Эмпирическая вероятность
(кадр из телешоу Монти-Холла: гость не сумел правильно подсчитать вероятности, поэтому вместо автомобиля выиграл удивленную ламу)
Давайте обсудим, что мы имеем ввиду, когда произносим слово »вероятность». Я прошу вас попытаться ответить на этот вопрос не с позиции студента или «чистого» математика, а так, как его должны понимать инженер, прикладной исследователь или любой другой человек, которому предстоит принять решение на основании эмпирических данных.
Наивный подход
Что касается лично меня, то, например, высказывание: «симметричная монетка с 50%-ной вероятностью падает вверх орлом», я понимаю следующим образом:
«Если подбросить монетку много раз, то примерно в половине случае она упадет так, что орел окажется сверху».
Говоря точнее, я обычно использую упрощенное правило «шести сигм», согласно которому в серии, например, из 100 подбрасываний количество выпавших орлов будет определятся формулой:
то есть лежать между 35 и 65.
Вне всякого сомнения, мое утверждение содержит логическую ошибку и теоретически по результатам опыта количество орлов может оказаться как меньше 35-ти, так и больше, чем 65. Однако, если на практике в первых же ста подбрасываниях число орлов действительно выйдет за указанные границы, я очень сильно удивлюсь такому обстоятельству.
Точка зрения академической науки
Противоречия и ошибки — это не очень хорошо, даже если они появляются редко. Быть может существует какой-то лучший способ придать понятию вероятности смысл, способ, лишенный логических ошибок и не вступающий в противоречие с опытом? Обратимся за советом к точной науке — попытаемся вспомнить университетский курс!
Если ограничиться случаями, когда в эксперименте имеется только конечное число возможных исходов, то согласно традиционным университетским курсам понятие вероятности будет сводится к приписыванию каждому такому исходу некоторого неотрицательного веса, и дополнительному требованию, чтобы сумма всех весов равнялась единице.
Представленная в таком виде, теория вероятности действительно оказывается свободной от противоречий (имеет модель) и позволяет формально доказать много интересных результатов, вроде Закона больших чисел или Центральной предельной теоремы. Однако для экспериментатора все эти результаты остаются чисто формальными и не имеющими никакого смысла до тех пор, пока он не ответит на следующие вопросы:
- Как правильно выбрать веса для исходов конкретного эксперимента?
- Если веса приписаны неправильно, можно ли это понять из наблюдений?
- Если веса приписаны правильно, какие предсказания можно сделать относительно будущих опытов?
Абстрактные теории
На этом месте я бы хотел остановиться и сделать небольшую ремарку по поводу абстрактных теорий в их современном понимании. По мнению «чистых» математиков чтобы создать абстрактную теорию (первого порядка), вам достаточно выполнить три действия:
- Зарезервировать слова (цепочки символов), которые будут обозначать формальные переменные
- Зарезервировать слова, которые будут обозначать (одно-, двух-, трех-… местные) формальные отношения между формальными переменными
- Используя формальные отношения между формальными переменными в качестве атомарных высказываний, выписать любое количество логических формул, которые будут служит формальными аксиомами вашей абстрактной теории
Давайте я приведу простой пример.
Зарезервируем все маленькие буквы латинского алфавита в качестве имен формальных переменных.
Зарезервируем два слова: «является_прямой» и «является_точкой» — для одноместных формальных отношений и еще два слова: «принадлежит» и «совпадает_с» — для двуместных отношений нашей теории.
В качестве аксиом возьмем такие логические высказывания:
i) Для всех a, b: если [a является_прямой] и [b является_прямой] и не-[a совпадает_с b], то существует d такая, что: [d является_точкой] и [d принадлежит a] и [d принадлежит b] и (для всякого c: если [c является_точкой] и [c принадлежит a] и [c принадлежит b], то [c совпадает_с d])
ii) Для всех a, b: если [a является_точкой] и [b является_точкой] и не-[a совпадает_с b], то существует d такая, что: [d является_прямой] и [a принадлежит d] и [b принадлежит d] и (для всякого c: если [c является_прямой] и [a принадлежит c] и [b принадлежит c], то [c совпадает_с d])
(Параллельные прямые пересекаются. Иллюстрация взята с сайта robinurton.com)
Ради удобства чтения я заключил атомарные высказывания в квадратные скобки. Если вы изучали проективную геометрию, то наверняка узнали в этом примере аксиоматику абстрактной проективной плоскости. В переводе на русский аксиома i) говорит, что любые две различные прямые пересекаются ровно в одной точке, а аксиома ii) — что через любые две различные точки проходит в точности одна прямая.
