Excel-калькулятор трансформации комплексного волнового сопротивления на отрезках волноводных линий
При расчетах в технике высоких частот часто возникает две разновидности задачи:
- рассчитать влияние волноводной линии, которая является неотъемлемой конструктивной частью СВЧ устройства (антенны, симметрирующе-согласующего устройства, делителя, электронного усилителя) на результирующее комплексное волновое сопротивление устройства
- специально рассчитать отрезок волноводной линии (подобрать длину и собственное волновое сопротивление) для трансформации собственного волнового сопротивления устройства в более удобное.
Для мгновенного и удобного их решения, с представлением результата в табличную и графическую форму, создадим инструмент.
На схеме Za — исходное устройство, которое имеет известные волновые свойства.
Z0 — отрезок волноводной линии длиной L и волновым сопротивлением (characteristic impedance) Z0 (Ом)
Для частного случая, когда Za чисто активное (настроенная в резонанс антенна, или электронное устройство у которого реактивность убрана с помощью всевозможных LC шунтов) результирующее сопротивление Zin считается по широко известному телеграфному уравнению: 
В случае, когда K кратна ¼ λ такой отрезок не добавляет реактивности, а лишь трансформирует одно реальное сопротивление в другое. Если K кратна ½ λ — линия вообще не вносит никаких изменений, независимо от того, согласована она или нет.
Такие частные свойства очень широко известны и очень широко используются:
- для минимизации влияния линий по возможности их стараются делать кратными ½ λ
- трансформаторы на ¼ λ отрезках очень широко распространены в технике СВЧ
Работа с такой формулой имеет 2 практических ограничения:
- в широкой полосе частот отрезок фиксированной длины L имеет разную длину в λ и соответственно влияние на трансформацию будет разное (вплоть до направления)
- устройства на входе не всегда настроены в резонанс, а в широкой полосе частот устройство по определению имеет реактивность (мнимую часть комплексного сопротивления)
Поэтому для работы с комплексным сопротивлением (с источником имеющим реактивность) надо вернуться к менее известной изначальной формуле:
Для частного случая, когда мнимая часть ZL=0, из неё и была выведена предыдущая формула с тангенсами.
Косинус и синус в этой формуле — гиперболические.
Косинус и синус берутся от константы распространения (propagation constant) — γ, это комплексное число, реальная часть состоит из константы затухания α (в Неперах на единицу длины, где Непер — аналог децибел, только с логарифмом не по десятичной основе, а натуральный по числу e) и фазовой константы ß (число радиан умещающихся в длине волны).
В общем случае, для произвольных длинных линий — вычисление γ непростая задача, для нее требуется знать все 4 первичных параметра линии передачи: R, L, C и G.
Но в частном случае, если линия без потерь, т.е. выполняются следующие условия:
- линия очень короткая (до λ)
- линия из хорошего толстого проводника (медь, алюминий, цинк и др.)
- скин-слой линии не из феромагнетика (медь, алюминий, цинк. без железа/никеля и их сплавов)
- воздушный/вакуумный диэлектрик и соответственно velocity factor = 1, скорость рапространения сигнала почти равна скорости света с, тангенс угла диэлектрических потерь близок к 0 (вакуум, воздух)
тогда γ = 0 + j 2π/λ
В докомпьютерную эпоху работать с такой формулой было практически невозможно, поэтому инженеры пользовались диаграммой Вольперта-Смита
Работа с ней очень трудоёмка, особенно в широкой полосе частот.
Используя тот факт, что MS Excel полностью поддерживает комплексные числа и операции над ними, создадим калькулятор. Т.к. Google Docs не поддерживает функцию синусов/косинусов из комплексного числа (IMCOSH, IMSINH и др.), в столбцах M|N заменим эти функции на составные части. В оффлайн версии Excel/OpenOffice можно использовать прямую функцию.
Качество согласования обычно оценивают по результирующему КСВ, поэтому сразу добавим в калькулятор его расчет через коэффициент отражения Γ (греческая гамма, часто можно встретить запись через ρ)
В качестве обучающего примера возьмем популярную промышленную патч-антенну Цифра-9 для приема телевизионного вещания в ДМВ диапазоне 470–800 МГц.
