[Перевод] Теорема Байеса: из-за чего весь сыр-бор?
Теорему Байеса называют мощным методом создания нового знания, но её можно использовать и для рекламы суеверий и псевдонауки
Теорема Байеса стала такой популярной, что её даже показали в телешоу «Теория Большого взрыва». Но, как и любой инструмент, её можно использовать во благо или во вред.
Не знаю точно, когда впервые я услышал про неё. Но по-настоящему я начал проявлять интерес к ней только в последние лет десять, после того, как несколько самых больших ботанов из моих студентов начали рекламировать её как волшебного проводника в жизни.
Разглагольствования студентов запутали меня, как и объяснения теоремы на Википедии и других сайтах — они были либо совсем тупые, либо слишком сложные. Я решил, что Байес — преходящая причуда, и в глубоких исследованиях смысла нет. Но теперь байесовская лихорадка стала слишком назойливой, чтобы её игнорировать.
Как пишет The New York Times, байесовская статистика «проникает везде, от физики до исследований рака, от экологии до психологии». Физики предложили байесовские трактовки квантовой механики и байесовские защиты теории струн и теории мультивселенных. Философы рассуждают о том, что всю науку в целом можно рассматривать, как байесовский процесс, и что Байес помогает отличить науку от псевдонауки лучше, чем метод фальсифицируемости, популяризованный Карлом Поппером.
Исследователи искусственного интеллекта, включая разработчиков робомобилей в Google, применяют ПО Байеса, чтобы помогать машинам распознавать закономерности и принимать решения. Байесовские программы, согласно Шэрон Бёрщ Макгрейн [Sharon Bertsch McGrayne], автору популярной истории теоремы Байеса, «сортируют емейл и спам, оценивают медицинские риски и государственную безопасность, расшифровывают ДНК, прочее». На сайте Edge.org физик Джон Мэтер беспокоится, что байесовые машины могут стать настолько умными, что вытеснят людей.
Когнитивисты предполагают, что в нашем мозге работают алгоритмы Байеса, когда он ощущает, размышляет и принимает решения. В ноябре учёные и философы изучали эту возможность на конференции в Нью-Йоркском университете под названием «Работает ли мозг по Байесу?»
Фанатики настаивают, что если бы больше людей приняло метод мышления Байеса (вместо бессознательной работы по Байесу, которая, якобы, идёт в мозге), мир был бы гораздо лучше. В статье «Интуитивное объяснение теоремы Байеса» теоретик ИИ Элизер Юдковский говорит об обожании Байеса:
«Почему математическая концепция вызывает такой странный энтузиазм среди её изучающих? Что есть т.н. «байесовская революция», которая прокатывается по различным областям науки, заявляющая о поглощении даже экспериментальных методов как особых случаев? Что за секрет известен приверженцам Байеса? Какой свет они увидели? Скоро вы узнаете. Скоро вы будете одним из нас». Юдковский шутит. Или нет?
Из-за всей этой шумихи я попытался раз и навсегда разобраться с Байесом. Лучшие из объяснений теоремы среди бесчисленного их множества в интернете я нашёл у Юдковского, в Википедии и в работах философа Кёртиса Брауна и специалистов по информатике Оскара Бонилла и Калида Азада. Сейчас я попытаюсь, в основном и для себя тоже, объяснить, в чём суть теоремы.
Теорема Байеса, названная так в честь пресвитерианского священника XVIII века Томаса Байеса [правильная транскрипция — Бейз / прим. перев.] — это метод подсчёта обоснованности верований (гипотез, заявлений, предложений) на основе имеющихся доказательств (наблюдений, данных, информации). Наипростейшая версия звучит так:
изначальная вера + новые свидетельства = новая, улучшенная вера
Если подробнее: вероятность того, что убеждение истинно с учётом новых свидетельств равна вероятности того, что убеждение было истинно без этих свидетельств, помноженной на вероятность того, что свидетельства истинны в случае истинности убеждений, и делённой на вероятность того, что свидетельства истинны вне зависимости от истинности убеждений. Понятно?
