Джулия в латексе
В научной среде очень важную роль играет визуализация данных и оформление теории. Для удобного и красивого представления формул часто используются инструменты реализующие LaTeX-команды, например Markdown и MathJax.
Для Джулии также существует набор пакетов позволяющих использовать синтаксис LaTeX 'a, а в связке с средствами символьной алгебры мы получаем мощный инструмент для оперирования формулами.
Скачиваем и подключаем всё что нужно на сегодня
using Pkg
Pkg.add("Latexify")
Pkg.add("LaTeXStrings")
Pkg.add("SymEngine")
using Latexify, LaTeXStrings, Plots, SymEngine
LaTeXStrings небольшой пакет, облегчающий ввод уравнений LaTeX в строковых литералах на языке Julia. При использовании обычных строк в Julia для ввода строкового литерала со встроенными уравнениями LaTeX необходимо вручную избегать всех обратных слешей и знаков доллара: например, $ \alpha^2 $ пишется \$\\alpha^2\$. Кроме того, хотя IJulia способна отображать отформатированные уравнения LaTeX (через MathJax), с обычными строками такое не сработает. Посему, пакет LaTeXStrings определяет:
- Класс
LaTeXString(подтипString), который работает как строка (для индексации, преобразования и т. д.), Но автоматически отображается как текст / латекс в IJulia. - Строковые макросы
L"..."иL"""...""", которые позволяют вводить уравнения LaTeX без экранирования от обратной косой черты и знаков доллара (и которые добавляют для вас знаки доллара, если вы их опускаете).
S = L"1 + \alpha^2"
В REPL выйдет:
"\$1 + \\alpha^2\$"
а Jupyter отобразит:
Индексация работает как с обычными строками:
S[4:7]
"+ \\a"
Такие строки могут быть полезны при оформлении графиков
x = [-3:0.1:3...]
y1 = x .^2
α = 10
y2 = x .^4 / α;
plot(x,y1, lab = "\$x^2_i\$")
plot!(x,y2, lab = L"x^4_i/\alpha")
Более функциональным пакетом является Latexify (Руководство). Он предназначен для генерации математики LaTeX из объектов julia. Этот пакет использует гомологичность Джулии для преобразования выражений в строки в формате LaTeX. Latexify.jl предоставляет функции для преобразования ряда различных объектов Julia, в том числе:
- Выражения,
- Строки,
- Numbers (включая рациональные и комплексные),
- Символические выражения из SymEngine.jl,
- ParameterizedFunctions и ReactionNetworks из DifferentialEquations.jl
а также массивы всех поддерживаемых типов.
ex = :(x/(y+x)^2) # выражение
latexify(ex)
str = "x/(2*k_1+x^2)" # строка
latexify(str)
Массив разнотипных элементов:
m = [2//3 "e^(-c*t)" 1+3im; :(x/(x+k_1)) "gamma(n)" :(log10(x))]
latexify(m)
![$ \left[ \begin{array}{ccc} \frac{2}{3} & e^{ - c \cdot t} & 1+3\textit{i} \\ \frac{x}{x + k_{1}} & \Gamma\left( n \right) & \log_{10}\left( x \right) \\ \end{array} \right] $](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/3e4/438/451/3e4438451fca235086760eb3eb1bdc01.svg)
Можно задать функцию выводящую формулы и копирующую их в буфер в виде понятном для Хабра:
function habr(formula)
l = latexify(formula)
res = "\$\$display\$$l\$display\$\$\n"
clipboard(res)
return l
end
habr(ex)
$$
Следует иметь ввиду
latexify("x/y") |> display
latexify("x/y") |> print
$\frac{x}{y}$
SymEngine
SymEngine — пакет предоставляющий символьные вычисления, которые можно визуализировать в вашем Jupyter с помощью Latexify.
