса:

  1. Теория категорий:
  2. Haskell:
  3. Scala (библиотека Scalaz)


Что такое ковариантный функтор


Одни авторы рекомендуют считать, что Covariant Functor — это контейнер (если быть более точным, то ковариантный функтор — это скорее «половина контейнера»). Предлагаю запомнить эту метафору, но относится к ней именно как к метафоре, а не определению.

Другие, что Covariant Functor — это «computational context». Это продуктивный подход, но он полезен, когда мы уже в полной мере освоили понятие и стараемся «выжать из него максимум». Пока игнорируем.

Третьи предлагают «более синтаксический подход». Covariant Functor — это некий тип с определенным методом. Метод должен соответствовать определенным правилам (двум).

Я предлагаю использовать «синтаксический подход» и использовать метафору контейнера/хранилища.

С точки зрения «синтаксического подхода», ковариантным функтором является всякий тип (назовем его X) имеющий type parameter (назовем его T) с методом, который имеет следующую сигнатуру (назовем его map)

trait X[T] {
  def map(f: T => R): X[R]
}


Важно: мы не будем наследоваться от этого trait-а, мы будем искать похожие типы.

«Синтаксический подход» хорош тем, что он позволяет свести в общую схему многие категориальные конструкции

trait X[T] {
  // covariant functor (functor)
  def map[R](f: T => R): X[R]

  // contravariant functor (contravariant)
  def contramap[R](f: R => T): X[R]

  // exponential functor (invariant functor)
  def xmap[R](f: (T => R, R => T)): X[R]

  // applicative functor
  def apply[R](f: X[T => R]): X[R]

  // monad
  def flatMap[R](f: T => X[R]): X[R]

  // comonad
  def coflatMap[R](f: X[T] => R): X[R]
}


Важно: указанные тут методы для некоторых абстракций являются единственными требуемыми (covariant / contravariant / exponential functors), а для других (applicative functor, monad, comonad) — одним из нескольких требуемых методов.

Примеры ковариантных функторов


Те, кто уже начали программировать на Scala (или на Java 8), тут же могут назвать множество «типов-контейнеров», которые являются ковариантными функторами:

Option

import java.lang.Integer.toHexString

object Demo extends App {
  val k: Option[Int] = Option(100500)
  val s: Option[String] = k map toHexString
}


или чуть ближе к жизни

import java.lang.Integer.toHexString

object Demo extends App  {
  val k: Option[Int] = Map("A" -> 0, "B" -> 1).get("C")
  val s: Option[String] = s map toHexString
 }

Try

import java.lang.Integer.toHexString
import scala.util.Try

object Demo App {
  val k: Try[Int] = Try(100500)
  val s: Try[String] = k map toHexString
}


или чуть ближе к жизни

import java.lang.Integer.toHexString
import scala.util.Try

object Demo extends App {
  def f(x: Int, y: Int): Try[Int] = Try(x / y)
  val s: Try[String] = f(1, 0) map toHexString
}

Future

import java.lang.Integer.toHexString
import scala.concurrent.ExecutionContext.Implicits.global
import scala.concurrent.Future

object Demo extends App {
  val k: Future[Int] = Future(100500)
  val s: Future[String] = k map toHexString
}


или чуть ближе к жизни

import java.lang.Integer.toHexString
import scala.concurrent.ExecutionContext.Implicits.global
import scala.concurrent.Future

object Demo extends App {
  def calc: Int = (0 to 1000000000).sum

  val k: Future[Int] = Future(calc)
  val s: Future[String] = k map toHexString
}

List

import java.lang.Integer.toHexString

object Demo extends App {
  val k: List[Int] = List(0, 42, 100500)
  val s: List[String] = k map toHexString
}