Простая математическая формула выглядит так:
P (B|E) = P (B) * P (E|B) / P (E)
Где P — вероятность, B — убеждение, E — свидетельства. P (B) — вероятность того, что B — истинно, P (E) — вероятность того, что E истинно. P (B|E) — вероятность B в случае истинности E, а P (E|B) — вероятность E в случае истинности B.
Для демонстрации работы формулы часто используют пример с медицинскими анализами. Допустим, вас проверяют на наличие рака, который появляется у 1% людей вашего возраста. Если тест на 100% надёжен, то вам не нужна теорема Байеса, чтобы понять, что означает положительный результат –, но давайте просто посмотрим на такую ситуацию для примера.
Чтобы подсчитать значение P (B|E), нужно разместить данные в правой части уравнения. P (B), вероятность того, что у вас рак до тестирования, равна 1%, или 0,01. Такова же и P (E), вероятность того, что результат теста будет положительным. Так как они стоят в числителе и знаменателе, они сокращаются, и остаётся P (B|E) = P (E|B) = 1. Если результат анализов будет положительный, у вас рак, и наоборот.
В реальном мире надёжность анализов редко достигает 100%. Допустим, ваш тест надёжен на 99%. То есть, 99 из 100 человек, больных раком, получат положительный результат, и 99 здоровых людей из 100 получат отрицательный результат. И это всё равно будет удивительно надёжный тест. Вопрос: если ваш тест положительный, какова вероятность того, что у вас рак?
Вот теперь теорема Байеса показывает всю мощь. Большинство людей посчитают, что ответ — 99%, или где-то так. Ведь тест настолько надёжен, верно? Но правильный ответ будет — всего лишь 50%.
Чтобы узнать, почему, вставьте данные в правую часть уравнения. P (B) всё ещё равна 0,01. P (E|B), вероятность получить положительный тест в случае рака, равна 0,99. P (B) * P (E|B) = 0,01×0,99 = 0,0099. Такова вероятность того, что вы получите положительный тест, показывающий, что вы больны.
Что насчёт знаменателя, P (E)? Тут есть небольшая хитрость. P (E) — вероятность получить положительный тест вне зависимости от того, больны ли вы. Иначе говоря, в неё входят ложные положительные срабатывания и истинные положительные срабатывания.
Чтобы подсчитать вероятность ложного положительного срабатывания, нужно умножить количество ложных срабатываний, 1% или 0,01, на процент людей, не больных раком — 0,99. Получается 0,0099. Да, ваш отличный тест с 99%-й точностью выдаёт столько же ложных срабатываний, сколько и истинных.
Закончим подсчёты. Чтобы получить P (E), сложим истинные и ложные срабатывания, получим 0,0198, поделим на это 0,0099, и получим 0,5. Итак, P (B|E), вероятность того, что у вас есть рак в случае положительного теста, равна 50%.
Если вы ещё раз пройдёте тест, то можете кардинально уменьшить неопределённость, поскольку вероятность наличия у вас рака P (B) будет уже 50% вместо 1. Если второй тест тоже будет положительным, по теореме Байеса вероятность наличия у вас рака будет равна 99%, или 0,99. Как показывает этот пример, повторение теоремы может дать очень точный ответ.
Но если надёжность теста 90%, что совсем неплохо, шансы на наличие у вас рака даже в случае дважды полученных положительных результатов всё ещё меньше 50%.
Большинство людей, включая врачей, с трудом понимают это распределение шансов, что объясняет излишнее количество диагнозов и лечений рака и других болезней. Этот пример говорит о том, что байесианцы правы: мир был бы лучше, если бы больше людей — хотя бы больше пациентов и врачей — приняли бы байесовскую логику.
С другой стороны, теорема Байеса — это лишь сведение в кодекс здравого смысла. Как пишет Юдковский к концу своего обучающего материала: «К этому моменту теорема Байеса может казаться совершенно очевидной и напоминать тавтологию, вместо того чтобы быть удивительной и новой. В таком случае это введение достигло своей цели».
