10. Особые линейные системы16.09.2024 00:30

Продолжаем публикацию лекций по предмету «Управление в Технических устройствах» Автор Олега Степановича Козлова. Кафедра «Ядерные энергетические установки» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Это пожалуй первая лекция, гда теория автоматеского управления применяется непосредственно к таким устройствам как ядерные реакторы. В развлекательном видео покажем как модели с 5 параметрами может заменить модель с сотнями параметров и страницами трех этажных формул.

В предыдущих сериях:

1. Введение в теорию автоматического управления.2. Математическое описание систем автоматического управления 2.1 — 2.3, 2.3 — 2.8, 2.9 — 2.13.

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического управления регулирования. 3.1. Амплитудно-фазовая частотная характеристика: годограф, АФЧХ, ЛАХ, ФЧХ. 3.2. Типовые звенья систем автоматического управления регулирования. Классификация типовых звеньев. Простейшие типовые звенья. 3.3. Апериодическое звено 1–го порядка инерционное звено. На примере входной камеры ядерного реактора. 3.4. Апериодическое звено 2-го порядка. 3.5. Колебательное звено. 3.6. Инерционно-дифференцирующее звено. 3.7. Форсирующее звено. 3.8. Инерционно-интегрирующее звено (интегрирующее звено с замедлением). 3.9. Изодромное звено (изодром). 3.10 Минимально-фазовые и не минимально-фазовые звенья. 3.11 Математическая модель кинетики нейтронов в «точечном» реакторе «нулевой» мощности.

4. Структурные преобразования систем автоматического регулирования.

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР).

6. Устойчивость систем автоматического регулирования. 6.1 Понятие об устойчивости САР. Теорема Ляпунова. 6.2 Необходимые условия устойчивости линейных и линеаризованных САР. 6.3 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. 6.4 Частотный критерий устойчивости Михайлова. 6.5 Критерий Найквиста.

7. Точность систем автоматического управления. Часть 1 и Часть 2

8. Качество переходного процесса. Часть 1 и Часть 2

9. Синтез и коррекция систем автоматического регулирования (САР).

10.1 Простейшая модель динамики трубопровода

К особым линейным CAP принято относить такие системы, в которых присутствуют элементы (звенья), описываемые линейными уравнениями динамики в частных производных, т.е. есть звенья, где переменная зависит не только от времени (t), но и от пространственной координаты ( $\overrightarrow r$ ; в частном случае, например трубопровода, от OC — продольной координаты).

У нас вместо одной точки, для которой мы строим уравнения, появляются распределенная система, но в отличии от настоящей 3D модели, мы учитываем только одно направлени, отсюда 1D. Например для трубопровода мы учитываем только разницу давления в начале и конце и не учитываем как меняется давление в сечении.

Рассматривая упрощенную схему 2-х контурной ядерной энергоустановки, можно заметить, что динамика ряда элементов вряд ли может быть описана в «точечном» приближении (трубопроводы, парогенератор, теплообменник, конденсатор, ну и, конечно, тепловыделяющий канал):

Рисунок 10.1.1 Схема реактора ВВЭР

Приведенная структурная схема ЯЭУ типична для водо-водяных реакторов (типа ВВЭР-440, ВВЭР-1000, PWR и т.д.).

Рассмотрим, например, динамику трубопровода, «переносящего» теплоноситель от выхода из реактора до входа в парогенератор (Т1 — температура входа в трубопровод, Т2 — температура выхода из трубопровода).

Сделаем следующие допущения:

Стенки трубопровода теплоизолированы, т.е. теплообмена с окружающей средой нет;
Сечение трубопровода постоянно, т.е. $F_{тр}=const=\pi\cdot d^2_{тр}/4$ ;
Расход теплоносителя постоянен, т.е. $G=F_{тр}\cdot \rho\cdot u=const$ ;
Теплоноситель несжимаем, т.е. акустические эффекты не учитываются;
Эффекты теплопроводности в теплоносителе пренебрежимо малы по сравнению с конвективным переносом;
Скорость теплоносителя постоянна по сечению.