Здесь стоит напомнить, что формальные переменные и формальные отношения — это всего лишь последовательности печатных или рукописных символов. Когда вы создаете абстрактную теорию, не обязательно даже предполагать, что формальные переменные в действительности могут обозначать какие-то вещи, а формальные отношения — реальные отношения между этими вещами. Таким образом какой-либо смысл у формальных высказываний изначально отсутствует.
Используя формальные отношения между формальными высказываниями в качестве атомарных формул, помимо аксиом вы можете построить и другие формальные логические высказывания. Если какое-то из этих высказываний можно вывести из аксиом теории по правилам символьной логики, то оно будет являться (формальной) теоремой для этой теории. Ровно как и формальные аксиомы, формальные теоремы изначально не несут какого-либо смысла и не выражают никаких свойств окружающего нас мира.
Для чего тогда вообще создаются абстрактные теории?
Модель и интерпретация
Возьмем какое-нибудь предложения из нашей повседневной речи, например: «Черная кошка сидит на окошке». То же самое предложение можно записать по другому: «Существуют x и y такие, что: [x является_кошкой] и [x имеет_черный_окрас] и [y является_окном] и [x сидит_на y]».
Как вы видите, наше шуточное предложение во второй своей записи имеет определенное сходство с формальными логическими высказываниями. Однако нужно заметить, что между ними есть и важное отличие. В то время как формальные переменные и формальные отношения, входящие в состав формальных высказываний, ничего не обозначают, переменные x и y в последнем примере обозначают эмпирические объекты: конкретную кошку и окно, а каждое из отношений: «являться_кошкой», «являться_окном», «иметь_черный_окрас», «сидеть_на» — называет вполне определенное индивидуальное или взаимное эмпирическое качества этих объектов.
Под «эмпирическими» я подразумеваю любое понятие, определение которому может быть дано исключительно в терминах эмпирических данных, и в добавок, для которого существует алгоритм, позволяющий понять, присутствует ли оно на опытных данных или нет. Все понятия, используемые в макроскопической физике, такие так длинна, масса, сила тока или количество энергии — эмпирические, а понятия «бог» и «истина» на данный момент таковыми не считаются.
Переменные, обозначающие эмпирические объекты, и отношения, называющие эмпирические свойства, разумно назвать материальными. Таким образом, если все атомарные утверждения некоторой логических формулы являются материальными отношениями между материальными переменными, то все эти атомарные утверждения и в целом сама логическая формула становятся содержательными, то есть приобретают смысл и значение. Их смысл — в заявлении некоторого свойства окружающего мира, а значение — это либо истина, либо ложь.
Простейшим способом убедится, что некоторое содержательное логическое утверждение истинно, служит многократно поставленный эксперимент или длительные наблюдения за окружающим миром. К примеру, чтобы считать истинным утверждение: «Нельзя засунуть слона в коробок из под спичек», вам всего-то достаточно много раз попытаться его туда затолкать.
Будучи от природы существами смышлеными, люди быстро догадались, что проверять каждое утверждение опытным путем — долго и не всегда безопасно для жизни. Поэтому они быстро открыли другой способ. Собственно выяснилось, что выполняя над наборами истинных утверждений определенные манипуляции, можно получить много новых логических утверждений и все они магическим образом оказываются истинными.
Большой неожиданностью стало то, что вид упомянутых манипуляций и правила их использования никоим образом не требовали знания смысла высказываний, а опирались только на способ написания их логических формул. К примеру, какими бы ни были и каков бы смысл не несли содержательные высказывания A и B, если высказывания:»A» и «Если A, то B» — оба истинны, то истинным оказывается и утверждение »B».