Parser

import java.lang.Integer.toHexString
import scala.util.parsing.combinator._

object Demo extends RegexParsers with App {
  val k: Parser[Int] = """(0|[1-9]\d*)""".r ^^ { _.toInt }
  val s: Parser[String] = k map toHexString

  println(parseAll(k, "255"))
  println(parseAll(s, "255"))
}

>> [1.4] parsed: 255
>> [1.4] parsed: FF

В целом метафора ковариантного функтора как контейнера, судя по примерам, работает. Действительно

  • Option — «как бы контейнер» на один элемент, где может что-то лежит (Some), а может и нет (None).
  • Try — «как бы контейнер» на один элемент, где может что-то лежит (Success), а может и нет (Failure, точнее вместо элемента лежит исключение).
  • Future — «как бы контейнер» на один элемент, где может что-то уже лежит, может будет лежать, или уже лежит исключение, или будет лежать исключение или никогда ничего лежать не будет.
  • List — контейнер, в котором может быть 0...N элементов
  • Parser — тут чуть сложнее, в нем ничего не «хранится», Parser — это способ извлекать данные из строки. Тем не менее, Parser — это источник данных и в этом он похож на контейнер.

Ковариантный функтор — это не просто наличие метода с определенной сигнатурой, это также выполнение двух правил. Математики тут обычно отсылают к теории категорий, и говорят, что эти правила — следствие того, что функтор — это гомоморфизм категорий, то есть отображение категории в категорию, сохраняющее их структуру (а частью структуры категории являются единичный элемент-стрелка (правило Identity Law) и правила композиции стрелок (правило Composition law)).

Такой подход, в целом, непродуктивен в программировании. Считайте, что в функциональном программировании эти два правила необходимы для возможности трансформировать программы с сохранением функциональности (обычно с целью оптимизации).

Ковариантный функтор: Identity Law


Для любого ковариантного функтора 'fun' должно тождественно выполняться следующее правило IdentityLaw.case0(fun) — то же самое что и IdentityLaw.case1(fun).

object IdentityLaw {
  def case0[T](fun: Functor[T]): Functor[T] = identity(fun)
  def case1[T](fun: Functor[T]): Functor[T] = fun.map(identity)
}


где identity — это полиморфная тождественная функция (единичная функция) из Predef.scala

object Predef ... {
  def identity[A](x: A): A = x
  ...
}


Совсем кратко — fun.map(identity) ничего не должно менять внутри функтора.

Значит контейнер, который хранит версию и увеличивает ее при каждом отображении — не соответствует высокому званию ковариантного функтора

// Это - НЕ ковариантный функтор
class Holder[T](value: T, ver: Int = 0) {
  def map[R](f: T => R): Holder[R] = new Holder[R](f(value), ver + 1)
}


так как он «подсчитывает» количество операций отображения (даже отображения функцией identity).

А вот такой код — соответствует первому правилу функтора (и второму тоже).

// Это - ковариантный функтор
class Holder[T](value: T, ver: Int = 0) {
  def map[R](f: T => R): Holder[R] = new Holder[R](f(value), ver)
}


Тут версия просто прикреплена к данным и неизменно сопровождает их при отображении.

Ковариантный функтор: Composition Law


Для любого ковариантного функтора 'fun[T]' и любых функций 'f: ' и 'g' должно тождественно выполняться следующее правило CompositionLaw.case0(fun) — то же самое что и CompositionLaw.case1(fun).

object LawСompose extends App {
  def case0[T, R, Q](fun: Functor[T], f: T => R, g: R => Q): Functor[Q] =
    (fun map f) map g
  def case1[T, R, Q](fun: Functor[T], f: T => R, g: R => Q): Functor[Q] =
    fun map (f andThen g)
}


То есть произвольный функтор-контейнер, который последовательно отображают функцией 'f' и потом функцией 'g' эквивалентен тому, что мы строим новую функцию-композицию функций f и g (f andThen g) и отображаем один раз.