С учетом данных допущений рассмотрим температуру в элементарном объеме, скорость течения теплоносителя в котором состаляет (m/с)

Рисунок 10.1.2

Изменение температуры определяется уравнением сохранения энергии. Изменение энергии за счет температуры можно записать как разность тепловой энергии ( $m\cdot C_P$ ) входящей массы $(m=V\cdot\rho)$ в объем тепловой энергии массы выходящей из него.

При этом для несжимающейся среды и известной скорости объемы входящией и выходящий единицу времени можно вычислить как $V_{in}=V_{out}=F_{тр}\cdot l= F_{тр}\cdot u\cdot dt$ (см. рисунок), тогда изменение тепловой энергии элементарном объеме вычислится как

$F_{тр}\cdot dx\cdot \rho\cdot Cp\cdot \Delta T = F_{тр}\cdot u\cdot dt\cdot \rho\cdot C_p\cdot T_{in} -F_{тр}\cdot u \cdot dt\cdot \rho \cdot C_p\cdot T_{out}$

Сокращая на $F_{тр}\cdot \rho \cdot C_p$ получаем следующее сотношение

$dx\cdot\Delta T = u\cdot dt\cdot (T_{in}-T_{out})\Rightarrow \frac{\Delta T(x,t)}{d t}=u\cdot\frac{T_{in}-T_{out}}{dx}$

Переходя от элементарныого объема к производным, лего увидеть что температура это функция от двух переменных: время и положение. С учетом выше приведенных допущений уравнение теплового баланса можно представить в виде:

$\rho\cdot C_p\frac{\partial T(x,t)}{\partial t}+\rho\cdot C_p\cdot u\cdot \frac{\partial T(x,t)}{\partial x}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.1.1)}$

где: на $\rho$ — плотность теплоносителя, ${кг}/{м^3}$ ;
C_p — удельная теплоемкость, ${Дж}/{(кг\cdot К)}$ ;
— скорость циркуляции, {м}/{с} ;
— продольная координата вдоль трубопровода, {м} ;
T(x,t) — температура теплоносителя {K} .

Первое слагаемое в (10.1.1.) — нестационарная составляющая, 2-е — конвективный член.

Сокращем на $\rho\cdot C_p$ — скорость циркуляции, $\Rightarrow$

$\frac{\partial T(x,t)}{\partial t}+u\cdot \frac{\partial T(x,t)}{\partial t} = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.1.2)}$

В стационарном состоянии $T_{вх}= T(0,0) = T_{вых}= T(l,0) = T_0$ где — длинна трубопровода.

Перейдем к безразмерной температуре:

$\tilde{T}(x,t)=\frac{T(x,t)-T(x,0)}{T(x,0)}=\frac{T(x,t)-T_0}{T_0}\Rightarrow \\T(x,t)=T_o[1+\tilde{T}(x,t)]$

подставляя выражение для температуры через безаразмерной температуру в (10.1.2) получаем:

$T_0\cdot\frac{\partial \tilde{T}(x,t)}{\partial t}+u\cdot T_0\cdot \frac{\partial \tilde{T}(x,t)}{\partial x};\Rightarrow \\ \frac{\partial \tilde{T}(x,t)}{\partial t}+u\cdot \frac{\partial \tilde{T}(x,t)}{\partial x}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{10.1.3}$

Хотя уравнение (10.1.3.) по форме записи совпадает с (10.1.2.), последнее уравнение более предпочтительно, т.к. за счет нормализации переменной задача сведена к нулевым начальным условиям.

Воспользуемся преобразованиями Лапласа (двумерными):

$\tilde{T}(x,t)\Rightarrow T(x,s)=\int_0^\infty \tilde{T}(x,s)\cdot e^{-s\cdot t}dt$ $\frac{\partial \tilde{T}(x,t)}{\partial t}\rightarrow s\cdot T(x,s);$ $\frac{\partial \tilde{T}(x,t)}{\partial x}\rightarrow\frac{\partial}{\partial x} \cdot T(x,s);$ $s\cdot T(x,s)+u\cdot\frac{dT(x,s)}{dx}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{10.1.4}$

Разделяя переменные в уравнении (10.1.4.), имеем:

$u\cdot\frac{dT(x.s)}{dx}=-s\cdot T(x,s) \Rightarrow \frac{d T(x,s)}{T(x,s)}=-\frac{s}{u}\cdot dx;$ $\int\frac{dT(x,s)}{T(x,s)}=-\int\frac{s}{u}\cdot dx+ln(C)\Rightarrow$ $ln[T(x,s)]=-\frac{s}{u}\cdot x+ln (C)\Rightarrow$ $T(x,s)= C\cdot e^{-\cfrac{s\cdot x}{u}} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.1.5)}$

Где С — константа интегрирования которую можно вычеслить по начальным условиями.

