[Перевод] Умножение по методу русских крестьян
Иногда этот метод называют «крестьянское умножение», иногда «древнеегипетское», иногда «эфиопское», иногда «умножение через удвоение и деление пополам». Некоторым он хорошо известен, некоторым — непонятен, но при этом он достаточно полезен и может использоваться не только для умножения, но и для возведения в степень и расчётов матриц.
Алгоритм
13 x 19 -> 0
6 38 19
3 76 ->
1 152 -> 95
0 304 247
^^^
Запишем два перемножаемых числа рядом — они станут заголовками двух столбцов. Третий столбец будет содержать нарастающую сумму.
Если число в левом столбце нечётное, мы добавляем число из правого столбца в нарастающую сумму. Изначально она будет равна нулю.
Затем в левом столбце ниже мы записываем число из заголовка, делённое пополам (с отбрасыванием остатка). 13 / 2 = 6. А во втором столбце мы пишем число, равное удвоению заголовка столбца, 19×2 = 38.
Поскольку число в левом столбце чётное, мы не увеличиваем нарастающую сумму.
Потом мы повторяем процесс деления на два и удвоения. В левом столбце будет 3, это число нечётное, поэтому мы добавляем к 19 76 и получаем 95.
Повторяя процедуру, мы получаем в результате 247.
Проверка:
Среднее между 13 и 19 будет 16
16 ^ 2 = 256
16 — 3 = 3
3 ^ 2 = 9
256 — 9 = 247
Если не закончить работу алгоритма, то в левом столбце будут сплошные нули, и поскольку 0 — чётное число, к нарастающей сумме добавлять ничего не будет нужно. Поэтому, как только мы получаем в левом столбце единицу, в третьем столбце появляется ответ.
Доказательство
Почему это работает? Можно сказать, что это обычное двоичное длинное умножение. Но мы приведём более длинное объяснение, которое будет заодно и более общим.
Обозначим число в левом столбце A, во втором — B, нарастающую сумму — R, а ответ — P. Следовательно
(A*B) + R = P
Тогда, если A чётное, то есть k, для которого A=2k. Перепишем уравнение:
(2k*B) + R = P
Или, что то же самое:
(k*2B) + R = P
Если мы заменим A половиной его значения, а B — удвоенным значением, и назовём их A' и B', то:
(A'*B') + R = P
То есть, если A чётное, мы уполовиним первое число и удвоим второе, и наше уравнение верно. А если нечётное? Тогда A=2k+1
A*B + R = P
(2k+1)*B + R = P
2k*B + B + R = P
2k*B + (B+R) = P
K*2B + (B+R) = P
A'*B' + (B+R) = P
И опять мы обозначили половину A через A' и удвоенное B через B'.
Наше уравнение верно, если мы:
- добавили число из второго столбца к нарастающей сумме
- уполовинили первый столбец
- удвоили второй
Видно, что наше уравнение остаётся сбалансированным при выполнении шагов нашего алгоритма.
Когда мы доходим до нуля, то имеем:
0 * B + R = P
Или R=P. Наша нарастающая сумма равна нужному результату.
Обобщение 1: возведение в степень
Попробуем подсчитать 213. При возведении в степень мы перемножаем числа, а не складываем, поэтому мы усовершенствуем наш алгоритм:
заменим сложение умножением
заменим удвоение возведением в квадрат
степень база
====== ====
13 2 -> 1
6 4 2
3 16 ->
1 256 -> 32
0 65546 8192
^^^^
Нарастающее произведение начинается с 1. 13 — нечётное, поэтому умножаем второй столбец на нарастающее произведение, получая 2. Теперь мы уполовиним 13 и возведём 2 в квадрат.
6 — чётное, не умножаем нарастающее произведение. Уполовиним 6 и возведём в квадрат 4, получим 16.
3 — нечётное, умножаем 16 на наше нарастающее произведение, получим 32. Уполовиним первый столбец и возведём в квадрат второй.
Последний шаг: 1 — нечётное, умножаем 256 на 32, получаем 8192, что и является ответом.
Доказательство этого алгоритма такое же, как и у прошлого, просто теперь наше уравнение выглядит так:
BA*R=E
Обобщение 2: матрицы
Но этот алгоритм можно использовать не только для возведения чисел в степень — он работает и для матриц. Наше нарастающее произведение начинается с единичной матрицы, а во второй столбец пишется матрица, чью степень нам надо получить. И всё работает.
Далее идёт функция, написанная на языке Python. Она работает для любой неотрицательной степени, и «базы» любого типа, поддерживающего ассоциативное умножение. Иными словами, она работает для любой коллекции с умножением, являющейся моноидом.
def fast_exp(b,e,I=1):
# Подсчёт b^e, где e – неотрицательное целое. Начинаем с
# нарастающего произведения I, так что эта функция будет
# работать и с числами, и с матрицами
result = I
while e > 0:
if is_odd(e):
result *= b
b *= b
e = e / 2
return result
Этого даже не нужно понимать, достаточно знать, что она работает для матриц.
Ссылки