Рассмотрим пример. Поскольку в качестве функтора часто рассматривают контейнеры, то давайте сделаем свой функтор в виде рекурсивного типа данных — контейнера типа бинарное дерево.

sealed trait Tree[T] {
  def map[R](f: T => R): Tree[R]
}
case class Node[T](value: T, fst: Tree[T], snd: Tree[T]) extends Tree[T] {
  def map[R](f: T => R) = Node(f(value), fst map f, snd map f)
}
case class Leaf[T](value: T) extends Tree[T] {
  def map[R](f: T => R) = Leaf(f(value))
}

Здесь метод map(f: T=>R) применяет функцию 'f' к элементу типа 'T' в каждом листе или узле (Leaf, Node) и рекурсивно распространяет на потомков узла (Node). Значит у нас

  • сохраняется структура дерева
  • меняются значения данных, «висящих на дереве»

При попытке менять структуру дерева при отображениях нарушаются оба правила (и Identity Law и Composition Law).

НЕ функтор: меняю местами при отображении потомков каждого узла

case class Node[T](value: T, fst: Tree[T], snd: Tree[T]) extends Tree[T] {
  def map[R](f: T => R) = Node(f(value), snd map f, fst map f)
}

НЕ функтор: с каждым отображением дерево подрастает, листья превращаются в ветки

case class Leaf[T](value: T) extends Tree[T] {
  def map[R](f: T => R) = Node(f(value), Leaf(f(value)), Leaf(f(value)))
}

Если посмотреть на такие (неправильные) реализации бинарного дерева как функтора, то видно, что они вместе с отображением данных, так же подсчитывают количество применений map в виде изменения структуры дерева. Значит И реагируют на identity и пара применений f и g отличается от одного применения f andThen g.

Ковариантный функтор: используем для оптимизации

Давайте рассмотрим пример, демонстрирующий пользу от аксиом ковариантного функтора.

В качестве отображений рассмотрим линейные функции над целыми числами

case class LinFun(a: Int, b: Int) {
  def apply(k: Int): Int = a * k + b
  def andThen[A](that: LinFun): LinFun = LinFun(this.a * that.a, that.a * this.b + that.b)
}


Вместо самых общих функций вида T=>R я буду использовать их подмножество — линейные функции над Int, так как в отличии от общего вида я умею строить композиции линейных функций в явном виде.

В качестве функтора рассмотрю рекурсивный контейнер типа односвязный список целых чисел (Int)

sealed trait IntSeq {
  def map(f: LinFun): IntSeq
}
case class Node(value: Int, tail: IntSeq) extends IntSeq {
  override def map(f: LinFun): IntSeq = Node(f(value), tail.map(f))
}
case object Last extends IntSeq {
  override def map(f: LinFun): IntSeq = Last
}

А теперь — демонстрация

object Demo extends App {
  val seq = Node(0, Node(1, Node(2, Node(3, Last))))
  val f = LinFun(2, 3) // k => 2 * k + 3
  val g = LinFun(4, 5) // k => 4 * k + 5

  val res0 = (seq map f) map g        // slow version
  val res1 = seq map (f andThen g)     // fast version

  println(res0)
  println(res1)
}

>> Node(17,Node(25,Node(33,Node(41,Last))))
>> Node(17,Node(25,Node(33,Node(41,Last))))


Мы можем либо

  1. ДВА раза перебрать все элементы списка (ДВА раза пройтись по памяти)
  2. и ДВА раза выполнить арифметические операции (* и +)


либо построить композицию f andThen g и

  1. ОДИН раз перебирать все элементы списка
  2. и ОДИН раз выполнить арифметические операции