Если представить в выражения (10.1.5.) x = 0 и x = l , то соответствующие изображения безразмерных температур имеют вид:

$x=0;\Rightarrow \tilde{T}_{вх}(t) \equiv \tilde T(0,t)\rightarrow T_{вх}(s)= T(0,s)=C^1(s)$ $x=l;\Rightarrow \tilde{T}_{вых}(t) \equiv \tilde T(l,t)\rightarrow T_{вых}(s)= T(l,s)=C^1(s)\cdot e^{-\cfrac{s\cdot l}{u}}$

В общем случае констатна интерирования зависит от s, однако в данном случае значение $C^1\equiv C(s)$ можно и не вычислять.

Представим трубопровод звеном, на вход которого поступает воздействие $\tilde T_{вх} (t)\equiv \tilde T(0,t)$ , а выходным воздействием является $\tilde T_{вых} (t) \equiv \tilde T_{вых}(l,t)$ см. рис. 10.1.2.

Рисунок 10.1.2 Передаточная функуия трубопровода

Введем передаточную функцию трубопровода $W_{тр}(s)$

$W_{тр}(s)=\frac{\tilde T_{вых}}{\tilde T_{вх}}=\frac{T(l,s)}{T(0,s)}=\frac{C^1\cdot e^{-\cfrac{s\cdot l}{u}}}{C^1}=e^{-\cfrac{l}{u}\cdot s} \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.1.6)}$

Введя новую переменную $\tau=\frac{l}{u}$ — время запаздывания, получим передаточную функцию трубопровада в виде:

$W=e^{-\tau\cdot s} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.1.7)}$

Звено имеющее переходную функцию вида 10.1.7 называется идеально запаздывающее звено

10.2. Свойства идеального запаздывающего звена.

Уравнение динамики идеального запаздывающего звена (и.з.з.) имеет вид:

$y(t) = x(t-\tau) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.2.1)}$ Рисунок 10.2.1 Идеально запаздывающее звено

Рисунок 10.2.1 Идеально запаздывающее звено

Уравнение динимки в изображениях:

$X(t)\rightarrow X(s); \ \ \ \ \ \ \ \ \ X(t-\tau)\rightarrow X(s) \cdot e^{-\tau\cdot s}$

Передаточная функции

$W= e^{-s \cdot \tau }$

АФЧХ идеально запаздывающего звена

подстваляем вместо значение $i\cdot \omega$ , найдем АФЧХ

$W(i\cdot \omega)= W(s)|_{s=i\cdot \omega}=e^{-i\cdot\omega\cdot \tau} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.2.3)}$

Для определения амплитуды и фазы воспользуемя свойством представления комплесного числа $z =x+y\cdot i$ в показательной степени $z= r\cdot e^{i\cdot \varphi}$ где r — модуль, $\varphi$ — фаза. (см. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. стр. 12)

Амплитуда (модуль) АФЧХ:

$A(\omega) =mod[W(i \cdot\omega)]=mod \ [e^{-(i\cdot \omega)\cdot \tau}] =1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.2.4)}$ Рисунок 10.2.2 Амплитуда АФЧХ

Рисунок 10.2.2 Амплитуда АФЧХ

Сдивг фазы (фаза) АФЧХ:

$\varphi(\omega) = arg [ W(i\cdot\omega)] = arg[e^{-i\cdot\omega\cdot\tau}] = -\omega\cdot \tau \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.2.5)}$ Рисунок 10.2.3 Сдвиг фазы АФЧХ

Рисунок 10.2.3 Сдвиг фазы АФЧХ

Годограф АФЧХ вектор, длиной = 1 вращающийся по часовой стрелке при $\omega \rightarrow \infty$ вектор $W(i\cdot \omega)$ повернется бесчисленное множество раз вокруг оси.

