Часть 1. Вывод выражения к-кратной совместной значимости в технологии логико-вероятностного моделирования
Derivation of k-fold joint significance in the logical-probabilistic modeling technology
Морозов В.И., Morozov V.I.
В 2000–2001 годах в журналах издательства «Атомная энергия» были опубликованы две мои статьи, посвященные применению технологии логико-вероятностного моделирования (ТЛВМ) в интересах технического диагностирования сложных технических объектов, к которым относятся атомные электростанции:
1. Приоритетные направления внедрения диагностического обеспечения на АЭС. Атомная энергия, т.88, вып.4, апрель 2000 года.
2. Отдельные аспекты технической диагностики АЭС. Атомная энергия, т.91, вып.1, июль 2001 года.
Эти статьи размещены в разных библитотеках, включая электронную библиотеку Минатома, e-library. Также издательство Springer перевело их на английский язык и реализует электронную версию pdf формате.
Также они размещены у меня на сайте по ссылкам:
1. http://morozovweb.beget.tech/…/при?6?…/
2. http://morozovweb.beget.tech/…/пре?6?…/
В этих работах представлены основные положения методологии ранжирования элементов технической системы по важности в интересах диагностического оснащения сложных технических объектов и математическая модель расчета технико-экономического эффекта от внедрения диагностического обеспечения, учитывающая весь комплекс составляющих, включая, что особенно важно для объектов атомной энергетики, учет структуры и организации системы.
Первая работа очень важна, поскольку впервые разработан инструмент формирования приоритетных направлений в диагностическом обеспечении не на методе экспертных оценок или косвенных параметрах, как взвешенная энтропия, а на основе объективной математической модели. Однако ее применение в настоящее время, судя по ссылкам, локализовано объектами атомной энергетики, где широко применяется технология логико-вероятностного моделирования, которая входит в обязательную оценку свойств объектов атомной энергетики. Иначе обстоят дела в других отраслях, как например, аэрокосмической.
Во второй работе продемонстрирован конкретный простейший пример технологии логико-вероятностно моделирования в части расчета к-кратных совместных значимостей, а также изложены отдельные аспекты теории неопределенностей: взаимосвязь межу энтропией и дисперсий бернуллиевской случайной величины и приведено полученное мною тождество, связывающее неопределенность состояния системы с неопределенностью состояния элементов, учитывая структуру и организацию системы.
Вместе с тем эти две публикации образуют единое целое. Однако практическое понимание этих статей было затруднено, поскольку базировалось на выполненных мною теоретических работах по развитию технологии логико-вероятностного моделирования в 1993–2001 годах, о которых большинство не могло знать. Несмотря на кажущуюся простоту, эта тематика находится на стыке системного анализа и различных разделов математики: теории вероятности, математической логики и теории информации.
Чтобы частично восполнить этот пробел мною подготовлены и будут размещены три работы. Сейчас представлена первая работа из этого цикла.
В технологии логико-вероятностного моделирования для оценки важности отказов элементов сложных технических систем (СТС) применяются показатели одно и двукратной значимости. В данной статье приведен вывод в общем виде к-кратной совместной значимости, который позволяет проводить более углубленное исследование влияния некой совокупности отказов элементов на СТС.
В последние десятилетия для оценки надежности, живучести и безопасности сложных технических систем (СТС) или для более широкого класса структурно-сложных систем (ССС) стали широко применять логико-вероятностные методы (ЛВМ).
В Военно-морской академии имени Н.Г. Кузнецова (ВМА им. Н.Г. Кузнецова) создателем и руководителем отечественной школы ЛВМ являлся И.А. Рябинин. Также существенный вклад в разработку технологии логико-вероятностного моделирования внесли его соратники А.С. Можаев, Ю.М. Парфенов и другие. В Российской Федерации необходимо отметить вклад в ТЛВМ Г.Н. Черкесова, Е.Д. Соложенцева, А.В. Струкова.
Среди показателей важности оценки выше приведеных свойств необходимо отметить однократную и двукратную значимости. Однократная значимость также называется показателем важности по Бирнбауму, который предложил данный показатель. И.А. Рябинин и Ю.М. Парфенов [1] в 1991 году вывели и обосновали показатель важности — двукратную совместную значимость.
В 1993 году в ВМА им. Н.Г. Кузнецова в интересах разработки передвижного диагностического комплекса и формирования приоритетных направлений диагностического обеспечения корабельного оборудования и, прежде всего, атомных энергетических установок потребовалось изучать влияние большего количества элементов СТС на вероятность безотказной работы системы (ВБРС). В связи с чем мною было выведено математическое выражение показателя — к-кратной совместной значимости.
В 2000–2001 годах были опубликованы научно-технические сообщения [2,3], в которых представлены основные положения разработанной мною методологии формирования приоритетных направлений внедрения диагностического обеспечения на АЭС. В этих работах также применялись показатели к-кратной значимости, поэтому возникла необходимость более подробно остановиться на этих вопросах.
Понятие и определение функции вероятности безотказной работы системы впервые было предложено И.А. Рябининым в работе [4]. Вероятностной функцией (ВФ) называется вероятность истинности функции алгебры логики (ФАЛ):
где: x1, …xi, …xn— логические переменные, характеризующие работоспособное состояние элементов системы: m1, …. mi, …mn, ; n — количество элементов системы.