Итак, чтобы понять, истинно ли высказывание, уже не обязательно знать его смысл. Как следствие, теперь любой человек может взять произвольный список логических формул, и считая их условно «истинными» (иначе говоря — формальными аксиомами), с помощью определенного набора манипуляций (формальных правил вывода) получить другие, условно «истинные» логические формулы.
Польза от таких, казалось бы, бессмысленных упражнений, может появиться лишь тогда, когда другой человек, имеющий дело с экспериментом, по какой-то причине решит использовать формальные переменные и формальные отношения в качестве имен для реальных объектов и их взаимных эмпирических свойств. Уже само по себе такое решение означает, что у формальной теории появилась содержательная интерпретация и каждое высказывание на ее языке становится значимым и приобретает смысл.
Если теория интерпретирована так, что все ее аксиомы оказались истинными, то истинными будут и все ее теоремы, сама интерпретация считается непротиворечивой для этой теории и служит ей (материальной) моделью.
Примеры
Давайте вернемся к абстрактной теории проективной плоскости и тремя способами «вдохнем» в нее смысл.
- Возьмем достаточно большой ватманский лист. Пусть:
«являться_точкой» означает быть углублением от циркульной иглы;
«являться_прямой» — быть линией, проведенной карандашом вдоль инструментальной линейки, уже или в будущем;
«совпадать» — быть неразличимыми глазом;
«точке» «принадлежать» «прямой» — игольчатому оттиску помещаться на графитовом следе. - Возьмем глобус насколько можно более сферичной формы.
«точкой» будем считать любые два углубления циркульной иглы, нанесенные на глобус диаметрально-противоположно друг другу;
«прямыми» — совпадающие с окружностей большого диаметра карандашные линии, уже начерченные, или те, что могут быть начерчены в будущем;
«совпадать» и «принадлежать» — как и в предыдущем примере, но только с той оговоркой, что вместо одного игольных оттиска у нас их теперь пара. - Возьмем три цветных шарика: красный, синий и зеленый.
Собственно шарики и будем считать «точками». Да, их всего три;
«прямых» тоже три — это три пары, которые можно составить из наших шариков;
«совпадать» — быть собой (паре или одному шарику);
«принадлежать» — быть включенным в пару.
Интерпретация под номером 1) не является моделью. Действительно, на плоском ватманском листе некоторые прямые будут параллельны и не пересекутся, даже если лист неограниченно велик. Оставшиеся две — служат для проективной плоскости моделями.
Проверка на ошибки
Что произойдет, если экспериментатор, пытаясь объяснить свои наблюдения, выберет «не ту» теорию? Как правило, в подобных случаях экспериментатор быстро обнаружит несоответствие между тем, что предсказывает теория, и тем, что происходит на деле.
(Когда с Вашей моделью мира что-то не так)
Возьмем, к примеру, землемера. До тех пор пока он имеет дело с маленькими плоскими наделами, точность используемых им измерительных инструментов не позволяет обнаружить нарушения каких-либо аксиом или теорем Евклидовой геометрии. Однако стоит землемеру взяться за работу планетарного масштаба, как тут же обнаружатся прямые, пересекающие друг друга дважды, в больших треугольниках изменится сумма углов, а длинна окружности перестанет быть равной π r. Расхождения между предсказаниями и опытными данными должны заставит землемера в качестве модели взять какую-нибудь другую геометрию.
Другой пример — это физик. Пока его наблюдения касаются медленно движущихся тел, он может смело применять Галилево правило для сложения скоростей и Ньютонову динамику: в пределах требуемых точностей теоретические предсказания будут совпадать с результатами эксперимента. Однако, если физик попытается применить эти же (в сущности абстрактные) теории для предсказания траектории электрона в ускорителе элементарных частиц, то потерпит сокрушительное фиаско: здесь действуют законы Лоренцева мира.
Реакция противоречием на неуместное применение — это «джентельменская» черта почти всех естественно-научных теорий. Если бы они ею не обладали, то, как вы увидите позже, на основании одних и тех же эмпирических данных, экспериментаторы могли бы делать обоснованные, но противоречащие друг другу заключения.
Итак, вернемся к нашей основной теме. Попробуйте нарисовать в своем воображении трех математиков, которые попросили случайного прохожего сто раз к ряду подбросить любую из имеющихся у него монеток.