Рисунок 10.2.4 Годограф АФЧХ

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ)

$\alpha_m(\omega) = 20 \cdot lg [A(\omega)]=20\cdot lg[1]=0 \Rightarrow$ Рисунок 10.2.5 ЛАХ идеально запаздывающего звена

Рисунок 10.2.5 ЛАХ идеально запаздывающего звена

Переходная функция звена, реакция на 1 (t)

$h (t) = L^{-1} [H(s)] =L^{-1} \left [\frac{W(s)}{s}\right ]=L^{-1}\left [ \frac{e^{-s\cdot \tau}}{s} \right]=L^{-1} \left[ \frac{1}{s}\cdot e^{-s\cdot \tau}\right]$

согласно теореме запаздывания (см. лекуцию Математическое описание САР):

$F(s) = F_1(s)\cdot e^{-s\cdot \tau} \Rightarrow f(t)=f_1(t-\tau) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.2.6)}$

$h(t)= 1(t-\tau)$

Рисунок 10.2.6 Переходная функция

Весовая функция

$w(t)=h'(t) \Rightarrow w(t)=\frac{d}{dt}1(t-\tau)=\delta(t-\tau)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.2.7)}$

Рисунок 10.2.7 Весовая функции

10.3. Системы с идеально запаздывающим звеном.

Рассмотрим простейшую CAP, описываемую следующим уравнением динамики:

$T\cdot y'(t)+y(t) = K \cdot x(t-\tau)$

Перейдем в изображения:

$\left \{ \begin{align} y(t) &\rightarrow Y(s); \\y'(t) &\rightarrow s\cdot Y(s); \\ x(t)&\rightarrow X(s); \\ x\cdot(t-\tau)&\rightarrow X(s)\cdot e^{-s\cdot \tau}; \end{align} \right.$ $(T\cdot s+1)\cdot Y(s)=K\cdot X(s)\cdot e^{-s\cdot \tau}$

Передаточная функуции:

$W(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{K\cdot e^{-s\cdot \tau}}{T\cdot s+1}$

Данную CAP можно представить как 2 последовательно соединенных звена: апериодическое 1-го порядка и идеально-запаздывающее звено

Рисунок 10.3.1 Схема передаточной функции

АФЧХ САР с идеально запаздывающем звеном

Представим общую АФЧХ передаточной функции как произвдедение комплексных чисел $W_{ап} (i \cdot \omega)$ для апереодического звена первого порядка (см. лекцию апериодическое звено 1-го порядка) и $W_{зп}(i\cdot \omega)$ .

Воспользуемся теоремой о модуле и аргументе произведения комплексного числа (см. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. стр. 6)

$|z_1\cdot z_2| =|z_1|\cdot |z_2|; \ \ arg (z_1\cdot z_2) = arg (z_1)+arg(z_2);$

Аргумент (модуль) САР с запаздыванием

$A(\omega) =\frac{K}{\sqrt{1+T^2\cdot\omega^2}}\cdot 1;$

Сдивг фазы (фаза) CAР с запаздыванием

$\varphi(\omega)=-arctg(T\cdot \omega) -\omega\cdot \tau$

При $\omega \rightarrow \infty \Rightarrow$ $A(\omega) \rightarrow 0$ — амплитуда вектора уменшается,

при $\omega \rightarrow \infty \Rightarrow \varphi \rightarrow [-\frac{\pi}{2}-\infty]$ — угол отрицательный и постоянно увеличивается $\Rightarrow$ годограф вращается вокргу центра по часовой стрелке.

Таким образом особенностью АФЧХ (годографа) является спиралеобразный вид годографа, вращение с постоянным уменшением радиуса см. рис. 10.3.2.

Рисунок 10.3.2 Годограф САР с замедлением

Годограф CAP с запаздыванием всегда имеет вид спирали, «накручивающейся» на начало координат.