Что такое контравариантный функтор


Напомню, что ковариантным функтором называется всякий класс X, который имеет метод с определенной сигнатурой (условно называемый map) и подчиняющийся определенным правилам (Identity Law, Composition Law)

trait X[T] {
  def map[R](f: T => R): X[R]
}

В свою очередь контравариантным функтором называется всякий класс X, который имеет метод (условно называемый contramap) с определенной сигнатурой и подчиняющийся определенным правилам (они тоже называются Identity Law, Composition Law)

trait X[T] {
  def contramap[R](f: R => T): X[R]
}

В этом месте недоуменный читатель может остановиться. Постойте, но если у нас есть контейнер, содержащий T и мы получаем функцию f: T => R, то понятно каким образом мы получаем контейнер с R. Передаем функцию контейнеру, тот погружает функцию внутрь себя и не извлекая элемент применяет к нему функцию. Однако совершенно непонятно, как, имея контейнер с T и получив функцию f: R => T, применить ее в «обратном порядке»?!

В математике в общем виде не у всякой функции есть обратная и нет общего способа найти обратную даже когда она существует. В программировании же нам необходимо действовать конструктивно (не просто работать с существованием, единственность,… но строить и исполнять конструкции) — надо каким-то образом по функции f: R => T построить функцию g: T => R что бы применить ее к содержимому контейнера!

И вот тут оказывается, что наша метафора (ковариантный функтор ~ контейнер) не работает. Давайте разберем почему.

Всякий контейнер предполагает две операции

  • put — поместить элемент в контейнер
  • get — извлечь элемент из контейнера


однако у рассмотренных примеров (Option, Try, Future, List, Parser) в той или иной мере есть метод get, но нет метода put! В Option/Try/Future элемент попадает в конструкторе (или в методе apply от companion object) или же в результате какого-то действия. В Parser вообще нельзя попасть, так как Parser[T] — «перерабатывает» строки в T. Parser[T] — это источник T, а не хранилище!

И вот тут кроется секрет ошибки в метафоре.

Ковариантный функтор — это половина контейнера. Та часть, которая отвечает за извлечение данных.

Давайте изобразим это в виде схемы

     +-------------------------+
     | +------+ T              | R
     | | X[T] -----> f: T=>R ---->
     | +------+                |
     +-------------------------+


То есть «на выходе из» ковариантного функтора элемент данных типа T подстерегает функция f: T=>R и вот эта композиция является, в свою очередь, ковариантным функтором типизированным R.

В таком случае становится понятным, почему не контейнеры-хранилища, но типичные источники данных Iterator и Stream тоже являются ковариантными функторами.
???
???

Схематично ковариантный функтор выглядит следующим образом, мы «прикручиваем» преобразование f: R => T «на входе», а не «на выходе».

     +-------------------------+
   R |              T +------+ |
  -----> f: R=>T -----> X[T] | |
     |                +------+ |
     +-------------------------+

Примеры контравариантных функторов


Для поиска примеров контравариантных функторов в стандартной библиотеке Scala нам надо забыть про метафору контейнера и искать тип с одним type parameter, который только принимает данные в виде аргументов, но не возвращает в виде результата функции.

В качестве примера можно взять Ordering и Equiv

Пример: Ordering

import scala.math.Ordering._

object Demo extends App {
  val strX: Ordering[String] = String
  val f: (Int => String) = _.toString
  val intX: Ordering[Int] = strX on f
}


Имея способ сравнивать между собой строки и имея функцию преобразования целого числа в строку, я могу построить способ сравнивать числа как строки.

Небольшое замечание относительно строки

  val strX: Ordering[String] = String


в данном случае берется не java.lang.String, а scala.math.Ordering.String

package scala.math

trait Ordering[T] extends ...  {
  trait StringOrdering extends Ordering[String] {
    def compare(x: String, y: String) = x.compareTo(y)
  }
  implicit object String extends StringOrdering
  ...
}


а в качестве метода contramap выступает метод on

package scala.math

trait Ordering[T] extends ... {
  def on[R](f: R => T): Ordering[R] = new Ordering[R] {
    def compare(x: R, y: R) = outer.compare(f(x), f(y))
  }
  ...
}