Можно задавать символы строками и котировками (quote):
julia> a=symbols(:a); b=symbols(:b)
b
julia> a,b = symbols("a b")
(a, b)
julia> @vars a b
(a, b)
Зададим матрицу и красиво отобразим ее
u = [symbols("u_$i$j") for i in 1:3, j in 1:3]
3×3 Array{Basic,2}:
u_11 u_12 u_13
u_21 u_22 u_23
u_31 u_32 u_33
u |> habr
![$ \left[ \begin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} \\ \end{array} \right] $](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/fd4/de4/0b6/fd4de40b6bf47172d16febafa99740ac.svg)
Предположим у нас вектора
C = symbols("Ω_b/Ω_l")
J = [symbols("J_$i") for i in ['x','y','z'] ]
h = [0, 0, symbols("h_z")]
3-element Array{Basic,1}:
0
0
h_z
которые надо векторно помножить
using LinearAlgebra
× = cross
latexify(J×h, transpose = true)
$$display$$\begin{equation} \left[ \begin{array}{c} J_{y} \cdot h_{z} \\ — J_{x} \cdot h_{z} \\ 0 \\ \end{array} \right] \end{equation} $$display$$
Полноценные матричные вычисления:
dJ = C*(u*J.^3)×h
latexify( dJ, transpose = true)
habr(ans)
$$display$$\begin{equation} \left[ \begin{array}{c} \frac{h_{z} \cdot \left (u_{21} \cdot J_{x}^{3} + u_{22} \cdot J_{y}^{3} + u_{23} \cdot J_{z}^{3} \right) \cdot \Omega_{b}}{\Omega_{l}} \\ \frac{ — h_{z} \cdot \left (u_{11} \cdot J_{x}^{3} + u_{12} \cdot J_{y}^{3} + u_{13} \cdot J_{z}^{3} \right) \cdot \Omega_{b}}{\Omega_{l}} \\ 0 \\ \end{array} \right] \end{equation} $$display$$
а вот такой нехитрой цепочкой можно найти детерминант и отправить его на Хабр
u |> det |> habr
Рекурсивненько! Обратная матрица наверно посчитается сходным образом:
u^-1 |> habr
$$display$$ \left[ \begin{array}{ccc} \frac{1 — \frac{u_{12} \cdot \left (\frac{ — u_{21}}{u_{11}} — \frac{\left (\frac{ — u_{31}}{u_{11}} + \frac{u_{21} \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{11} \cdot \left (u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)} \right) \cdot \left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)}{u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} — \frac{u_{13} \cdot \left (\frac{ — u_{31}}{u_{11}} + \frac{u_{21} \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{11} \cdot \left (u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)} \right)}{u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}}}}{u_{11}} & \frac{\frac{ — u_{12} \cdot \left (1 + \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{\left (u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} + \frac{u_{13} \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{\left (u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)}}{u_{11}} & \frac{\frac{ — u_{13}}{u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}}} + \frac{u_{12} \cdot \left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)}{\left (u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)}}{u_{11}} \\ \frac{\frac{ — u_{21}}{u_{11}} — \frac{\left (\frac{ — u_{31}}{u_{11}} + \frac{u_{21} \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{11} \cdot \left (u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)} \right) \cdot \left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)}{u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}}}}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} & \frac{1 + \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{\left (u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)}}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} & \frac{ — \left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)}{\left (u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)} \\ \frac{\frac{ — u_{31}}{u_{11}} + \frac{u_{21} \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{11} \cdot \left (u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right)}}{u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}}} & \frac{ — \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{\left (u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)} & \left (u_{33} — \frac{u_{13} \cdot u_{31}}{u_{11}} — \frac{\left (u_{23} — \frac{u_{13} \cdot u_{21}}{u_{11}} \right) \cdot \left (u_{32} — \frac{u_{12} \cdot u_{31}}{u_{11}} \right)}{u_{22} — \frac{u_{12} \cdot u_{21}}{u_{11}}} \right)^{-1} \\ \end{array} \right] $$display$$
Если хотите сделать больно Матжаксу своего браузера, поставьте минус вторую степень (квадрат обратной матрицы)
Кстати, SymEngine считает производные:
dJ[1] |> habr
diff(dJ[1], J[1]) |> habr
К слову, Джулия может использовать из LaTeX 'a не только формулы, но и графики. И если вы установили MikTex и уже скачали pgfplots, то с помощью соответствующего окружения его можно сдружить с Джулией, что предоставит возможность строить гистограммы, трехмерные графики, ошибки и рельефы с изолиниями, а потом это интегрировать в LaTeX документ.
На этом с формулами всё, но не с символьными вычислениями: у Джулии еще есть более сложные и интересные решения для символьной алгебры, с которыми мы обязательно разберемся как-нибудь в следующий раз.