Проверим годограф прямым тестированием:

10.4 Замкнутая САР с запазывающим звеном

Если замкнутая CAP включает в себя идеальное запаздывающее звено, то её структурную схему можно представить в виде:

Рисунок 10.4.1. Структурная схема замкнутой САР с запазыдвающим звеном

Рассмотрим передаточную функцию замкнутой САР (см. лекцию Структурные перобразования систем автоматического регулирования)

Предположим, что $W_*(s)=K\cdot\frac{N(s)}{L(s)}$ — типовая линейная САР

Передаточная функция замкнутой сар с запаздывающим звеном:

$\Phi(s)=\frac{W_*(s)\cdot e ^{-s\cdot \tau}}{1+W_*(s)\cdot e^{-s\cdot \tau}}=\frac{K\cdot N(s)\cdot e^{-s\cdot \tau}}{L(s)+K\cdot N(s)\cdot e^{-s\cdot \tau}}$ $\Phi(s)=\frac{K\cdot N(s)}{L(s)\cdot e^{s\cdot \tau}+K\cdot N(s)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.4.1)}$

Характеристический квазиполином $D(s)= L(s)\cdot e^{s\cdot \tau}+K\cdot N(s)$

Для анализа устойчивости, расмотрим корни характеристического квазиполинома $\lambda_j$ при которых $D(\lambda_j)=0$ ;

В обще случае корни явшяются комплесными числами $\lambda_i = \alpha_j+i\cdot \beta_j$

тогда уравнения для нахождения корней можно перписать в виде

$L(\lambda_j)\cdot e^{\lambda_j\cdot \tau}+K\cdot N(\lambda_j)=\\L(\alpha_j+i\cdot\beta_j)\cdot e^{\alpha_j\cdot\tau}\cdot e^{i\cdot\beta_j\cdot\tau}+K\cdot N(\alpha_j+i\cdot \beta_j)=0$

Моногочелены $L(\lambda_j)$ и N $(\lambda_J)$ можно представить как суммы вещественной и комплексной составляющей:

$L(a_j+i\cdot \beta_j)= Re_L+i\cdot Im_L\\ N(\alpha_j+i\cdot \beta_j)=Re_N+i\cdot Im_N$

согласно формуле Эйлера $e^{i\cdot\beta_j\cdot\tau}=cos(\beta_j\cdot\tau)+i\cdot sin(\beta_j\cdot \tau)$ препишем уравнение с учетом вышеуказанной замены

$(Re_L+i\cdot Im_L)\cdot e^{\alpha_j\cdot\tau}(cos(\beta_j\cdot \tau)+i\cdot sin(B_j\cdot \tau))+\\+K\cdot(Re_N+i\cdot Im_N) = 0$

Расскроем скобки, и запишием отдельные уравнение для дейстивиетльно части и мнимой части уравнения, каждая из которых должна быт равна нулю

Дейстивиетльная часть уравнения:

$e^{\alpha_j\cdot\tau}\cdot Re_L\cdot cos(\beta_j\cdot \tau)-e^{\alpha\cdot \tau}\cdot Im_L\cdot sin(\beta_j\cdot \tau)+K\cdot Re_N=0$

Мнимая часть уравнения:

$e^{\alpha_j\cdot \tau}\cdot Re_L\cdot sin(\beta_j\cdot\tau)+e^{\alpha\cdot \tau}\cdot Im_L\cdot cos(\beta_j\cdot \tau)+K\cdot Im_N=0$

Мы видим, что в обоих уравнения пристует функции sin и cos, а это озночает, что мы получаем решений бесконечное множество. Таким образом использовать, прямое вычисление корней квазихарактеристического уравнения для определения устойчивости САР невозможно!

10.4.1 Анализ устойчивости замкнутых CAP с запаздыванием

Поскольку характеристический квазиполином $D(s) = L(s)\cdot e^{s\cdot \tau} +K\cdot N(s)$ — имеет бесчисленное множество полюсов, то прямой метод определения устойчивости по расположению полюсов (корней характеристического уравнения) неприменим.