Возвращаясь к примеру с раком: теорема Байеса говорит, что вероятность наличия у вас рака в случае положительных результатов теста равна вероятности получения истинного положительного результата, делённой на вероятность всех положительных результатов, истинных и ложных. В общем, остерегайтесь ложных положительных результатов.
Вот моё обобщение этого принципа: достоверность вашего убеждения зависит от того, насколько сильно ваше убеждение объясняет существующие факты. Чем больше вариантов объяснения фактов, тем менее достоверно ваше личное убеждение. С моей точки зрения, в этом состоит суть теоремы.
«Альтернативные объяснения» могут включать в себя много всего. Ваши факты могут быть ложными, полученными при помощи неправильно сработавшего инструмента, неверного анализа, склонности к получению нужного результата и даже подделанными. Ваши факты могут быть точными, но их могут объяснять множество других убеждений или гипотез.
Иначе говоря, в теореме Байеса нет никакого волшебства. Всё сводится к тому, что ваши убеждения достоверны настолько, насколько верны свидетельства в их пользу. Если у вас есть хорошие доказательства, теорема выдаёт годные результаты. Если доказательства так себе, теорема вам не поможет. Мусор на входе, мусор на выходе.
Проблемы с теоремой могут начинаться с величины P (B), изначального предположения по поводу вероятности ваших убеждений, часто называемой априорной вероятностью. В примере выше у нас была красивая и точная априорная вероятность 0,01. В реальном мире эксперты спорят по поводу того, как диагностировать и учитывать рак. Ваша априорная вероятность, скорее всего, будет состоять из диапазона, а не из одного числа.
Во многих случаях оценка априорной вероятности основывается лишь на догадках, и позволяет субъективным факторам вкрадываться в подсчёты. Можно догадываться, что вероятность существования чего-либо — в отличие от того же рака — просто нулевая, к примеру, струн, мультивселенной, инфляции или бога. Вы можете ссылаться на сомнительные подтверждения сомнительной веры. В таких случаях теорема Байеса может рекламировать псевдонауку и суеверия, наряду со здравым смыслом.
В теореме содержится назидание: если вы недостаточно скрупулёзно ищете альтернативные объяснения имеющихся свидетельств, то свидетельство лишь подтвердит то, во что вы уже верите. Учёные часто упускают это из вида, что объясняет, почему такое большое количество научных заявлений оказываются неверны. Байесианцы утверждают, что их методы могут помочь учёным преодолеть склонность к поискам подтверждающих их веру фактов и выдавать больше надёжных результатов –, но я в этом сомневаюсь.
Как я уже упоминал, некоторые энтузиасты теории струн и мультивселенных используют байесовский анализ. Почему? Потому что энтузиасты устали слышать о том, что теория струн и теория мультивселенной нефальсифицируемы, а следовательно, ненаучны. Теорема Байеса позволяет им представить эти теории в лучшем свете. В этих случаях теорема не уничтожает предвзятость, а потакает ей.
Как писал журналист, работающий с научно-популярными темами, Фэй Флэм в The New York Times, байесовская статистика «не может спасти нас от плохой науки». Теорема Байеса универсальна и может служить любой цели. Выдающийся специалист по байесовской статистике Дональд Рубин работал консультантом табачных компаний на судебных процессах, связанных с полученными от курения заболеваниями.
И всё же я восхищаюсь теоремой Байеса. Она напоминает мне теорию эволюции, ещё одну идею, кажущуюся до тавтологии простой или удручающе глубокой, в зависимости от точки зрения, и точно так же вдохновившую людей как на всякий вздор, так и на удивительные открытия.
Возможно, оттого, что мой мозг работает по Байесу, мне повсюду начинают видеться аллюзии на эту теорему. Пролистывая собрание сочинений Эдгара Аллана По на своём Kindle, я наткнулся на следующее предложение из «Повести о приключениях Артура Гордона Пима»: «В силу наших пристрастий или предубеждений мы не способны извлекать урок даже из самых очевидных вещей» [пер. Георгий Павлович Злобин].
Учитывайте это перед тем, как записываться в приверженцы Байеса.