Пример: Equiv

import java.lang.String.CASE_INSENSITIVE_ORDER
import scala.math.Equiv
import scala.math.Equiv.{fromFunction, fromComparator}

object Demo extends App {
  val strX: Equiv[String] = fromComparator(CASE_INSENSITIVE_ORDER)
  val f: (Int => String) = _.toString
  val intX: Equiv[Int] = fromFunction((x, y) => strX.equiv(f(x), f(y)))
}


Мы строим метод сравнения строк (отношение эквивалентности scala.math.Equiz) на основе метода компаратора java.lang.String.CASE_INSENSITIVE_ORDER

package java.lang;

public final class String implements ... {
    public static final Comparator<String> CASE_INSENSITIVE_ORDER
                                         = new CaseInsensitiveComparator();

    private static class CaseInsensitiveComparator
            implements Comparator<String>, java.io.Serializable {
        public int compare(String s1, String s2) {...}
        ...
    }
    ...
}


используя метод fromComparator

object Equiv extends ... {
  def fromComparator[T](cmp: Comparator[T]): Equiv[T] = new Equiv[T] {
    def equiv(x: T, y: T) = cmp.compare(x, y) == 0
  }
  ...
}


а вместо метода contramap использует громоздкую конструкцию на основе метода fromFunction

object Equiv extends ... {
  def fromFunction[T](cmp: (T, T) => Boolean): Equiv[T] = new Equiv[T] {
    def equiv(x: T, y: T) = cmp(x, y)
  }
  ...
}

Контравариантный функтор: Identity Law


Как и в случае с ковариантным функтором, контравариантному функтору кроме метода с сигнатурой необходимо следовать двум правилам.

Первое правило (Identity Law) гласит: для всякого контравариантного функтора fun должно выполняться IdentityLaw.case0(fun) тождественно равно IdentityLaw.case1(fun)

object IdentityLaw {
  def case0[T](fun: Contravariant[T]): Contravariant[T] = identity(fun)  
  def case1[T](fun: Contravariant[T]): Contravariant[T] = fun.contramap(identity)
}


То есть отображение контравариантного функтора единичной функцией не меняет его.

Контравариантный функтор: Composition Law


Второе правило (Composition Law) гласит: для всякого контравариантного функтора fun[T] и произвольной пары функций f: Q => R и g: R => T пары должно быть IdentityLaw.case0(fun) тождественно равно IdentityLaw.case1(fun)

object CompositionLaw {
  def case0[Q, R, T](fun: Contravariant[T], f: Q => R, g: R => T): Contravariant[Q] =
    (fun contramap g) contramap f
  def case1[Q, R, T](fun: Contravariant[T], f: Q => R, g: R => T): Contravariant[Q] =
    fun contramap (f andThen g)
}


То есть отображение контравариантного функтора последовательно парой функций эквивалентно единичному отображению композицией функций (инвертированной).

Что дальше?


Понятия ко- и контра-вариантного функтора являются только стартовой точкой для серьезного изучения применения абстракций из теории категорий в функциональном программировании (в терминах Scala — переход к использованию библиотек Scalaz, Cats).

Дальнейшие шаги включают:

  1. Изучение композиций ко- и контра- вариантных функторов (BiFunctor, ProFunctor, Exponential (Invariant) Functor)
  2. Изучение более специализированных конструкций (Applicative Functor, Arrow, Monad), которые уже действительно составляют новую парадигму работы с вычислениями, вводом-выводом, обработкой ошибок, мутирующим состоянием. Укажу хотя бы на то, что всякая монада является ковариантным функтором.

К сожалению, размер статьи не позволяет рассказать это все за один раз.

P.S. Для тех, кто прочитал статью до самого конца предлагаю мой курс «Scala for Java Developers» всего за 25% цены (просто идите по ссылке или воспользуйтесь купоном HABR-COVARIANT-FUNCTOR). Количество скидочных купонов ограничено!

© Habrahabr.ru