Собственное волновое сопротивление антенны, без трансформирующего отрезка, приведено на графике:
В широкой полосе рабочих частот импеданс антенны изменяется в очень широких пределах: реактивность всегда положительная (индуктивная) с минимумом вблизи 530 МГц (почти резонанс) и достигает 200–350 Ом в полосе частот. Сопротивление излучения колеблется от 200 до 600 Ом.
https://goo.gl/w8z9U2 (Google Docs)
Итак собственно калькулятор. Входящие данные вводим в желтые ячейки, значения которые необходимо вручную подбирать — в бирюзовые. Зеленые столбцы — выходной импеданс, сиреневый — значения КСВ для справки.
Подбирая длину и сопротивление — получаем мгновенный отчёт по КСВ во всей полосе частот. При желании можно добавить график КСВ.
Например, если линия имеет длину 155 мм и Z0=170 Ом, то получаем вот такой график КСВ на нагрузку 75 Ом:
Входными данными для желтых ячеек могут выступать:
- данные CAD-симуляции (Ansys HFSS, CST Microwave, NEC2, MMANA)
- данные лабораторных измерений
- справочные данные (для электронных устройств и схем)
Используя калькулятор можно рассчитывать многокаскадные трансформаторы из нескольких отрезков включенных последовательно. Для этого необходимо в Excel создать дубликат «Листа», в желтый столбец ввести ссылки на зеленые ячейки из предыдущего листа. Или можно разместить данные на одном «Листе» — добавив новые строки, в которых в качестве входящих ячеек указать ссылки на предыдущие строки. Но в последнем случае необходимо создать несколько ячеек Zo/L (для каждого каскада) и подправить в формулах ссылки на Zo/L для нужного каскада.
В случае если источником данных является CAD-моделирование, то получить ответ можно просто смоделировав отрезок трансформатора в модели. Но расчет таких моделей по методу конечных элементов (HFSS, CST) занимает очень много времени, особенно в широкой полосе частот. Excel калькулятор дает мгновенный ответ и позволяет видеть тенденцию и чувствительность, поэтому удобнее для чернового подсчета.
Для случаев если линия будет изготовляться из материалов с затуханием:
- коаксиальных или двухпроводных кабелей с невоздушным диэлектриком
- микрополосковые линии на печатных платах
с помощью этого калькулятора можно расчитать вакумный/воздушный эквивалент линии, а потом умножить её длину на коэффициент укорочения (velocity factor) используя паспортные данные кабеля или результаты анализа микрополосковой линии — расчет эквивалентной диэлектрической проницаемости субстрата с учетом геометрии полос: VF=1/sqrt (Eeff)
Для расчета импеданса в длинных линиях с затуханием (коаксиальные кабели, витые пары), можно пользоваться Excel калькулятором: https://ac6la.com/tlmath.html
Проверка правильности модели и калькулятора на ошибки
Т.к. модель калькулятора сравнительно сложная, в ней можно допустить и методологическую ошибку или в формуле — она нуждается в проверке.
Поскольку исходные данные для учебного примера мы получили из Ansys HFSS, то можем расчитанный с помощью Excel трансформатор дорисовать в модель HFSS и рассчитать волновое сопротивление на конце линии с помощью HFSS.
Для примера возьмем длину линии 152 мм и Zo=140 Ом.
В модели мы использовали отвод от патча из полоски 4×0.5 мм.
С помощью известных аналитических уравнений рассчитаем, что расстояние между полосой 4×0.5 мм и земляным бесконечным экраном должно составлять 6.0 мм для Zo=140 Ом.
Продолжим существующую полоску на длину 152 мм на высоте 6 мм от рефлектора и назначим на конце линии порт.
Сравним предсказанные Re/Im с результатами симуляции HFSS
Значения и тренды совпадают довольно точно, значит калькулятору можно доверять.
Незначительные расхождения объясняются небольшими изменениями в геометрию модели — подгонка точки соединение питающей полосы к высоте установки трансформаторного отрезка (измерение проводилось на высоте 4.0 мм, а трансформатор выбрали на высоту 6.0 мм), изгиб и подключение порта на конце трансформатора.