Наиболее удобен для CAP с запаздыванием критерий Найквиста. Напомним передаточную функцию замкнутой САР с запаздыванием:

$\Phi(s)=\frac{W_*(s)\cdot e^{-s\cdot\tau}}{1+W_*(s)\cdot e^{-s\cdot\tau}}$

Если в передаточной функции системы с запаздыванием время запаздывания $\tau \rightarrow 0$ то такая САР называется предельной. Передаточная функция звена равна $W_{прд}(s) \equiv W(s)$

Изобразим годограф разомкнутой предельной CAP:

10.4.2 Годограф устойчивой предельной САР

Предположим, что разомкнутая предельная CAP — устойчива тогда, согласно критерию Найквиста, и замкнутая и предельная CAP — тоже устойчива, т.к. точка ( $-1, 0\cdot i$ ) не охватывается годографом разомкнутой CAP см. рисунок. 10.4.2

Если $τ \neq 0$ , то годограф разомкнутой CAP будет изменяться (трансформироваться) за счет дополнительного поворота каждого вектора на угол $– ω\cdot τ$ .

На рисунке проведена полуокружность (R = 1) и обозначены точки a, b и c, в которых $A_*(\omega) = 1$ , где $A_*(\omega)=mod [W_*(\omega)]$

Если дополнительный угол поворота $(-ω\cdot τ)$ по модулю равен $\gamma_a$ (или $\gamma_b$ , или $\gamma_c$ ), то годограф разомкнутой CAP с запаздыванием пройдет через точку ( $-1, 0\cdot i$ ), т.е. замкнутая CAP «переместится» на границу устойчивости (колебательную). В соответствии с рисунком «наибольшую опасность» представляет точка «С», т.е. если величина запаздывания (τ) будет больше какого-то значения CAP станет неустойчивой, т.е. годограф будет охватывать точку ( $-1, 0\cdot i).$ Таким образом можно посчитать величину критического запаздывания используя пердаточную функцию предельного звена W_*(s) .

Для точки с: $W(i\cdot \omega_c) = W_*(i\cdot \omega_c)\cdot e^{-i\cdot \omega_c\cdot \tau}\Rightarrow$ тогда угол поворота фазы для системы с запаздыванием должен быть равен:

$\varphi (\omega_c)=\varphi_*(\omega_c)-\tau\cdot \omega_c$

Нам нужно обеспечить поворот на угол $\gamma_c = \pi+\varphi_*(\omega_c)$ тогда критическая величина запаздывания может быть найдена из уравнения:

$\gamma_c-\tau_k\cdot\omega_c=0$

Критическое запаздываение для точки с:

$(\tau_{крит})_с=\frac{\gamma_c}{\omega_c}=\frac{\pi+\varphi_*(\omega_c)}{\omega_c} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.4.2)}$

Анологично критическое запазыдвание для точек a, b:

$(\tau_{крит})_a=\frac{\gamma_a}{\omega_a}=\frac{\pi+\varphi_*(\omega_a)}{\omega_a} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.4.3)}$ $(\tau_{крит})_b=\frac{\gamma_b}{\omega_b}=\frac{\pi+\varphi_*(\omega_b)}{\omega_b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.4.4)}$ Рисунок 10.4.3 Области усточивости

Рисунок 10.4.3 Области усточивости

Если предположить, что дополнительный угол поворота (по модулю) больше $2\cdot π$ , то интервалы устойчивости и неустойчивости будут чередоваться.

Для повторяющихся интервало усточивасти можно записать:

$-\pi\cdot(2\cdot m+1)=\varphi_*(\omega_\pi)-\tau\cdot \omega_\pi$

где: $\omega_\pi$ — то значение частоты, при котором годограф $W_*(i\cdot\omega)$ пройдет через точку $(-1, 0\cdot i)$ ; Тогда заначения критических запаздований можно расчитать по формуле:

$\tau_{крит}=\frac{\pi\cdot(2\cdot m+1)+\varphi_*(\omega_\pi)}{\omega_\pi} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.4.5)}$

где: m=0,1,2,...

Необходимо отметить, что благодаря наличию множества $\tau_{крит}$ неустойчивые и устойчивые состояния замкнутой CAP будут чередоваться в зависимости от значения τ.