Первый математик предположил, что монетка будет описываться теорией бернулевских испытаний с весами ½ как для орла так и для решки. Второй когда-то читал, что технология чеканки нарушает симметрию монет, поэтому он выбрал теорию бернулевских испытаний, в которой решка имеет вес в ⅓, а орел — в 2/3. Третий математик увлекался философией и ради экзистенциального эксперимента назначил орлу вес 1, а решке — 0. В итоге все три математика выбрали по абстрактной теории, с помощью которой они собирались смотреть на результат.
В сорока семи из ста подбрасываний монетка упала вверх орлом.
Первый математик воскликнул, что результат отклоняется от рассчитанного им среднего меньше чем на «три сигмы», и никаких противоречий между его интерпретацией и опытом нет.
Второй математик воскликнул, что результат отклоняется от рассчитанного им среднего больше чем на «три сигмы», что общий вес подобных исходов меньше 5/1000 и никаких противоречий между его интерпретацией и опытом нет.
Философ воскликнул, что согласно его расчетам вес полученной в эксперименте последовательности равен нулю, суммарный вес всех последовательностей, включающих в себя хотя бы одну решку, тоже равен нулю и никаких противоречий между его интерпретацией и опытом нет.
По всей видимости, придется признать, что каждый из математиков прав. Какой же тогда смысл в присвоенных весах?
Доказательная сила
Как уже говорилось, выбрав подходящую теорию и построив ее интерпретацию, исследователь получает возможность доказывать истинность гипотез с помощью одной только процедуры формального вывода. Доверие к истинности выведенных из аксиом высказываний определяется только доверием по отношению к истинности самих аксиом в их интерпретированном смысле.
Использование дедуктивных методов отнюдь не запрещает искать закономерности непосредственно в данных и пытаться обосновывать их экспериментально. Более того, эти два подхода не эквивалентны: наличие у гипотезы экспериментального обоснования еще не означает возможности доказать эту гипотезу формально, ровно как и наоборот. Например, благодаря личному опыту, я почти уверен, что все вороны черные, а благодаря теоремам геометрии — что площадь круга радиусом в километр составляет π квадратных километров. В то же время, у меня нет ни одной теории, чтобы формально доказать первое утверждение, и никакого опыта, чтобы экспериментально обосновать второе.
В тех случаях, когда гипотеза об эмпирической закономерности, имеет как экспериментальное обоснование, так и может быть формально доказана в рамках принятой теории, говорят, что эта закономерность получила теоретическое объяснение. Например, обнаруженная Кеплером закономерность у форм орбит небесных тел имеет теоретическое объяснение в рамках Ньютоновой теории гравитации.
Если задуматься, то любая закономерность — есть некое ограничение возможных результатов наблюдений: ворона может быть только черной, площадь круга не может быть сильно больше или меньше π r2, планеты не могут двигаться иначе как по эллипсу.
Также должно быть интуитивно понятно, что методы формального вывода не имеют права вносить каких-либо дополнительных ограничений по сравнению с теми, которые накладываются содержательным значением аксиом. Действительно, будь наоборот, то возникла бы ситуация, когда аксиомы «верны», а одна из теорем противоречит наблюдениям.
По сути, содержательные утверждения теорем — это всего лишь удобные переформулировки совокупных «аксиомных» ограничений, примененные к какому-нибудь особому набору обстоятельств. Например, эллиптичность орбит — это следствие Закона тяготения и трех динамических законов Ньютона в обстоятельствах, когда из двух небесных тел одно — тяжелое и «неподвижное», а второе — легкое и движется не слишком «быстро».
Выводом к настоящему параграфу будет следующее утверждение:» Ограничения, накладываемые аксиомами теории, должны быть по совокупности не слабее ограничений, наложенных теми эмпирическими закономерностями, которые экспериментатор собирается с помощью этой теории объяснить.
«Голый король»
«В столице этого короля жилось очень весело; почти каждый день приезжали иностранные гости, и вот раз явилось двое обманщиков. Они выдали себя за ткачей и сказали, что могут изготовить такую чудесную ткань, лучше которой ничего и представить себе нельзя: кроме необыкновенно красивого рисунка и расцветки, она отличается ещё удивительным свойством — становиться невидимой для всякого человека, который не на своём месте или непроходимо глуп.»
