[Перевод] Разбираемся в физике частиц: 3) волны, классический вид
Разобравшись с уравнениями для колебаний — описывающими практически всё, что скачет, вибрирует, катается вперёд-назад, как шар на пружине — можно переходить к настолько же распространённому явлению природы, волнам. Волны есть везде: звук и свет, землетрясения, рябь на поверхности пруда, и т.п.
Рис. 1
Но перед этим предупреждаю, что термин «волна» может вводить в заблуждение, поскольку в физике он означает не то же самое, что в английском языке. В физике он не означает того, что мы обычно могли бы назвать волной на краю океана — один гребень и одна впадина. В физике волны — это последовательность волн, несколько гребней и впадин, совместно движущихся в одном направлении. У волны простейшего вида все гребни одинаковой высоты и отстоят друг от друга на одно расстояние. Мы будем рассматривать именно такой случай.
Волны — выдающееся явление, если задуматься. Представьте, что вы с другом взяли длинную верёвку и туго натянули её в комнате (рис. 2). Затем представьте, что ваш друг поболтал несколько раз вверх и вниз одним концом верёвки (зелёным). На его конце верёвки появится волна, и она пройдёт по комнате к вашему концу верёвки (красному).
Рис. 2
Это удивительно. Я имею в виду — на самом деле поразительно, сильно и критически важно для всего в нашей Вселенной, включая и вас лично. Посмотрите, что произошло. Ни один физический объект слева направо не перемещался — до того, как ваш друг начал двигать конец верёвки, она была протянута через комнату, а в конце, после того, как ваш конец верёвки закончит колебаться и волна пропадёт, верёвка так и останется натянутой через всю комнату, как и было. И всё-таки! Энергия и информация переместились по комнате. Волна в пути переносит энергию, потраченную вашим другом на колебания верёвки — и несёт в своей форме информацию о том, сколько раз и как быстро он её дёргал — к вам, где она заставляет трястись уже вашу руку. И в этом случае она даже тряханёт вашу руку именно столько раз и именно в такой последовательности. Вот это да! Ни один физический объект не перемещался через комнату, а энергия и информация — переместились.
Или, подождите. А не должны ли мы рассматривать волну, как физический объект? Такой же физический, как сама верёвка?
Помня этот глубочайший вопрос, обратимся к небольшому количеству математических формул, необходимых для описания внешнего вида и поведения волны, а затем используем чуть больше математики, чтобы записать уравнения, решениями которых будут волны. Это похоже на то, что мы делали для классического шара на пружине.
Формула для бесконечной волны в определённый момент времени
Эта серия статей сразу после шара на пружине переходит к волнам потому, что волна — это разновидность двойного осциллятора. Она колеблется как во времени, так и в пространстве. Время мы обозначим буквой «t», а пространство — «x».
Обратите внимание на рис. 3. На нём изображена волна, простирающаяся в обоих направлениях на большое расстояние, на которой уместилось множество гребней и впадин. Это отличается от волны на рис. 2, у которой всего несколько гребней и впадин. Но это различие не имеет отношения к делу — на рис. 2 мне нужно был проиллюстрировать то, для чего не имела значения точная форма волны; теперь же мы сконцентрируемся на математической формуле для волн, а это гораздо проще сделать, если у волны есть большое количество гребней и впадин одинакового размера. Также этот случай окажется очень полезным для понимания того, как квантовая механика влияет поведение волн.
Рис. 3
Сначала нам нужно определиться с обозначениями и записать формулу, описывающую движение и форму волны на рис. 3, как мы делали для шара на пружине.
На графике показана величина волны Z как функция от пространства в определённый период времени t = t0 — мы записываем это, как Z (x, t0). Отслеживая волну в пространстве мы видим, что она колеблется вперёд и назад, и Z периодически увеличивается и уменьшается. В любой момент времени волна колеблется в пространстве.
Заметьте, что Z не обязательно должна быть связана с физическим расстоянием. Это может быть высота верёвки, как на рис. 2, или это может быть нечто совсем другое, к примеру, температура воздуха в определённой точке пространства и времени или ориентация магнитного атома в определённом месте магнита. Но x всё же представляет физическое расстояние, а t — время.
У снимка этой волны, Z (x, t0), есть три интересных свойства, два из которых также относятся и к шару на пружине.
1. Существует значение равновесия Z0, лежащее посередине между самым большим значением Z на гребне и самым малым значением Z во впадине. Большую часть времени мы изучаем волны, у которых Z0 = 0, поскольку часто величина Z0 не имеет значения –, но не всегда.
2. У волны есть амплитуда А, величина, на которую меняется Z от равновесного значения до вершины каждого гребня или на ту же величину до дна каждой впадины.