Критическим значением постоянного запаздывания ( $τ_{крит}$ ) принято считать наименьшее значение $(τ_{крит})_j$ В рассматриваемом случае изображенном на рисунке 10.4.2 это запазыдваение соответсвет точке с. $τ_{крит} \equiv (τ_{крит})с$ В этом случае условие устойчивости замкнутой CAP с запаздыванием определяется следующим неравенством:

$\tau<(\tau_{крит})_{min} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{(10.4.6)}$

В рассматриваемом случае (см. рисунок 10.4.2) получается три значения τкрит (для точек a, b, и c, соответственно), причем их значения связаны неравенством:

$T_{крит}\equiv (T_{крит})_с<(T_{крит})_b<(T_{крит})_a$

Если годограф предельной разомкнутой CAP W_*(i\cdot \omega) имеет вид как на рис. 10.4.4 модуль годографа при $\omega=0$ меньше 1 $(Mod[W_*(i\cdot\omega)|_{\omega=0}) < 1$ $\Rightarrow$

Рисунок 10.4.4 Годограф предельной САР

$\Rightarrow$ то, количество критических значений τ (τкрит) будет существенно больше двух их будет бесчисленное множество см. рис. 10.4.5

Рисунок 10.4.5 Области утойчивости

где:

$\tau_{a}'=\frac{3\cdot \pi+\varphi(\omega_a)}{\omega_a}; \tau_a''=\frac{5\cdot\pi+\varphi(\omega_a)}{\omega_a} и \ \ т. д.$

Для проверки устойчивости CAP с запаздыванием могут быть использованы также ЛАХ и ФЧХ разомкнутой CAP с запаздывающим звеном (см. рисунок 10.4.6)

Рисунок 10.4.6 Опредение устойчивости по ЛАХ и ФЧХ

Правила опредления запасов точно такое же как и для обычных линейных САР:

В этом случае необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой САР является требование чтобы частота среза $\omega_{ср}$ (т.е. частота, при которой $A(\omega_{ср}) =1$ , а логарифм единичной амплитуды равен $Lm(\omega_{ср}) =0$ лежала левее частоты, при которой сдвиг фазы $\varphi(\omega)=-\pi$ . Если это требование не выполняется, то замкнутая САР — неустойчива. При этом на рисунке 10.4.6:

$\Delta Lm$ — запас по амплитуде (в дБ);

$\Delta\varphi$ — запас по фазе.

Пример: определить критическое значение постоянной запаздывания для следующей замкнутой системы:

Рисунок 10.4.7 Передаточная функция

Найдем точку на годографе $W_*(i\cdot \omega)$ (см. рис. 10.4.8), где $mod [W_*(i\cdot \omega)]=1$

$W_*(i\cdot \omega)= \left | \frac{2}{5\cdot (i\cdot \omega)^2}\right | =1 \Rightarrow\left|\frac{2}{-5\cdot\omega^2+i\cdot \omega+1}=1;\Rightarrow \right|$ $24\cdot\omega^4-9\cdot\omega^2+1 =4; \ \ \ \ \ 25\cdot\omega^2 - 9\cdot \omega^2 -3 =0;$ $\omega^2_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{81+300}}{50}\Rightarrow \omega\approx0.75 \ c^{-1}$

Найдем $\varphi(0.75)$ :

$\varphi(0.75)=-\pi+arctg\frac{v(0.75)}{u(0.75)}=-\pi+arctg\frac{\omega}{1-5\cdot\omega^2}\approx-\pi+arctg\frac{0.75}{1-5\cdot 0.75^2 }$ $\varphi(0.75) \approx -2.74 (рад)$ $\tau_{крит}\approx\frac{\pi-2.74}{0.75}\approx 0,54 (сек)$ Рисунок 10.4.8 Годограф системы без замедления

Рисунок 10.4.8 Годограф системы без замедления

На рисунке 10.4.9 представлены годографы этой же САР с разными постоянными запаздывания. Видно, что годограф «закручивается» вокруг начала координат всё сильнее и сильнее по мере увеличения значений τ и САР становится неустойчивой, т.к. при достижении τкрит начинает охватывать точку $(-1, 0\cdot i)$ .

Рисунок 10.4.9 Годогроф разных систем

Видео о колебаниях в САР с запаздыванием: