Девять измерений от Дирака?
Вдогонку к сюжету про матрицы Паули, решил провести параллель с матрицами Дирака, которые состоят из матриц Паули.
Статья так же в рамках жанра кейс. В этот раз напишу кратко, просто наблюдаемые математические факты.
Так как рецептом в данном случае является принцип, а не формула, то в этот раз под кат убрать нечего. Так же не смогу привести подробно символьные вычисления, потому что промежуточные результаты не входят в страницу даже самым мелким шрифтом. Поэтому привожу только результаты, и поэтому тип статьи «сложно».
Теоретически, если развить данную идею, то можно будет в рамках геометрической алгебры построить любое количество измерений. Поэтому делюсь идеей для тех, кого это интересует.
Действительно ли конструкция ниже описывает девять измерений, нужно изучать, это пока предположение.
1. Способ сформировать матрицы Паули
Не придумал, как по-другому ввести матрицы Паули кроме как через тензорное умножение комплексных векторов. Правило чтения полученной конструкции
Пространство, задаваемое векторами в базисе матриц Паули из этой конструкции можно получить, если добавить коэффициенты к сигмам: { 0; -1i*x; y; z }
2. Матрицы Дирака по аналогии с п.1
Введем по аналогии матрицы, через тензорное умножение столбцов, состоящих из матриц Паули, с таким же правилом чтения и коэффициентами.
Переход от вложенных матриц к блочным показан условно, имеется в виду изоморфизм.
Из первого выражения можно собрать две блочные матрицы.
Из второго выражения одну блочную матрицу
Вторая гамма это матрица, представляет собой три последние матрицы, c картинки ниже (из статьи в Википедии), которые мы получим при присвоении x, y, z=(0,1)
Первую матрицу с картинки из Википедии мы получим при умножении 1i⋅ γi ⋅ γj при одновременном присвоении x, y, z значения единица разделить на корень из трех.
Свойства полученных матриц
Все три матрицы симметрические, как и матрицы Паули. Это можно проверить, разложив их на симметрическую и анти-симметрическую части
Так же, как и матрицы Паули, эти матрицы равна себе самой разделить на квадрат длины.
Предположим, что эти матрицы увеличивают число переменных
Умножим каждую матрицу на себя, получим квадрат длины.
При перемножении γi ⋅ γj возникает сумма скалярного и внешнего произведения.
При перемножении γ1 ⋅ γ2 происходит проецирование в пространство γ3 (на главной диагонали компоненты с разными знаками)
При перемножении γ2 ⋅ γ3 происходит проецирование в пространство γ1 (на побочной диагонали компоненты с одинаковыми знаками)
При перемножении γ3 ⋅ γ1 происходит проецирование в пространство γ2 (на побочной диагонали мнимые компоненты с разными знаками)
Так как правила геометрического произведения работают, похоже, что число независимых переменных утроилось от введения таких матриц, что логично, так как матрицы Паули, задающие три переменных мы расширили в три раза по числу измерений.
Отдельный плюс такого подхода в том, что можно не абстрактно писать символами, а буквально видеть проецирование из пространства в пространство.
Список литературы в первой статье.
P.S. Для матриц Паули было спорно как проще кодировать: вещественными матрицами 3×3 или комплексными матрицами 2×2. Если предположение верно, то применяя этот принцип можно построить, по аналогии, уже на следующем шаге, конструкцию для 81-й независимой переменной из матриц 16×16, что точно производительнее при вычислениях, чем работать с матрицами 81×81.