3. У волны есть длина — расстояние λ между соседними гребнями, или, что то же самое, между соседними впадинами, или, что то же самое, удвоенное расстояние между соседними гребнем и впадиной. Она описывает колебания в пространстве так же, как период (равный 1/частоту) описывает колебание во времени шара на пружине.
Рис. 4
Что же напоминает нам форма на рис. 3? Она выглядит, как график функции синуса или косинуса — см. рис. 4, где cos (w) построен на графике по w. Cos (w) — функция осциллирующая, у которой есть очевидная позиция равновесия в нуле, её амплитуда 1, а длина волны — 2π. Как перейти от рис. 4 к формуле для волны на рис. 3? Сначала мы умножим cos (w) на А, чтобы амплитуда сравнялась с А. Затем мы добавим Z0 ко всей формуле, чтобы сдвинуть её до нужного значения равновесия (если А = 0, то колебаний нет, и всё покоится в точке Z = Z0). И, наконец, заменим w на 2πx/λ, поскольку у cos (w) гребни на w = 0 и w = 2 π, поэтому у cos (2πx/λ) гребни будут на x = 0 и x = λ. Всё вместе это даёт нам
Это практически та же формула, что описывала движение шара на пружине во времени:
Где ν — частота колебаний, а T = 1/ν — период колебаний. Видите аналогию: период относится ко времени, как длина волны к пространству.
Ещё одно замечание до того, как мы продолжим. Я мог записать также:
Поскольку cos[w] = cos[-w]. То, что мы спокойно можем подставить минус в формулу формы волны, будет важно позднее.
Формула для бесконечной волны в определённом месте
Рис. 5
Теперь зададим другой вопрос: посмотрим, как волна меняется во времени, отслеживая определённую точку на верёвке, и увидим, как она себя ведёт и двигается. Это показано на рис. 5: там я обозначил определённую точку x0, которая в момент времени t0 находится на гребне. Волна двигается вправо и следует размеру волны Z в точке x0, меняясь во времени: Z (x0, t). И вы немедленно увидите, что высота волны в определённой точке ведёт себя точно так же, как шар на пружине! Поэтому у неё будет точно такая же формула, как у шара на пружине, как функция частоты ν, или периода T = 1/ν, где T — это время между моментом, когда волна в x0 находится н, а гребне, и моментом, когда она снова приближается к гребню в следующий раз.
Полная формула бесконечной волны
Теперь нам нужна формула для Z (x, t), описывающая волну, изображённую на рис. 3 и 5 (или любую похожую) в точках x в любой момент времени t. Правильный ответ:
$$display$$ Z (x, t) = Z_0 + A cos (2π [ν t — x/λ]) = Z_0 + A cos (2π [t/T — x/λ]) $$display$$
Он включает обе формулы, для фиксированной точки во времени и для фиксированной точки в пространстве.
Отметим знак минуса перед x. Я упоминал, что в формулу для Z (x, t0) можно подставить минус по желанию. С минусом перед x и плюсом перед t формула описывает волну, движущуюся вправо, как на анимациях. Чтобы проверить это, заметьте, что когда t/T — x/λ = 0, волна будет гребнем, потому что cos[0]=1. Когда t = 0, в точке x = 0 гребень. Но если немного сдвинуть t вперёд, допустим, на T/10, то гребень будет в точке x = λ/10, правее от того места, где он был в t = 0 — поэтому гребень (и вся волна) движется вправо.
Что изменится, если разместить плюс вместо минуса в формуле для Z (x, t)? Тогда гребень будет в точке t/T + x/λ = 0, и в этом случае во время t = T/10 гребень будет в точке x = -λ/10, левее того места, где он был в t = 0 — значит, теперь волна движется влево (рис. 6).
Рис. 6
Волны, являющиеся функциями x и t, могут двигаться в любом направлении, так что нам просто нужно выбрать правильную формулу для заданной волны. Вообще говоря, когда мы работаем с волнами, которые могут двигаться не только вдоль одного пространственного измерения x, но вдоль всех трёх координат x, y и z, то эти волны могут двигаться в любом направлении, и нам нужно будет выбрать правильную формулу на основании направления движения волны.
Мелкий шрифт: мы можем поставить знак минуса перед t, а не перед x. Но +t, +x — это то же самое, что и –t, -x, поскольку это будет равнозначно умножению всей формулы внутри косинуса на -1, а cos[w]=cos[-w]. Поэтому +t, +x и -t, -x дают волну, двигающуюся влево, а +t, -x и -t, +x дают волну, двигающуюся вправо.
Уравнение движения волн
Теперь, как и в случае для шара на пружине, когда мы сначала нашли формулу для колебательного движения шара, а затем посмотрели на уравнение движения, для которого эта формула была решением, сделаем то же самое и тут. Мы нашли формулу для формы и движения волны. У какого уравнения движения среди решений встречается такая формула? Узнаем в следующей статье.
