[Перевод] Занимательная задачка по мотивам теоремы Гёделя о неполноте
1. Не принадлежит ни к одному из племён.
Если бы он был псевдианцем, утверждение «у вас никогда не будет неопровержимых доказательств того, что я алетейец» было бы истинным. Но псевдианцы никогда не говорят правды, поэтому Курт не может быть псевдианцем.
Если бы он был алетейцем, тогда всё, что он говорит, включая и утверждение «у вас никогда не будет неопровержимых доказательств того, что я алетеец», было бы истинным. Но мы знаем, что это утверждение неверно, поскольку искатель приключений может пойти к Дневнику идентичности, найти там имя человека и проверить его принадлежность. Поэтому Курт не алетеец.
Следовательно, Курт не был рождён на острове Если.
2. Теорема Гёделя о неполноте постулирует, что существуют истинные, но формально недоказуемые математические утверждения. Наша задачка даёт что-то похожее — пример истинного утверждения, не имеющего чётких доказательств его истинности.
Допустим, наш исследователь стал первым человеком, ступившим на остров, и не родившимся там. Тогда все остальные люди там будут либо алетейцами, либо псевдианцами. Также допустим, что когда Курт делает своё заявление, кто-либо сжёг Дневник (для того, чтобы избежать противоречий, упомянутых в пункте 1).
Мы уже показали, что псевдианец не может сделать такого заявления, которое сделал Курт — поэтому Курт не псевдианец. Тогда, если все люди, кроме исследователя, родились на острове, то Курт должен быть алетейцем, однако у исследователя никогда не будет неопровержимых доказательств этого.
Но у него никогда не будет неопровержимых доказательств того, что заявление Курта истинно — в ином случае у него тут же появятся неопровержимые доказательства того, что он алетеец (поскольку только они говорят правду). Но тогда можно будет заключить, что это утверждение неверно.
Поэтому реплика Курта истинна, но неопровержимых доказательств её истинности не существует. Подобное предложение — прекрасный пример утверждения, ссылающегося само на себя, то есть такого утверждения, которое и формирует основу доказательства теоремы Гёделя. В формальной математической системе утверждение «Это предложение недоказуемо» будет истинным и формально недоказуемым.
То есть, остров Если — это волшебное место, где все утверждения по поводу принадлежности людей к племенам можно проверить при помощи Дневника. Но если устранить дневник, можно будет быстро прийти к истинному предложению, не имеющему неопровержимых доказательств.
Мир математики похож на остров Если без Дневника. У математики нет прямого доступа к истине, из-за чего и появляются правдивые утверждения, не имеющие доказательства.