…Ганс Кристиан Андерсон «Новое платье короля»
(Французские студенты требуют новую философию науки. Источник: salamancartvaldia.es)
Вернемся к теории вероятности и трем математикам с монеткой.
Как вы думаете, если математики попытаются много раз повторить свой эксперимент, обнаружат ли они какие-либо эмпирические закономерности? Другими словами, смогут ли они сделать обоснованный вывод, что некоторого типа последовательности в их экспериментах невозможно наблюдать?
И второй вопрос: если эмпирические закономерности есть, то какие из них могут быть объяснены в рамках общепринятой теории вероятностей?
Боюсь вас разочаровать, но ответ на второй вопрос предельно прост: «Никакие.»
Действительно, все, чего требует содержательный смысл аксиом тории вероятностей — чтобы веса, назначенные орлу и решке, были неотрицательными и в сумме давали единицу. Когда это требование выполнено, любая последовательность орлов и решек оказывается в наблюдениях допустимой, поскольку она не меняет назначенных весов и тем самым не создает противоречий с аксиомами. Отсюда следует вывод: в своем содержательном значении аксиомы теории вероятностей не накладывают на возможные результаты наблюдений ровно никаких ограничений и поэтому в строгом логическом смысле не способны объяснить каких бы то ни было закономерностей в данных.
Что касается вопроса о существовании эмпирических закономерностей, то здесь возможно двоякое мнение.
С одной стороны, если монетка не изготовлена с какими-то особыми премудростями, то в каждом опыте она может упасть вверх, как орлом, так и решкой, поэтому эксперимент может закончится любой их последовательностью, а значит эмпирических закономерностей, в строгом определении этого понятия, — нет.
С другой стороны, даже посвятив опытам над симметричной монеткой целую жизнь, вряд ли удастся увидеть хотя бы одну серию из 100 подбрасываний, в которой орлов будет не больше 10 (в единичной серии шансы меньше 1 к 1015). Последнее означает, что экспериментатор с чистой совестью имеет право принять высказывание: «В серии из 100 подбрасываний симметричная монетка упадет вверх орлом не менее 11 раз» в качестве хорошо обоснованной эмпирической закономерности.
Здесь мы явно приходим к противоречию между философией науки и здравым смыслом, чему из них следовать?
Когда дело доходит до конкретных решений, нам приходится поступать категорично: атаковать — или обороняться, оперировать — или продолжать лечить медикаментозно, заключить сделку — или отказаться от предложения. В подобных обстоятельствах у вас не получится с какой-либо пользой применить теорию вероятности, предварительно не совершив ошибок в ее интерпретации. В одних случаях маловероятные события придется считать невозможными, в других — заменять вероятность на частоту или думать о математическом ожидании как о среднем значении для конечной серии экспериментов.
Причину такой странной ситуации вряд ли стоит искать в дефектах абстрактной теории вероятностей: есть все основания полагать, что эта математическая дисциплина как раз-таки непротиворечива. Другое дело, что любая теория, построенная на философии однозначных «Да» и «Нет», абсолютной «Истины» и «Объективной реальности», вряд ли сможет соответствовать нашему интуитивному пониманию, что такое «вероятность» и как ее измерять. Нет даже полной уверенности, что это понятие реально, а не является упрощением какой-то еще не открытой концепции (Как было когда-то с «Небесной сферой» или «Эфирным ветром»).
Если теория до конца не разработана, а ее интерпретации часто противоречивы, стоит ли применять эту теорию на практике? В тех случаях, когда результат не слишком расходится со здравым смыслом — наверное, стоит! Например, Лейбниц, Эйлер, Лагранж, Фурье и многие их современники успешно использовали «Анализ бесконечно малых» еще задолго до того, как удалось создать хоть какую-то теорию действительных чисел.
Не относитесь к наукам слишком строго!
В качестве запоздалой первоапрельской шутки.
Сергей Коваленко, 2020 год.
(автор: Alexas_Fotos)