Логическая переменная xiпринимает значение 1, если i-ыйэлемент системы работоспособен, и значение 0 — при неработоспособном состоянии. Функция алгебры логики (ФАЛ), отображающая взаимосвязь элементов системы, применительно к решаемой задачи названа функцией работоспособности системы (ФРС):
В соответствии с ТЛВМ из ортогональной дизъюнктивной нормальной формы ФРС получаем функцию вероятности безотказной работы системы, которая является линейной функцией любой из переменных Ri, где Ri — вероятность безотказной работы i-го элемента системы.
Таким образом ВБРС принадлежит к классу функций n переменных, изменяющихся в области значений от нуля до единицы при области допустимых значений переменных от нуля до единицы. ВБРС строится на основе ФРС (логической связи элементов системы) и отражает вероятность истинности ФРС:
ВБРС непрерывна и дифференцируема в области допустимых значений переменных. В соответствии с изложенным, первая частная производная по переменной Ri ВБРС или значимость i-го элемента системы равна:
Формула (4) идентична результату И.А. Рябинина [4]. Однократная значимость, как «весовая» характеристика модели СТС, равна изменению вероятности безотказной системы (разнице), при предположении работоспособного состояния i-го элемента системы и неработоспособного его состояния.
Из формулы (4) следует, что вторая производная по i-му элементу системы равна нулю. Поэтому интерес представляют смешанные частные производные второго порядка (далее — производные второго порядка).
Частная производная второго порядка по произвольным переменным Riи Rj равна:
Полученная формула смешанной частной производной второго порядка (двукратной совместной значимости по элементам i и j)-аналогична формуле, выведенной И.А. Рябининым и Ю.М. Парфеновым [1].
На основании формул частных производных первого и второго порядка ВБРС можно предположить, что смешанная частная производная k-го порядка имеет следующий вид:
где i, j…s — номера переменных функции ВБРС;
Pk = 2k — количество наборов суммы; l, p……f = [0,1]; z — количество нулей в наборах индексов l, p……f;
Рассмотрим содержание формулы (6). Смешанная частная производная k-го порядка состоит из 2к членов (по количеству комбинаций нулей и единиц для k переменных). Каждый член суммы представляет собой вероятностную функцию, полученную из функции ВБРС подстановкой вместо вероятностей Ri, Rj, ….Rsфактических значений 0 и 1 в соответствии с набором значений l, p……f. Количество индексов равно k. Знак перед членом суммы (6) имеет значение плюс (+), если сумма нулей в наборах элементов суммы (6) — четная, и знак минус (-), если сумма нулей нечетная.
Докажем формулу (6) методом математической индукции:
1. Для к=1 — формула верна.
2. Предположим, что данная формула верна для смешанной частной производной порядка (k-1) функции ВБРС.
3. Докажем ее справедливость для смешанной частной производной k-го порядка функции ВБРС.
Возьмем производную k-го порядка от производной порядка (k-1):
Количество переменных в выражении (7) стало равным k. В первой сумме количество нулей не изменилось, а во втором количество нулей изменилось на одну единицу и знак минус в выражении изменился на плюс:
Таким образом справедливость формулы (6) доказана, получено выражение к-кратной совместной значимости по набору переменных функции ВБРС. Как правило, в технологии логико-вероятностного моделирования участвует значительное количество элементов, поэтому функции ВБРС сложных технических систем имеют достаточно громоздкий вид. При этом к-кратная совместную значимость, если вычислять ее на основании формулы (6), будет иметь значительно большую размерность. Поэтому напрямую ее использовать проблематично, но ее вывод позволил разработать алгоритмы, существенно сокращающие объемы вычислений, что будет продемонстрировано в следующем материале.
Список источников информации
1. Рябинин И.А., Парфенов Ю.М. Определение характеристик важности совокупности элементов энергетической системы при исследовании ее безотказности. Энергетика и транспорт, т. 37, 1991 г.
2. Морозов В.И. Приоритетные направления внедрения диагностического обеспечения на АЭС. Атомная энергия, т.88, выпуск 4, апрель 2000, с. 311–313.
3. Морозов В.И. Отдельные аспекты технической диагностики АЭС. Атомная энергия, т.91, выпуск 1, июль 2001, с. 71–75.
4. Рябинин И.А., Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности структурно-сложных систем. М., Радио и связь, 1981 г, 238 л.
List of information sources
1. Ryabinin I.A., Parfenov Yu.M. Determination of the characteristics of the importance of the energy system elements in the reliability research. Energy and transport, vol. 37, 1991.
2. Morozov V.I. Priority directions for the implementation of diagnostic support at NPP. Atomic Energy, Vol. 88, issue 4, April 2000, p. 311–313.
3. Morozov V.I. Separate aspects of NPP technical diagnostics. Atomic Energy, v. 91, issue 1, July 2001, p. 71–75.
4. Ryabinin I.A., Cherkesov G.N. Logical-probabilistic methods for research of structurally complex systems reliability. M., Radio and communication, 1981, 238p.
